專題2.9整式加減章末八大題型總結（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1整式加減的循環運算】 1【題型2利用整式加減計算周長】 5【題型3整式加減的規律探究】 10【題型4整式加減與絕對值的綜合】 15【題型5整式加減與數軸動點綜合】 19【題型6整式加減與數字綜合】 24【題型7整式加減中的新定義問題】 29【題型8整式加減的應用】 34【題型1整式加減的循環運算】【例1】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學?？计谥校┮阎獌蓚€整式M1=x+1，M2=x-1，用整式M1與整式M2求和后得到整式M3=2x，整式M2與整式M3作差后得到整式M4=-x-1，整式M3與整式M4求和后得到新的整式M5，整式M4與整式M5作差后得到新的整式M6，…，依次交替進行A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據題意依次計算出M1=x+1，M2=x-1，M3=2x，M4=-x-1=-M1，M5=根據觀察可發現每12個一循環，將x=1代入M7中可判斷①；根據上述即可判斷②；M19=M7，再代入計算即可判斷③；先計算出【詳解】解：由題意計算可得：M1=M3M4M5M6M7M8M9M10M11M12M13M14M15以此類推，每12個一循環，∴當x=1時，M7=-由上述可知，整式M2與整式M10結果不相等，故∵M19=M∴M∴M6=M∵M1∴M1+M∴正確的結論有①③④，共3個．故選：C．【點睛】本題考查了整式的加減、規律型：數字的變化類，解題關鍵是根據題意進行正確的計算，認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，通常將數字與序號建立數量關系或者前后數字進行簡單運算，從而得出規律．【變式11】（2023春·四川成都·七年級成都嘉祥外國語學校?？计谀┬±谙刖幰粋€循環“插數”程序，對有序的數列：2，0進行有規律的“插數”：對任意兩個相鄰的數，都用右邊的數減去左邊的數之差“插”在這相鄰的兩個數之間，產生一個個新數列.如：第1次“插數”產生的一個新數列是2，2，0；第2次“插數”產生的一個新數列是2，4，2，2，0；第3次“插數”產生的一個新數列是2，6，4，2，2，4，2，2，0；……，第2019次“插數”產生的一個新數列的所有數之和是.【答案】4036【分析】根據第1次“插數”產生的一個新數列是2，2，0，增加了新數2；第2次“插數”產生的一個新數列是2，4，2，2，0，增加了新數4，2，2，其和為4；第3次“插數”產生的一個新數列是2，6，4，2，2，4，2，2，0，增加了新數6，4，2，2，4，2，2，其和為6；……由此可得第n次“插數”產生的一個新數列的所有數之和為2n2；由此即可解答.【詳解】第1次“插數”產生的一個新數列是2，2，0，增加了新數2；第2次“插數”產生的一個新數列是2，4，2，2，0，增加了新數4，2，2，其和為4；第3次“插數”產生的一個新數列是2，6，4，2，2，4，2，2，0，增加了新數6，4，2，2，4，2，2，其和為6；……由此可得，第n次“插數”產生的一個新數列的所有數之和為：2+0+2n=2n2；∴第2019次“插數”產生的一個新數列的所有數之和是：2n2=2×20192=4036.故答案為4036.【點睛】本題是數字規律探究題，根據題意得到第n次“插數”產生的一個新數列的所有數之和為2n2是解決問題的關鍵.【變式12】（2023春·河北廊坊·七年級校聯考期末）用5、2、1，三個數按照給出順序構造一組無限循環數據．(1)求第2018個數是多少？(2)求前50個數的和是多少？(3)試用含k(k為正整數)的式子表示出數“2所在的位置數；(4)請你算出第n個,第n+1個,第n+2【答案】（1）－2；（2）－103；（3）3k1（k為正整數）；（4）－6．