2．6

等腰三角形第2章圖形的軸對稱2．6.1等腰三角形逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2等腰三角形的性質等腰三角形的判定知識點等腰三角形的性質知1－講11.性質1等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形的對稱軸是底邊的垂直平分線.2.性質2等腰三角形的底邊上的高、底邊上的中線及頂角的平分線重合(簡寫成“三線合一”).已知等腰三角形的“一線”，則它具有另外“兩線”的性質.知1－講幾何語言：如圖2.6-1，在△ABC

中，①因為AB=AC，AD⊥BC，所以AD平分∠

BAC，BD=CD.②因為AB

＝AC，BD

＝DC，所以AD⊥BC，AD平分∠BAC.③因為AB＝AC，AD

平分∠BAC，所以BD＝DC,AD

⊥BC．知1－講特別解讀應用“三線合一”的前提必須是等腰三角形，且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才相互重合，若是一腰上的高與中線就不一定重合.知1－講3.性質3等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).拓展：(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等.(2)等腰三角形兩底角的平分線相等.(3)等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.特別提醒適用條件：必須在同一個三角形中.知1－練例1[新考法方程建模法]如圖2.6-2，在△ABC

中，AB=AC，點D，E

分別在AC，AB

邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠

A的度數.解題秘方：利用“等邊對等角”及外角的性質將△ABC

中的三個角都用要求的∠A

來表示，利用三角形的內角和等于180°解決問題.知1－練

知1－練

知1－練1-1.[中考·濱州]如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且頂角∠BAC=120°，則∠C的大小為_________．30°

知1－練1-2.[中考·聊城]如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，點D是BC邊上任意一點，過點D作DF∥AB

交AC

于點E，則∠FEC的度數是()A.120°B.130°C.145°D.150°B知1－練如圖2.6-3，在△ABC

中，AB=AC，AD

平分∠

BAC.解題秘方：利用等腰三角形的性質——“三線合一”，將未知量轉化為已知量.例2知1－練(1)若BC=3cm，求BD

的長；

知1－練(2)若∠BAD=50°，求∠B

的度數.解：因為AB=AC，AD

平分∠

BAC，所以AD⊥BC.所以∠ADB=90°.又因為∠BAD=50°，所以∠B=40°.知1－練2-1.如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥

BC于點D，若AB=6，CD

=4，則△

ABC的周長是()A.10B.14C.16D.20D知1－練例3如圖2.6-4，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足為點M.試說明：CM=MD.解題秘方：由已知AM⊥CD

和結論CM=MD，聯想到等腰三角形“三線合一”的性質，因此連接AC，AD，構造等腰三角形.知1－練

知1－練3-1.如圖，在△ABC中，AB=AC，D

是BC的中點，E，F分別是AB，AC

上的點，且AE

=AF，試說明：DE=DF．知1－練知1－練[母題教材P56例2]如圖2.6-5，用尺規(無刻度直尺和圓規)作一等腰三角形，使其底邊長為a，腰長為b，并作出頂角的平分線(保留作圖痕跡，不必寫出做法).例4知1－練解題秘方：作一個三角形，關鍵是確定三個頂點，由底邊可確定兩個頂點，以底邊的兩個端點為圓心、腰長為半徑作弧，兩弧的交點就是第三個頂點；根據角平分線的尺規作圖方法作頂角的平分線即可.知1－練解：如圖2.6-6，△ABC即為所求作的等腰三角形，AD是頂角的平分線.知1－練4-1.如圖，AC⊥BC，∠ABC=40°.(1)尺規作圖：在直線BC

上找一點P，使得△

ABP是等腰三角形.(要求保留作圖痕跡，若有多個點，用P1，P2，P3，?表示)知1－練解：如圖所示，P1，P2，P3，P4即為所求．知1－練(2)在(1)

條件下，∠ABP=__________.40°或140°知2－講知識點等腰三角形的判定21.定義法有兩邊相等的三角形是等腰三角形.2.判定方法有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡寫成“等角對等邊”).幾何語言：在△

ABC中，因為∠B=∠C，所以AB=AC.知2－講3.等腰三角形的性質與判定的異同相同點：使用的前提都是“在同一個三角形中”.不同點：由三角形的兩邊相等，得到它們所對的角相等，是等腰三角形的性質；由三角形的兩角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定，即等邊等角.知2－講特別提醒“等角對等邊”不能敘述為“如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩條腰相等”，因為在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“頂角”“腰”“底邊”這些名詞.知2－練如圖2.6-7，AD是△

ABC的邊BC上的高，且AD平分∠BAC，試說明：△

ABC為等腰三角形.例5解題秘方：根據等腰三角形的定義來判定，只需說明有兩邊相等即可.知2－練

知2－練5-1.如圖，在△ABC中，點D

是邊BC

上的一點，點E

是邊AC上的一點，且AB=AC=DC，BD=CE，連接AD，DE.知2－練(1)試說明：△ADE是等腰三角形;知2－練(2)若∠ADE=40°，求∠

BAC的度數.解：因為△ABD≌△DCE，所以∠BAD＝∠EDC.所以∠BAD＋∠BDA＝∠EDC＋∠BDA＝180°－∠ADE＝140°.所以在△ABD中，∠B＝180°－(∠BAD＋∠BDA)＝180°－140°＝40°.所以∠C＝∠B＝40°.所以∠BAC＝180°－40°－40°＝100°.知2－練如圖2.6-8，在△

ABC中，P是BC

邊上一點，過點P

作BC

的垂線，交AB

于點Q，交CA

的延長線于點R，若AQ=AR，試說明：△ABC

是等腰三角形.例6解題秘方：利用“等角對等邊”判定等腰三角形，只需說明三角形有兩個內角相等即可.知2－練解：因為AQ=AR，所以∠R=∠AQR.又因為∠BQP=∠AQR，所以∠R=∠BQP.因為RP⊥BC，所以∠B＋∠BQP=90°，∠C＋∠R=90°.所以∠B=∠C.所以AB=AC.所以△

ABC是等腰三角形.知2－練6-1.如圖，已知點D，E分別是△ABC

的邊BA和BC

延長線上的點，作∠DAC的平分線AF，且AF∥BC.知2－練(1)試說明：△ABC

是等腰三角形；解：因為AF平分∠DAC，所以∠DAF＝∠CAF.因為AF∥BC，所以∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB.所以∠B＝∠ACB.所以AB＝AC.所以△ABC是等腰三角形．知2－練(2)

作∠ACE

的平分線交AF