浙江省2023年中考備考數學一輪復習直線與圓的位置關系練習題

一、單選題

1.（2022?浙江嘉興?模擬預測）已知0O的直徑為12cm,如果圓心O到一條直線的距離為7cm,那么這條

直線與這個圓的位置關系是（）

A.相離B,相切C.相交D.相交或相切

2.（2022?浙江溫州?校聯考模擬預測）如圖，OC的圓心C的坐標為（1,1）,半徑為1,直線/的表達式為

y=-2x+6,P是直線/上的動點，。是。C上的動點，則尸2的最小值是（）

A3A/5,R66]「36n6石

A.----1D.------1C.---U.----

5555

3.（2022?浙江溫州?統考一模）如圖，是半徑為4的。。，弦平移得到CD（AB與CD位于。點

的兩側），且線段CD與。O相切于點E,DE=2CE,若A,O,D三點共線時，A8的長（）

A.4B.5C.2百D.4及

4.（2022?浙江寧波?校考一模）如圖，A是。。外一點，AB,AC分別與。。相切于點8,C,P是8C上

任意一點，過點尸作。。的切線，交A3于點交AC于點N.若。。的半徑為4,Zfi4c=60。，則“1MV

的周長為（）

A.45/3B.8C.8A/3D.12

5.（2022?浙江寧波?校考一模）如圖，8C是半徑為1的圓弧，NAOC等于45。，。是BC上的一動點，則

四邊形AOOC的面積S的取值范圍是（）

A.Qs/B,也<SV2也

4444

「5/52+^/^n5/52+0^

X-Z.----0J<--------\J.----<JV--------

2222

6.(2022?浙江衢州?模擬預測)如圖，AB為。O的直徑，AC=2,BC=4,CD=BD=DE,則CE=()

A.3-V5B.3亞;Mc.3A/10-A/2D.3亞-M

7.（2022?浙江杭州?模擬預測）如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，點。在AB上，以點。為圓心，長

為半徑作半圓。，與邊BC相切于點￡>,與邊的另一個交點為E,與邊AC相交于點E連接AD若

BE=AO=2,則圖中陰影部分的面積為（）

A.2癢@B.&C.述一女D.次飛

33233

8.（2022?浙江嘉興.模擬預測）下列命題是假命題的是（）

A.三角形的內心到這個三角形三邊的距離相等

B.有一個內角為60。的等腰三角形是等邊三角形

C.直角坐標系中，點（a,b）關于原點成中心對稱的點的坐標為Gb,-a）

D.有三個角是直角且一組鄰邊相等的四邊形是正方形

二、填空題

9.（2022?浙江寧波?統考中考真題）如圖，在AABC中，AC=2,BC=4,點。在上，以OB為半徑的圓

與AC相切于點A,。是2C邊上的動點，當△AC。為直角三角形時，A。的長為.

10.（2022?浙江嘉興?統考中考真題）如圖，在扇形A03中，點C,。在AS上，將C。沿弦折疊后恰好

與。4,相切于點E,F.已知ZAOB=120。，OA=6,則斯的度數為；折痕8的長為

11.（2022?浙江金華?統考中考真題）如圖，木工用角尺的短邊緊靠。。于點4長邊與。。相切于點8,

角尺的直角頂點為C,已知AC=6cm,CB=8cm,則。。的半徑為cm.

12.（2022?浙江衢州?統考中考真題）如圖，4B與。。相切于點2,40的延長線交。。于點C.若NA=40。,

則NC=.

13.（2022?浙江杭州?模擬預測）如圖，。是正方形ABC。邊上一點，以。為圓心，OB為半徑畫圓與

交于點E,過點E作。。的切線交于憶將AOEF沿對折，點。的對稱點。恰好落在。。上.若

AB=6,則AE：ED=,08的長為.

14.（2022?浙江嘉興.一模）如圖，在。。中，點尸是直徑AB的延長線上一點，過點尸作。。的切線尸C,

C為切點.連接AC,若/P=40。，則/a4c的度數為。.

15.（2022?浙江寧波?統考二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,正方形CEFG的邊長為2&，將正方形

CEFG繞點C旋轉，BG和OE相交于點K,則AK的最大值是,連結BE,當點C正好是△3KE的

內心時，CK的長是.

三、解答題

16.(2022?浙江麗水.統考一模)如圖，在AABC中，AB=BC,以AABC的邊AB為直徑作，交AC于

點D,過點。作DE，3C,垂足為點E.

(1)試證明Z)石是。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,AC=6V10,求此時DE的長.

17.(2022?浙江金華?模擬預測)如圖，出與。。相切于點A,點B在。。上，PA=PB.

(1)求證：PB是。。的切線；

(2)為。。的直徑，AD=2,PO與。。相交于點C,若C為尸。的中點，求尸。的長.