【分析】（1）根據每3個數一組，從第四個數開始循環，即可得到結論；（2）前50個數分成16組，每一組數的和為－5－2+1=－6，余下兩個數為－5，－2，即可得到結論；（3）根據－2的位置為第2個，第5個，第8個，即可得到結論；（4）任意取三個連續位置的數，有三種可能：5，2，1或2，1，5或1，5，2，其和為都等于－5－2+1=－6，即可得到結論．【詳解】（1）∵從第四個數開始循環，2018÷3=672．．．2，∴第2018個數是－2；（2）∵50÷3=16．．．2，∴前50個數的和是（－5－2+1）×16+（－5）+（－2）=－103；（3）5，2，1，5，2，1，5，2，1．．．，－2的位置為第2個，第5個，第8個，即第3k1個，k為正整數；（4）從5，2，1，5，2，1，5，2，1．．．，中任意取三個連續位置的數，有三種可能：5，2，1或2，1，5或1，5，2，其和為都等于－5－2+1=－6．【點睛】本題考查了數字變化規律．弄清3個數為一組，進行循環是解答本題的關鍵．【變式13】（2023春·遼寧沈陽·七年級統考期中）如圖，將一張正方形紙片，剪成四個大小形狀一樣的小正方形，如圖1（算作剪1次），然后將其中的一個小正方形再按同樣的方法剪成四個小正方形，如圖2（算作剪2次），再將其中的一個小正方形剪成四個小正方形，如圖3（算作剪3次），如此循環進行下去．(1)填表：剪的次數1234正方形個數710(2)如果剪10次，共剪出_____________個小正方形；如果剪n次，共剪出_____________個小正方形；(3)如果要剪出100個小正方形，那么需要剪_____________次；(4)若原正方形紙片的邊長為1，則剪3次后最小正方形（圖3陰影部分）的面積為_____________．【答案】(1)4,13(2)31，3(3)33(4)1【分析】（1）根據題意可以將表格中的數據補充完整；（2）根據表格中的數據可以計算出剪了10次，共剪出多少個正方形，也可以計算出剪n次，共剪了多少個正方形；（3）根據（2）中算出的用n表示的式子，令其等于100，即可算出n的值，即剪了多少次；（4）根據題意可寫出剪3次后小正方形的邊長，進行可以求出面積．【詳解】（1）解：根據題意可得，剪1次時，正方形的個數為4，由表中規律可得，剪4次后，正方形的個數為13，故答案為：4,13；（2）解：根據表格中的數據觀察可知，第10次剪成的正方形的個數為：4+3×10-1第n次剪成的正方形個數為：4+n故答案為：31，3n（3）解：根據題意得，令3n解得n=33故答案為：33，（4）解：若原正方形紙片的邊長為1，則剪三次后正方形的邊長為18所以小正方形的面積為：18故答案為：164【點睛】本題考查了圖形的變化，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中正方形個數的變化規律，利用數形結合的思想解答．【題型2利用整式加減計算周長】【例2】（2023春·湖南長沙·七年級?？计谥校┤鐖D，在兩個完全相同的大長方形中各放入五個完全一樣的白色小長方形，得到圖（1）與圖（2）．若AB=m，則圖（1）與圖（A．m B．54m C．65【答案】C【分析】設小長方形的寬為x，長為y，大長方形的寬為n，表示出x、y、m、n之間的關系，然后求出陰影部分周長之差即可．【詳解】解：設小長方形的寬為x，長為y，大長方形的寬為n，由圖（1）得4x由圖（2）得2x+y∴5x∴x圖（1）中陰影部分的周長為：2n圖（2）中陰影部分的周長為：2n∴陰影部分的周長之差為：185故選：C．【點睛】本題考查了整式的加減，列代數式，正確得出各圖中陰影部分周長的代數式是解題的關鍵．【變式21】（2023春·浙江·七年級期中）如圖，大長方形ABCD是由一張周長為C1正方形紙片①和四張周長分別為C2，C3，C4，C5的長方形紙片②，③，④，⑤拼成，若大長方形周長為定值，則下列各式中為定值的是（

