年中考數學考點分類專題歸納圓知識點一、圓的定義、性質及與圓有關的角

1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

備注：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

備注：

在垂經定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）3．與圓有關的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數.

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

4．圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角.

備注：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

知識點二、與圓有關的位置關系1．判定一個點P是否在⊙O上

設⊙O的半徑為，OP=，則有

點P在⊙O外；點P在⊙O上；點P在⊙O內.

備注：點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數量關系；知道數量關系也可以確定位置關系.2．判定幾個點A1，A2……An在同一個圓上的方法

當A1O=A2O=……=AnO=R時，A1，A2……An在⊙O上.

3．直線和圓的位置關系

設⊙O半徑為R，點O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質

(1)切線的判定：

①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質：

①圓的切線垂直于過切點的半徑.

②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點.

③經過切點作切線的垂線經過圓心.

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關系

設的半徑為，圓心距.

(1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離

.

(2)和沒有公共點，且的每一個點都在內部內含

(3)和有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切.

(4)和有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內部內切.

(5)和有兩個公共點相交.

知識點三、三角形的外接圓與內切圓、圓內接四邊形與外切四邊形

1．三角形的內心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.備注：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有無數個外切三角形；

(2)解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內心的區別：2．圓內接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

知識點四、圓中有關計算

1．圓中有關計算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算.

圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側面積為，全面積為.

圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.備注：

(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式，可根據題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯系：.

1．（2024?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，且經過弦CD的中點H，已知sin∠CDB，BD＝5，則AH的長為（）A． B． C． D．2．（2024?張家界）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC＝5cm，CD＝8cm，則AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（2024?襄陽）如圖，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，則弦BC的長為（）A．4 B．2 C． D．24．（2024?衢州）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，則OF的長度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm5．（2024?棗莊）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，則CD的長為（）A． B．2 C．2 D．86．（2024?安順）已知⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝8cm，則AC的長為（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm7．（2024?臨安區）如圖，⊙O的半徑OA＝6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點，則BC＝（）A． B． C． D．8．（2024?樂山）《九章算術》是我國古代第一部自成體系的數學專著，代表了東方數學的最高成就．它的算法體系至今仍在推動著計算機的發展和應用．書中記載：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”譯為：“今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸（ED＝1寸），鋸道長1尺（AB＝1尺＝10寸）”，問這塊圓柱形木材的直徑是多少？”如圖所示，請根據所學知識計算：圓柱形木材的直徑AC是（）A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸9．（2024?日照）如圖，邊長為1的小正方形構成的網格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠BED的正切值等于（）A． B． C．2 D．10．（2024?巴中）如圖，⊙O中，半徑OC⊥弦AB于點D，點E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，則半徑OB等于（）A． B．2 C．2 D．311．（2024?赤峰）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（A、B除外），∠AOD＝130°，則∠C的度數是（）A．50° B．60° C．25° D．30°12．（2024?盤錦）如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，則∠ADB的度數為（）A．15° B．25° C．30° D．50°13．（2024?陜西）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并與⊙O相交于點D，連接BD，則∠DBC的大小為（）A．15° B．35° C．25° D．45°14．（2024?柳州）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，∠A＝60°，∠B＝24°，則∠C的度數為（）A．84° B．60° C．36° D．24°15．（2024?銅仁市）如圖，已知圓心角∠AOB＝110°，則圓周角∠ACB＝（）A．55° B．110° C．120° D．125°16．（2024?通遼）已知⊙O的半徑為10，圓心O到弦AB的距離為5，則弦AB所對的圓周角的度數是（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°17．（2024?咸寧）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB，CD所對的圓心角分別是∠AOB，COD，若∠AOB與∠COD互補，弦CD＝6，則弦AB的長為（）A．6 B．8 C．5 D．518．（2024?隴南）如圖，⊙A過點O（0，0），C（，0），D（0，1），點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，則∠OBD的度數是（）A．15° B．30° C．45° D．60°19．（2024?鹽城）如圖，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，則∠CAB的度數為（）A．35° B．45° C．55° D．65°20．（2024?邵陽）如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是（）A．80° B．120° C．100° D．90°21．（2024?泰安）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為（3，4），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最小值為（）A．3 B．4 C．6 D．822．（2024?牡丹江）如圖，△ABC內接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，則⊙O的半徑為（）A．3 B．6 C．4 D．223．（2024?自貢）如圖，若△ABC內接于半徑為R的⊙O，且∠A＝60°，連接OB、OC，則邊BC的長為（）A． B． C． D．24．（2024?湘西州）已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定25．（2024?湘西州）如圖，直線AB與⊙O相切于點A，AC、CD是⊙O的兩條弦，且CD∥AB，若⊙O的半徑為5，CD＝8，則弦AC的長為（）A．10 B．8 C．4 D．426．（2024?福建）如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，AC交⊙O于點D，若∠ACB＝50°，則∠BOD等于（）A．40° B．50° C．60° D．80°27．（2024?宜昌）如圖，直線AB是⊙O的切線，C為切點，OD∥AB交⊙O于點D，點E在⊙O上，連接OC，EC，ED，則∠CED的度數為（）A．30° B．35° C．40° D．45°28．（2024?重慶）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD與⊙O相切于點D，過點B作PD的垂線交PD的延長線于點C，若⊙O的半徑為4，BC＝6，則PA的長為（）A．4 B．2 C．3 D．2.529．（2024?海南）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（20，0），點B的坐標是（16，0），點C、D在以OA為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，則點C的坐標為_______．30．（2024?煙臺）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O，A，B，C在格點（兩條網格線的交點叫格點）上，以點O為原點建立直角坐標系，則過A，B，C三點的圓的圓心坐標為_________．31．（2024?孝感）已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，則弦AB和CD之間的距離是______cm．32．（2024?廣元）如圖是一塊圓環形玉片的殘片，作外圓的弦AB與內圓相切于點C，量得AB＝8cm、點C與的中點D的距離CD＝2cm．則此圓環形玉片的外圓半徑為___cm．33．（2024?舟山）如圖，量角器的0度刻度線為AB，將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量角器相切于點C，直尺另一邊交量角器于點A，D，量得AD＝10cm，點D在量角器上的讀數為60°，則該直尺的寬度為________cm．34．（2024?畢節市）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為半圓的三等分點，CE⊥AB于點E，∠ACE的度數為_____．35．（2024?隨州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，則∠B＝____度．36．（2024?黑龍江）如圖，AC為⊙O的直徑，點B在圓上，OD⊥AC交⊙O于點D，連接BD，∠BDO＝15°，則∠ACB＝_____．37．（2024?吉林）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，，若∠AOB＝58°，則∠BDC＝__