18.(2022?浙江衢州?統考一模)如圖，。。是AA5c的外接圓，AB^AC,8。是。。的直徑，PA//BC,

與的延長線交于點P,連結AD.

⑴求證：上4是。。的切線；

（2）若tan/ABC=g,BC-4,求BZ）與AZ）的長.

19.（2022.浙江杭州?統考二模）如圖,點A是。。上一點.

（1）請用直尺和圓規過點A作出。O的一條切線；（不要求寫出作法，不要求證明，但要保留作圖痕跡）

⑵若（1）所作切線上取一點B,滿足AB=3,若半徑為2,求80的長.

20.（2022?浙江紹興?統考一模）如圖，AC為。O的直徑，點8是AC上方半圓上的一點，作8。平分/ABC

交。。于點。，過點。作。石〃AC交的延長線于點E.

（2）若=2,3E=3,求BD的長.

21.（2022?浙江金華?一模）如圖，已知AB是。。的直徑，△鈿￡）為0。的內接三角形，C為8A延長線上

一點，連接CDOPLAD于點E,交CD于點F,ZADC=ZAOF.

(1)求證：CD是。。的切線.

(2)若sinC=；,=2/，求人〃的長.

22.(2022.浙江湖州?統考中考真題)如圖，已知在心AABC中,ZC=90°,。是AB邊上一點，以BD為

直徑的半圓。與邊AC相切，切點為E,過點。作OBC,垂足為足

(1)求證：OF=EC；

⑵若ZA=3O。，BD=2,求AD的長.

23.(2022?浙江紹興.統考中考真題)如圖，半徑為6的。。與RfAABC的邊AB相切于點A,交邊BC于

點C,D,ZB=9Q°,連接OD,AD.

(1)若NAC8=20。，求AO的長(結果保留").

(2)求證：A￡)平分/BDO.

24.(2022?浙江臺州?統考中考真題)如圖，在AABC中，AB=AC,以A3為直徑的。。與BC交于點。,

連接AD.

⑴求證：BD=CD；

(2)若。。與AC相切，求的度數;

(3)用無刻度的直尺和圓規作出劣弧4。的中點E.(不寫作法，保留作圖痕跡)

25.(2022?浙江溫州?統考中考真題)如圖1,為半圓。的直徑，C為54延長線上一點，CO切半圓于

點。，BELCD,交8延長線于點E,交半圓于點色已知BC=5,3E=3.點尸，。分別在線段AB,BE

Ap5

上(不與端點重合)，且滿足筋=了.設3。=尤,"=y.

萬Q4

(1)求半圓。的半徑.

(2)求y關于尤的函數表達式.

(3)如圖2,過點P作尸RLCE于點R,連結P0RQ.

①當APQR為直角三角形時，求x的值.

②作點尸關于QR的對稱點〃，當點尸落在BC上時，求一的值.

26.(2022?浙江麗水?統考中考真題)如圖，以AB為直徑的。。與AH相切于點A,點C在A3左側圓弧上,

弦CDLAB交。。于點。，連接AC,AD.點A關于CO的對稱點為E,直線CE交。O于點R交于點

G.

(1)求證：ZCAG=ZAGC；

什EF2-DP,,/土

⑵當點E在AB上，連接轉交8于點P,右瓦丁求麗的值;

(3)當點E在射線A3上，AB=2,以點A,C,O,尸為頂點的四邊形中有一組對邊平行時，求AE的長.

27.(2022?浙江寧波?統考中考真題)如圖1,。。為銳角三角形ABC的外接圓，點。在BC上，AD交BC

于點E,點尸在AE上，滿足—=尸G〃AC交BC于點G,BE=FG,連結3D,DG.設

ZACB=a.

圖1圖2

(1)用含a的代數式表示/3FD.

(2)求證：ABDE芻AFDG.

(3)如圖2,AD為。。的直徑.

①當的長為2時，求AC的長.

②當。尸:OE=4:11時，求cosa的值.

參考答案:

1.A

【分析】這條直線與這個圓的位置關系只要比較圓心到直線的距離與半徑的大小關系即可.

【詳解】的直徑為12cm,

OO的半徑r為6cm,

如果圓心0到一條直線的距離d為7cm,

d>r,

這條直線與這個圓的位置關系是相離.

故選擇：A.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關系問題，掌握點到直線的距離與半徑的關系是關鍵.

2.A

【分析】求出點C(U)到直線>=-2尤+6的距離d即可求得尸Q的最小值.

【詳解】解：過點C作直線/,交圓C于。點，此時PQ的值最小，連接3C、AC,作CMLQ4于

CNLOB千N,

*.*y——2x+6,

.?.4(3,0),3(0,6),

OA=3,OB=6,

AB=A/32+62=3A/5，

"/四邊形OMCN是正方形，

/.OM=ON=1,

：.AM=3-l=2fBN=2=5,

設PC=d,PB=m,則AP=3右—m,

BN2+CN2=BC2=PB2+PC2,AM2+CM2=AC2=AP2+CP2,

222222

???5+]=m+d,2+1=(3A/5-根丁+『,

解得：d=邁,

5

V0c的半徑為I,

.??pQ=bd-i,

5

故選：A.