）A．C1 B．C3+C5 C．C1+C3+C5 D．C1+C2+C4【答案】B【分析】將各長方形的邊長標記出來，可將大長方形ABCD的周長為C和正方形紙片①的周長C1和四張長方形紙片②，③，④，⑤的周長分別為C2，C3，C4，C5表示出來，其中大長方形ABCD的周長為C為定值，然后分別計算C3+C5，C1+C3+C5，C1+C2+C4，找出其中為定值的即可．【詳解】解：如圖，將各長方形的邊長標記出來，∴大長方形ABCD的周長為C=2∴C2=2a+2b，C∵①是正方形，∴c∴a+∴C3C1C1∴C3故選：B．【點睛】本題主要考查了整式的加減的計算，熟練掌握整式的加減的運算法則是解答本題的關鍵．【變式22】（2023春·廣西南寧·七年級南寧三中?？计谀D①中的長方形紙片剪成1號，2號，3號，4號正方形和5號長方形．(1)設3號正方形的邊長為x，4號正方形的邊長為y，求1號，2號正方形的邊長分別是多少？（用x，y的代數式表示）(2)若圖①中長方形的周長為48，試求3號正方形的邊長；(3)在（2）的情況下，若將這五個圖形按圖②的方式放入周長為100的長方形中，求陰影部分的周長．【答案】(1)y-x，(2)6；(3)88．【分析】（1）觀察圖形，易知1號正方形的邊長為4號正方形的邊長減去3號正方形的邊長，同理易知2號正方形的邊長為3號正方形的邊長減去1號正方形的邊長；（2）根據觀察，可知圖①中大長方形的長為3號正方形的邊長與4號正方形的邊長和，即：x+y，寬為2號正方形的邊長與3號正方形的邊長和，即：x+(2x-（3）要求陰影部分的周長，可根據平移的性質得出陰影部分的周長即為長方形ABCD的周長，再利用大長方形的周長和大長方形的寬，進而可求出AB的長，從而解得陰影部分的周長．【詳解】（1）解：∵3號正方形的邊長為x，4號正方形的邊長為y，∴1號正方形的邊長為y-x，2號正方形的邊長為（2）解：長方形的長為：x+y，寬為：∵長方形的周長為48，即2(∴x∵3號正方形的邊長為x，∴3號正方形的邊長為6；（3）解：如圖：由平移知識可得陰影部分的周長為長方形ABCD的周長，由（2）可知3號正方形的邊長為6，4號正方形的邊長為y，5號長方形的寬為2號正方形的邊長減去1號正方形的邊長的差即：2x∴AD周長為100的長方形的長為：AB+6，寬為24-∴2AB∴AB則長方形ABCD的周長為：20+y即陰影部分的周長為88．【點睛】本題考查了整式的加減應用，列代數式表示各線段的長從而可解決問題．【變式23】（2023春·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，將一個正方形分割成11個大小不同的正方形，記圖中最大正方形的周長是C1，最小正方形的周長是C2，則C【答案】43【分析】如圖（見解析），設AB=x,BC=y，根據正方形的定義可得最小正方形的邊長為14x-11【詳解】如圖，設AB=x,BC=y，最大正方形標記為0號，被分割成的110號：1號+2號得x+5號：1號2號得y-3號：2號5號得x-4號：0號2號3號得x+7號：3號4號得2x6號：4號7號得2y10號：0號1號得x，9號：0號4號6號10號得x+8號：10號9號得x-11號：6號7號得5y或9號6號得8x因此x和y滿足等式：8y整理得：x=所以最大正方形（0號）的周長C1最小正方形（11號）的周長C2則C1【點睛】本題考查了用代數式表示幾何圖形的周長，設定未知數，利用正方形的性質將最大正方形的周長和最小正方形的周長求出是解題關鍵．【題型3整式加減的規律探究】【例3】（2023春·重慶江北·七年級統考期末）有依次排列的3個正整數：x，y，z，且y>z>x，現規定：對任相鄰的兩個數，都用右邊的數減去左邊的數，所得的差寫在這兩個數之間，可產生一個新數串：x，y-x，y，①第一次操作后，所有數之和為：2z②第二次同樣操作后的數串是：x，y-2x，y-x，x，y，z-2③第n次同樣操作后，所有數之和為：x+其中正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據題意進行操作，求出第一次，第二次，第三次操作后的新數串，并根據整式的加減計算法則對新數串進行求和，可以發現可知每次操作后，得到的新數串的所有數的和比上一次增加-x【詳解】解：第一次操作后，得到的新數串為：x，y-x，y，z-∴第一次操作后，所有數之和為x==y+2z第二次操作后，得到的新數串為：x，y-2x，y-x，x，y，z-2y，∴第二次操作后，所有數之和為：x==x第三次操作后，得到的新數串為：x，y-3x，y-2x，x，y-x，2x-y，x，y-x，y，z-3∴第二次操作后，所有數之和為：-x=-=x+…．