【點睛】此題主要考查與圓相關的動點問題，解題的關鍵是熟知勾股定理的應用、點到直線的距離的性質.

3.C

【分析】連接。E,延長E。交A8于點凡由題可知，NOED=90°,AB//CD,AB=CD,進而得出。尸垂

直平分AS根據陰，得孚=笆，得出。尸=3,由勾股定理，得AF=5,進而求出AB的

OFAF

長.

【詳解】解：連接OE,延長EO交A8于點尸

由題可知，ZOED=90°,AB//CD,AB=CD

：.ZOFA=ZOED=90°,ZD=ZDAB

:.△OEDSXOFA

,OEED

"OF~AF

由垂徑定理得AF=^AB

又DE=2CE

：.AF=1.5CE

?4_2CE

"0F~1.5CE

：.OF=3

在Rt&AOF中

由勾股定理，得止/042_0尸2=不

:.AB=2不

故選：C.

CED

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質，平移的性質，勾股定理以及相似三角形，作輔助線利用

相似三角形是解決本題的關鍵.

4.C

【分析】由切線的性質解得48=47,/加。=/。40,/48。=90。，PM=MB,PN=NC,據此得到AAVW

的周長=2m，再在RtA3Ao中，利用正切定義解得AB的長即可解答.

【詳解】解：???AB,AC分別與。。相切于點B,C,

AB=AC,ZBAO=ZCAO,ZABO=90°,

?跖V是。。的切線，切點為P,

:.PM=MB,PN=NC,

.1△AW的周長=4欣+ACV+4V=4W+MP+PN+4V=AB+AC=2AB,

■：Z.BAC=G0°,OB=4,

:.ZBAO=-ZBAC=30°,

2

中，

CR

tanZBAO=——,

AB

百4

——--,

3AB

.-.AB=-^=4>/3,

出

.?.△AAW的周長=8、/L

故選：C.

【點睛】本題考查切線的性質、切線長定理，銳角三角函數解三角形等知識，是重要考點，掌握相關知識

是解題關鍵.

5.B

【分析】根據題意首先得出AAOC的面積，進而得出四邊形最小值，要使四邊形AOOC面積最大，則要使

△CO。面積最大，以C。為底。E為高，要使AC。。面積最大，則。E最長，進而得出答案.

【詳解】解：如圖，過點C作CFLAO于點八過點。作。E_LC。于點E,

VCO=AO=1,NAOC=45。，

:.CF=FO=@,

2

.,.△AOC的面積='xlx^=走，

224

則面積最小的四邊形面積為。無限接近點C,

最小面積無限接近顯但是不能取到.

4

?..△AOC面積確定，

要使四邊形AOOC面積最大，則要使△C。。面積最大.

以CO為底。E為高，要使AC。。面積最大，則。E最長.

當NCOO=90°時，DE最長為半徑，

四邊形AOZJC面積的最大值=△AOC的面積+△CO。的面積

VI1,,2+72

—X1X1=.....-,

424

即四邊形AODC的面積S的取值范圍是也<S<

44

故選B.

【點睛】本題主要考查了圓的綜合，正確得出四邊形的最大值是解題關鍵.

6.D

【分析】先根據勾股定理計算直徑人：6=萬彳=26，作垂線DP和DQ,根據角平分線的性質得:DP=DQ,

由全等可得AP=AQ,設未知數列等式,可得PC和BQ的長,再根據等腰三角形的性質得：ZDEC=ZDCE,

根據外角性質得：ZACE=ZECB,貝UNACE=NECB=45°,作輔助線后可得：△EFC是等腰直角三角形,

設EF=FC=a,則CE=V^a,AF=2-a,根據△AFEs^APD,列比例式可得a的值，求CE的長.

【詳解】；AB是。。的直徑，

.,.ZACB=90°,

VAC=2,BC=4,

**-AB=722+42=275，

VCD=BD,

CD=BD,

.\ZCAD=ZBAD,

過D作DP_LAC于P,DQ_LAB于Q,連接OD,

???PD=DQ,

ARtADPC^RtADQB(HL),

.\CP=BQ,

易得4APD之ZkAQD,

AAP=AQ,

設PC=x,貝1|AP=2+x,AQ=AB-BQ=2BX,

2+x=2百-x,

x=75-L

.,.BQ=CP=75-1,OQ=1,

RtZkODQ中，DQ=PD=^(V5)2-12=2,

VDE=DC,

:?/DEC二NDCE,

ZDEC=ZCAD+ZACE,ZDCE=ZECB+ZACE,

JZCAD+ZACE=ZECB+ZDCB,

DC=BC，

???NCAD=NDCB,

.*.ZACE=ZECB,

???ZACB=90°,

JZACE=ZECB=45°,

過E作EFJ_AP于F,

...△EFC是等腰直角三角形，

設EF=FC=a,則CE=0a,AF=2-a,

VEF/7PD,

.".△AFE^AAPD,

.EF_AF

"PDAP'

.a2—a

"22+君-1'

.*.3=3-75，

CE=72a=72（3-75）=35/2-V10.

故選D.

【點評】本題是有關圓的計算問題，題意雖然簡單，但有難度，考查了圓周角定理、勾股定理、三角形相

似的判定和性質，作輔助線構建等腰直角AEFC是關鍵.

7.C

【分析】陰影部分的面積可理解為SeS/LBC-S”。瓦ASMOF-S磔。OR算出各邊的長，代入面積公

式即可求解.

【詳解】如圖，連接OROD.

由題意可知S陰影=SAABC-SAOBD-SAAOF-S扇形DOF,

\'AO=BE=2,

：.DO=2,BO=4.

由題意可得，三角形33為直角三角形,

BD=^42-22=2+,

/.SABOD=1X2X2追=2收

根據Rt△80。的三邊關系，可知/8。。=60。，ZB=30°,

ZCAB=60°,

：.AC=^xAB=3,BC=3g，

△4。/和仆OO尸均為等邊三角形,

：.SAAOF=；x2xC=6,

??S陰桁yx3x3垂)—2A/3—y/3--—

_3若2兀

--2F-

故選C.

【點睛】本題考查圓中的不規則圖形面積的計算.不規則圖形面積的計算，可以采取“割J補”的方式，解決

本題的關鍵在于陰影部分的面積可以用大圖形的面積減去小圖形的面積.

8.C

【分析】根據三角形內切圓、等邊三角形的判定、關于原點對稱點的性質、正方形的判定進行分析即可.

【詳解】：A.三角形的內心到這個三角形三邊的距離相等，是真命題，故此選項錯誤；

B.有一個內角為60。的等腰三角形是等邊三角形，是真命題，故此選項錯誤；

C.直角坐標系中，點(a,b)關于原點成中心對稱的點的坐標為(-b,-a),是假命題，故此選項正確；

D.有三個角是直角且一組鄰邊相等的四邊形是正方形，是真命題，故此選項錯誤.

故選C.

c3-6

9.一或一

25

【分析】根據切線的性質定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可.

【詳解】解:連接04,

①當D點與。點重合時，為90。,

設圓的半徑=廠,

/.OA=r,0C=4-r,

"：AC=2,

在MAA0C中，根據勾股定理可得：r+4=(4-r)2,

解得：r=-

3

即AD=AO=-；

2

②當NADO90。時，過點人作人。_13。于點

AOAC

：.AD=

OC

35

*：A0=-,AC=2,0C=4-r=-,

22

AD=—,

5

綜上所述，AZ）的長為|■或g,

故答案為：|■或g.

【點睛】本題主要考查了切線的性質和勾股定理，熟練掌握這些性質定理是解決本題的關鍵.

10.60°##60度4#

【分析】根據對稱性作。關于C。的對稱點則點。、E、F、8都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再

結合切線的性質和垂徑定理求解即可.

【詳解】作。關于CD的對稱點M,則ON=MN

連接M￡）、ME、MF、MO,MO交CD千N

:將CO沿弦。折疊

:.點。、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上

:將CD沿弦CD折疊后恰好與相切于點E,F.

：.ME±OA,MF工OB

：.ZMEO=ZMFO=90°

*：ZAOB=120°

???四邊形MEOF中ZEMF=360°-ZAOB-ZMEO-ZMFO=60°

即〃的度數為60°；

9

：ZMEO=ZMFO=90°fME=MF

：.AMEO=^MFOQHL)

：.NEMO=ZFMO=-ZFME=30°

2

??.OM=———=--—=4g

cos/EMOcos30°

MN=2-^3

'：M0±DC

：.DN=《DM?—MN。=擊2-(2拘2=2A/6=gcD

/.CD=4A/6

故答案為：60°；4A/6

【點睛】本題考查了折疊的性質、切線的性質、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質作出輔助線是

解題的關鍵.

251

11.—##8-

33

【分析】設圓的半徑為rem,連接。8、OA,過點A作垂足為。，利用勾股定理，在Rs

中，得到戶=（上6）2+82,求出r即可.

【詳解】解：連接08、OA,過點A作垂足為如圖所示：

與。。相切于點B,

OBVCB,

：.NCBD=ABDA=ZACB=90°,

四邊形AC8O為矩形,

AD=CB=8,BD=AC=6,

設圓的半徑為rem,在Rt2\AO。中，根據勾股定理可得：OA2=OD2+AD2,

即，=（廣6）2+82,

25

解得：r=y,

25

即。。的半徑為jew.