∴可知每次操作后，得到的新數串的所有數的和比上一次增加-x∴第n次同樣操作后，所有數之和為：x+y+故選D．【點睛】本題主要考查了整式的加減計算，數字類的規律探索，正確理解題意找到規律是解題的關鍵．【變式31】（2023春·全國·七年級期末）觀察下面算式，解答問題：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9(1)1+3+5+7+9+…+29的結果為______________；(2)若n表示正整數，請用含n的代數式表示1+3+5+7+9+…+2n-(3)請用上述規律計算：41+43+45+47+49+……+2021+2023的值（要求寫出詳細解答過程）．【答案】(1)225(2)n(3)1023744【分析】（1）通過上面的數據觀察可知，從1開始的連續奇數的和等于首尾兩個奇數和的一半的平方，計算即可；（2）用（1）的猜想寫出結果；（3）先把原式化為1+3+5+?+37+39+41+43+?+2021+2023-【詳解】（1）解：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+91+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9依次可得，1+3+5+7+9+…+29=1+29故答案為：225（2）解：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+91+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9??1+3+5+7+9+…+2n-故答案為：n（3）41+43+45+47+49+……+2021+2023=1+3+5+?+37+39+41+43+?+2021+2023=1+2023===1032×992=1023744【點睛】本題主要考查了有理數的加減混合運算、整式加減、規律型數字的變化類，熟練掌握有理數的加減法運算法則，從1開始的連續奇數的和等于首尾兩個奇數和的一半的平方的猜想是解題關鍵．【變式32】（2023春·江蘇徐州·七年級校考期中）將正整數按如圖所示的規律排列下去，若用整數對m，n表示第m排，從左到右第n個數，如4，3表示整數9，則

【答案】198【分析】根據4，3表示整數9，3，2表示的數是5，對圖中給出的有序數對進行分析，可以發現：對所有數對m，【詳解】解：∵若用整數對m，n表示第m排，從左到右第n個數，如4，3表示整數9，∴3，2=…，∴對所有數對m，nn≤∴20故答案為：198．【點睛】本題考查數字類規律探索，解答此類題目的關鍵是根據題目中給出的數值，認真分析，找出規律．【變式33】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學?？计谥校┯幸来闻帕械膬蓚€整式：x，x-2，對任意相鄰的兩個整式，都用左邊的整式減去右邊的整式，所得的差寫在這兩個整式之間，可以產生一個新的整式串：x，2，x-2，這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，x-2，2，4-x，x-2，以此類推．