故答案為：f.

【點睛】本題主要考查了切線的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，作出輔助線，構造直角三角形，利

用勾股定理列出關于半徑7■的方程，是解題的關鍵.

12.25°##25度

【分析】連接08,與。。相切于點2,得到NOR4=90。，根據三角形內角和得到-AQ5的度數，然

后用三角形外角的性質求出NC的度數.

【詳解】解：如圖：連接。8,

；A2與。。相切于點B,

ZOBA=90°,

VZA=40°,

ZAOB=50°,

OB=OC,

NC=NOBC,

,：ZAOB=ZC+ZOBC=2ZC,

ZC=25°.

故答案是：25°.

【點睛】本題考查了切線的性質，三角形的內角和定理和三角形外角的性質，求出的度數是解題的

關鍵.

【分析】連接。瓜。。，作于X,根據垂徑定理的推論和折疊性質通過證得

2

AEO^/\HEO(A4S),AE=EH=-ED,設OB=OE=x.貝ijA0=6-x,根據勾股定理得N=22+(6-x)2,解

2

方程即可求得結論.

【詳解】解:連接OE、QD',作O〃_L￡D'于H,

根據垂徑定理得硝=D”=；ED，，

"?將△DEF沿EF對折得△￡>'￡￡

/.ED'=ED,ZDEF=ZDEF,

：.EH^-ED,

2

??,正方形ABC。，

AA=90°,AB=AD=6,

是。。的切線，

:.OELEF,

：.ZOEH+Z.DEF=90°,ZAEO+NDEF=90°,

?：ZDEF=ZDEF,

：.ZAEO=NHEO,

dtAAEO和△HEO中

ZA=NEHO

<ZAEO=/HEO,

EO=EO

：.AAEO^AHEO(A4S),

AE=EH=-ED,

2

AE：ED=-ED:ED=1:2

2

,?AE+ED=AE+2AE=3AE=AD=6,

：.AE^-AD=2,

3

設OB=OE=x.則AO=6—x,

在Rt^AOE中，X2=22+(6r?,

解得x=?,

Z.OB^—.

故答案為：1:2；—.

【點睛】本題考查了正方形的性質、折疊性質，勾股定理，垂徑定理的推論，切線的性質和判定、方程,

全等三角形的判定與性質等知識；掌握正方形的性質、折疊性質，勾股定理，垂徑定理，切線的性質和判

定、方程，全等三角形的判定與性質等知識；關鍵是作出輔助線構造三角形全等.

14.25

【分析】連接OC,根據切線的性質，得出/OCP=90。，再根據直角三角形兩銳角互余，得出NPOC的度

數，然后再根據三角形的外角和定理，得出/POC=/Q4C+/OC4=50。，再根據等邊對等角，得出

ZOAC=ZOCA,再進行計算即可得出/54C的度數.

【詳解】解：連接。C,

??.PC是。。的切線，C為切點，

OCLPC,

ZOCP=90°,

在R/AOCP中，

/尸=40°,

NPOC=90°-ZP=90°-40°=50°,

??,點P是直徑AB的延長線上一點，

ZPOC=ZOAC+ZOCA=50°,

又：OA=OC,

：.ZOAC^ZOCA,

：.2ZOAC=50°,

ZOAC=25°,

即/BAC=25°.

【點睛】本題考查了切線的性質、直角三角形兩銳角互余、三角形的外角和定理、等邊對等角，解本題的

關鍵在熟練掌握相關的性質定理.

15.4近晅

5

【分析】證得8G與。E垂直，進而可得到點K的運動軌跡在以8。為直徑的圓上，進而可求得AK的最大

值；當點C正好是△BKE的內心時，作CNLDE于點N,CHLBG于點、H,延長EC交8。于點。，證得

BE=DE,EO±BD,AGVE-ADOE,進而可求得CN的長，最后求得CK的長.

【詳解】解：ZBCD=/ECG=90°,ZBCG=ZBCD+ZDCG,ZDCE=ZECG+ZDCG

：.NBCG=NDCE

又：BC=CD,CE=CG

：.ABCG=ADCE

NBGC=NDEC

如下圖，CG與DE交點、為M,則有=

AKMSACME

：.ZGKM=ZECM=90°

DE1,BG

???△BKD為直角三角形

交點K的運動軌跡在以8。為直徑的圓上，圓心為8。中點O,顯然點A、C也在圓上，AK為該圓的弦,

故AK最大值為圓的直徑AC,即當點K與點C重合時取得最大值

止匕時AC=VBC+AF=46.

如下圖，當點C正好是ABKE的內心時，作CNJ_DE于點N,CHLBG于點、H,延長EC交于點O

??,EC為N3ED的角平分線，8。為ZE6G的角平分線

/.ZBEC=ZDEC,ZEBC=Z.GBC=ZEDC

AEBCM2EDC

**?BE=DE

:.EOLBD

/.△GVEC/DA￡>OE

.CN_CE

??歷一瓦

OD=-BD=-VBC2+CD2=2V2,0C=BCxCD=2y/2

22BD

OE=OC+CE=4y/2

DE=y/OD2+OE2=2回

：.CN二巫

5

顯然此時四邊形CHKN為正方形

：.CK=4iCN=^-

故答案為：46，警.

【點睛】本題考查矩形的性質特征，全等形的判定及性質，相似的判定及性質，圓的應用，熟練掌握相關

知識是解題的關鍵.

16.（1）詳見解析；（2）DE=3

【分析】（1）連接。。，3D,證出AA5c是等腰三角形，結合圖形得出。。是AABC的中位線，因為OD//BC,

DE±BC,證出。石人OD即可得出DE是。。的切線；

（2）由（1）可得，AC=6A/10,AD=CD=3M,在R/AABD中，由勾股定理求得BD的長度，證出

RACDESRSABD,根據相似三角形對應邊成比例可求得DE的長.

【詳解】（1）證明：連接OD,BD,

a

：AB為0。的直徑，

/.BD±AD,

又：AB=BC,AABC是等腰三角形，

8D又是AC邊上的中線，

，0。是“LBC的中位線，

?.OD//BC,

又DE1BC,

：.￡>EAOD,

QE是。。的切線.

（2）由（1）知，8。是AC邊上的中線，AC=6^/10

AD=CD=3屈.

,/。。的半徑為5,

AB=10.

在放中，BD=yjAB2-AD2=7102-(3A/10)2=y/10

'：AB=BC,

：.ZA=ZC.

在Rt^CDE和RtABD中，：ADEC=ZADB=90°,ZC=ZA,

Rt^CDE^Rt^ABD,

.CDDE

?,法一茄'

P3A/10DEQM曰__

B1NP——=、=,解得。￡=3.

10710

【點睛】本題考查了圓的切線判定定理以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握圓的切線判定以及相似三

角形的判定是解題的關鍵.

17.（1）見解析；（2）不

【分析】（1）利用SSS證明△AP。絲ABPO,推出NPBO=NP4O=90。，即可證明PB是。。的切線;

(2)先求得尸0=2,PA=叢,在中，利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：連接。2,

是。。的切線，

ZPAO=90°,

?.?點8在。。上，

：.A0=B0,

"：PA=PB,PO=PO,

：.△APO0△BPO(SSS),

ZPBO=APAO=90。，

...P8是。。的切線；

(2)解：是。。的直徑，AD=2,

：.OA=\,

：C為尸。的中點，

：.PO=2,

:.PA"_儼=后,

在RtAPAD中，由勾股定理可得PD=VPA2+AD2=7(V3)2+22=布-

【點睛】本題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識；熟練掌握切線的判

定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵.

18.(1)證明見解析

(2)BD=5,AD=26

【分析】(1)連接OAOC,先根據線段垂直平分線的判定可得垂直平分8C,再根據平行線的性質可得

OAJLPA,然后根據圓的切線的判定即可得證；

(2)連接OA,交BC于點、E,先在中，利用正切的定義、勾股定理可得AE=1,48=如，再設

BD=2x,則。4=O2=x,OE=x-l,在RjOBE中，利用勾股定理可得x的值，從而可得的長，然后

根據圓周角定理可得/區位＞=90。，最后在RtZXABD中，利用勾股定理可得4￡＞的長.

(1)

證明：如圖，連接0AoC,

QAB=AC,OB=OC,

.：04垂直平分3。，

PA||BC,

:.OA±PA,

又??,CH是。。的半徑，

是。。的切線.

(2)

解：如圖，連接。1,交BC于點E,

由(1)已證：Q4垂直平分3C,

■.■BC=4,

:.BE=-BC=2,

2

,,,tanZABC=—,

2

AE1

?.?一-,

BE2

:.AE=-BE=1,

2

：.AB=ylAE2+BE2=75'

設BD=2x,貝UOA=OB=x,OE=OA—AE=x—1,

在Rt^OBE中，OE2+BE2=OB2,即(x-l)?+2?=Y,

解得x=g，

BD=2x=5,

是。O的直徑，

:.ZBAD=90°,

在RtZXABD中,AD^y/BD2-AB2=275-

【點睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、正切等知識點，熟練掌握圓的切線的判定和圓周角定

理是解題關鍵.

19.(1)見解析

⑵加

【分析】(1)根據過直線上一點作直線的垂線的作法，即可作得；

(2)根據勾股定理即可求得.

(1)

解：如圖：(1)連接。1,并延長。4到C,使

(2)分別以點。、C為圓心，以大于OA的長度為半徑畫弧，兩弧交于點M

(3)過點M、A作直線AM,直線AM即為所求的直線

如圖：連接。W、CM

由作法可知：點A是線段0C的中點，OM=CM

:.AM±OC

又OA是Q0半徑

J.AM是。。的切線

(2)

??.在MVOAB中，OB=7CM2+AB2=V22+32=713

【點睛】本題考查了過直線上一點作直線的垂線的作法，切線的判定定理，勾股定理，熟練掌握和運算過

直線上一點作直線的垂線的作法是解決本題的關鍵.

20.⑴見解析

(2)BD=正

【分析】對于(1),先連接OD再根據直徑所對的圓周角是直角及角平分線定義求出/48。=45。，然后

根據圓周角定理求出/4。。=90。，最后結合平行線的性質得/OOE=90。，結合切線的判定得出答案；

對于(2),先根據兩角對應相等的兩個三角形相似得△A3。?ADBE,再根據相似三角形的對應邊成比例，

同時代入數值求出答案即可.

(1)

連結OD,

；AC使。。的直徑，

ZABC=90°.

,.?2。平分/43。，

NABD=/DBE=45°,

：.ZAOD=2ZABD=9Q°.

'：AC//DE,

，ZODE=ZAOD=90°,

即ODA_DE,

為。。的切線.

(2)

'：AC//DE,

：.ZE=ZBCA=ZADB.

'：ZABD=ZDBE=45°,

：./\ABD-ADBE,

,ABBD

"~BD~~BE'

?.?A8=2,BE=3,

：.BD=46.

【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定，相似三角形的性質和判定等，掌握性質定理是解題的關鍵，連接

圓心和圓上的點，再證明垂直是圓的切線的判定的常用方法.

21.(1)見解析；

(2)|?乃.

【分析】(1)連接。口，根據垂直定義可得NAEO=90。，從而可得/。4。+/4。/=90。，再根據等腰三

角形的性質，可得N04D=/0ZM,從而可得NAOC+NOZM=90。，進而可得/。。。=90。，即可得證;

(2)在RQODC中，由sinC=；可得NC=30。，然后證明△OAD是等邊三角形，解直角三角形△ABO求

出AO=2,可得。。=2,再利用弧長公式計算即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。。，

'：OF±AD,

：.NAEO=90。，

：.ZOAD+ZAOF=90°,

'：OA^OD,

：.ZOAD=ZODA,

ZADC=ZAOF,

：.ZADC+ZODA=90°,

???NOOC=90。，

是。。的半徑,

???C0是。。的切線;

(2)解：在RJODC中，sinC=g,

AZC=30°,

：.ZCOD=60°,

?：OA=OD,

???△。4。是等邊三角形，

???/。4。=60。,

TAB是直徑,

：.ZBDA=90°,

BDBD2退二八

在Rt△ABO中，AD=

tan/BADtan60°G

：.OD=2,

?XA1/d607rx22

??4。的長為：1Qn=~^■

1oUJ

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，熟練掌

握經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵.

22.（1）見解析

(2)1

【分析】（1）連接OE,根據已知條件和切線的性質證明四邊形。尸CE是矩形，再根據矩形的性質證明

Ob=EC即可；

（2）根據題意，結合（1）可知OE=gBO=l,再由直角三角形中“30。角所對的直角邊是斜邊的一般”的

性質，可推導AO=2OE=2,最后由=計算的長即可.

【詳解】（1）解：如圖，連接OE,

￡

ADOB

切半圓。于點E,

：.OE±AC,

YOFLBC,ZC=90°,

ZOEC=ZOFC=ZC=90°.

四邊形OFCE是矩形，

；.OF=EC；

(2)*.?BD=2,

：.OE^-BD=-x2=l,

22

VZA=30°,OELAC,

：.AO=2OE=2xl=2,

：.AD=AO-DO=2-l=1.

【點睛】本題主要考查了切線的性質、矩形的判定與性質以及含30。角的直角三角形性質等知識，正確作

出輔助線并靈活運用相關性質是解題關鍵.

(2)見解析

【分析】(1)連接由NAC3=20。，得NAOD=40。，由弧長公式即得AO的長為§；

(2)根據切O。于點A,?390?,可得OA//BCZOAD=ZADB，而。4=OD,即可得ZADB=ZODA,

從而AD平分NBDO.

【詳解】(1)解：連接。4,

B

,/ZACB=20°,

???ZAOD=40°,

.rmr

：.AD=——,

180

40x7ix6

180

-T,

(2)證明：?.?Q4=OD,

：.ZOAD=ZODAf

?.?45切。。于點A,

.\OA.LAB,

vZB=90°,

:.OA//BC,

:.ZOAD=ZADBf

.\ZADB=ZODA,

「.AD平分NBDO.

【點睛】本題考查與圓有關的計算及圓的性質，解題的關鍵是掌握弧長公式及圓的切線的性質.

24.⑴證明見詳解

(2)/3=45。

(3)作圖見詳解

【分析】(1)根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的三線合一即可證明；

(2)根據切線的性質可以得到90。，然后在等腰直角三角形中即可求解；

(3)根據等弧所對的圓周角相等，可知可以作出AO的垂直平分線，乙鉆。的角平分線，ZAOD的角平分

線等方法均可得到結論.

【詳解】(1)證明：???A5是。。的直徑，

：.ZADB=90°,

J.AD1BC,

?：AB=ACf

：.BD=CD.

(2)與AC相切，

：.ABAC=9Q°,

又???AB=AC,

，ZB=45°.

(3)如下圖，點E就是所要作的AO的中點.

CB

【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、切線的性質、以及尺規作圖、等弧所對的圓周角相等，理解

圓的相關知識并掌握基本的尺規作圖方法是解題的關鍵.

55

⑵廣廠+

ODCO

【分析】(1)連接設半徑為r,利用△。。?-△。痛，得言=%，代入計算即可；

BECB

(2)根據CP=A尸十AC,用含x的代數式表示AP的長，再由(1)計算求AC的長即可；

(3)①顯然/PRQ<90。，所以分兩種情形，當/狼。=90。時，則四邊形RPQE是矩形，當/PQR=

90。時，過點尸作于點H,則四邊形PHER是矩形，分別根據圖形可得答案；

②連接ARQ尸，由對稱可知QF=QF',ZF'QR=ZEQR=45°,利用三角函數表示出BF'和BF的長度，

從而解決問題.

【詳解】(1)解：如圖1,連結設半圓。的半徑為九

APO

圖1

：CO切半圓。于點，

ODLCD.

'：BELCD,

：.OD//BE,

△COD^CBE,

,OPco

%~BE~~CB'

r5—F

,丁丁

?.r=*即半圓。的半徑是詈

oo

(2)由(1)得：CA=CB-AB=5-2x—=-.

84

4

VCP=AP+AC,

._5/

>?y=-xH—.

44

(3)①顯然/PRQ<90。，所以分兩種情況.

i)當NHPQ=90。時，如圖2.

P

圖2

,:PRYCE,

：.NERP=90°.

VZE=90°,

???四邊形RPQE為矩形，

：.PR=QE,

333

???PR=PCsinC=-y=-x+-,

544

?一XH—=3—X,

44

?,x=一

ii）當/PQR=90。時，過點尸作尸于點如圖3,

則四邊形"ER是矩形,

PH=RE,EH=PR.

,：CB=5,BE=3,

,?CE=J52—32=4?

4

*.*CR=CP,cosC=—y=x+1,

：.PH=RE=3-x=EQ,

:?/EQR=NERQ=45。,

：.ZPQH=450=ZQPH,

.\HQ=HP=3-x,

33

由EFI=PR得:(3—x)+(3—x)=—尤H—,

44

綜上所述，X的值是￡或書.

②如圖4,連結AF,QF',

圖4

由對稱可知。尸=。9，NFQR=NEQR

〈BE工CE,PRA.CE,

；.PR〃BE,

：.ZEQR=ZPRQ,

VBQ=x,CP=-x+-

44f

,:PR〃BE,

???ACPRs^CBE,

.CP_CB

??=，

CRCE

55

即：4X+4^5,

CR~4

解得：CR=x+l,

：.ER=EC-CR=3-x,

即：EQ=ER

：.NEQR=NERQ=45。,

ZFrQR=ZEQR=45°

：.NBQF'=90。,

4

QF=QFf=BQ^nB=-x.

A5是半圓。的直徑，

：.ZAFB=90°,

9

BF-AB-cosB=—,

4

.49

??一x-\~x=一,

34

.27

?,x=—,

28

.CFBC-BFBC]_3_19

"BF7"-BF—一麗一一1一~~9'

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，三角函數

等知識，利用三角函數表示各線段的長并運用分類討論思想是解題的關鍵.

26.(1)證明過程見解析

⑶tF或2-&或2+夜或士y

【分析】(1)設cr?與AB相交于點M,由。。與48相切于點4得到？BAG90。，由COLM,得到

ZAMC=90°,進而得到AG〃CD,由平行線的性質推導得，？C4G1ACD,?AGC?FCD,最后由點

A關于CD的對稱點為E得至IJZFCD=ZACD即可證明.

(2)過尸點作于點K,設與CO交于點N,連接。R證明NE4D=/ADC得到DP=AP,

KEEF2

再證明△CPA也△尸尸。得到PF=PC；最后根據AKEFsANEC及△APNS/IAFK得至lj——二——二二和

ENCE5

黑pA=等AN=白5，最后根據平行線分線段成比例求解?

ArAK12

(3)分四種情形：如圖1中，當OC〃A/時，如圖2中，當OC〃AF時，如圖3中，當AC〃。尸時,

如圖4中，當AC〃。尸時，分別求解即可..