通過實際操作，小南同學得到以下結論：①第二次操作后，當x<2時，所有整式的積為正數；②第三次操作后整式串共有9個整式；③第n次操作后整式串共有2nA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據第二次操作后，當x<2時，各個整式的正負，判斷所有整式的積的正負：②根據第三次操作后整式的個數判定；③根據前四次操作結果，探究每次操作整式個數與操作次數關系的規律判定；④【詳解】解：①原整式為：x，x-第1次操作后所得整式串為：x，2，x-第2次操作后所得整式串為：x，x-2，2，4-x，此次所有整式之積為，2x∵x<2∴當-2<x≤0時，x≤0，∴2xx-②第3次操作后所得整式串為：x，2，x-2，x-4，2，x-2，4-x，6-2③第1次操作后整式串共有3個整式，3=2+1，第2次操作后整式串共有5個整式5=2第3次操作后整式串共有9個整式，9=2第4次操作后整式串共有17個整式，17=2……，第n次操作后整式串共有整式個數為：2n+1，④第1次操作后所得整式串為：x，2，x-2，所有整式之和為：2第2次操作后所得整式串為：x，x-2，2，4-x，x-2第3次操作后所得整式串為：x，2，x-2，x-4，2，x-2，4-x，6-2第4次操作后所得整式串為：x，x-2，2，4-x，x-2，2，x-4，x-6，2，4-x，x-2，2x……，第n次操作后所得所有整式的和為：2x故操作第2023次操作后所有整式之和為：2x+2×2013-1故選：C．【點睛】此題主要考查了數字變化類，解決問題的關鍵是熟練掌握每一次操作的方法，每一次操作所產生的整式的個數與操作次數的關系規律，或所有整式之和與操作次數的關系規律．【題型4整式加減與絕對值的綜合】【例4】（2023春·湖南婁底·七年級統考期中）規定：fx=x-2，g①若fx+g②若x<-3，則f③若x>-3，則f④式子fx-1其中正確的所有結論是（）A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】①根據新定義運算和非負數的性質求得x、y，再代值計算便可判斷①的正誤；②根據新定義運算和絕對值的性質進行計算便可；③根據新定義運算和絕對值的性質，分兩種情況：-3<x<2④根據新定義運算和絕對值的性質，進行解答便可．【詳解】①∵fx∴x-∴x-2=0，∴x=2，y∴2x故①正確；②∵x<-3∴fx故②正確；③∵x>-3，f∴當-3<x<2當x≥2時，f故③錯誤；④fx當-4≤x≤33時，式子f故④正確；故選：B．【點睛】本題考查了求代數式的值，非負數的性質，絕對值的定義，關鍵是應用新定義和絕對值的性質解題．【變式41】（2023春·福建泉州·七年級統考期末）已知x是有理數，且x有無數個值可以使得代數式2021x+2021【答案】2022【分析】由題意確定出x的取值范圍，然后按照這個取值范圍化簡原式即可求出此常數．【詳解】由題意，得將2021x+2021因此，當-2022≤原式=-==2022．故答案為：2022．【點睛】本題考查了絕對值的性質、有理數的加減、整式的加減，解題的關鍵是確定x的取值范圍．【變式42】（2023春·全國·七年級期末）已知x+2+x-43y+2+y-【答案】13【分析】采用分情況討論去絕對值方法，分別找出x+2+x-4、3y+2+y-2、z【詳解】解：x+2當x<-2時，當-2≤x當x>4時，故當，-2≤x≤4時，x3y當y<-2當-23≤y當y>2時，故當y=-23時，3z-當z<-1當-12≤z當z>1時，故當z=-12時，z則x+2當且僅當-2≤x≤4，y=-2故x-3yx-3y則2故答案為：13【點睛】本題考查了絕對值化簡、求最值，掌握分情況討論思想是解題關鍵．【變式43】（2023春·湖北武漢·七年級?？计谥校递S上A、B、C對應的數分別是a、b、c．(1)若ac<0,①請將a、b、c填入括號內．

②化簡a-③若點X在數軸上表示的數為x，則x-a+(2)若a+b+c=【答案】(1)①見解析；②2b；③c(2)2【分析】（1）①根據ac<0,a=-a,a+b>0,b<c，得到a<0,c>0,（2）分a+【詳解】（1）①∵ac<0,∴a<0,故a<0<

②∵a<0<b<∴a-∴a=b③∵a<0<根據兩點之間線段最短，故當x=b時，且x==c故答案為：c-（2）當a+則a+∵a+∴a+∴c=0∵c≠0故不成立；當a+則a+∵a+∴-a∴a+∴c∴c<0∴c=-c【點睛】本題考查了絕對值的化簡，數軸上有理數大小的比較，線段最短的應用，熟練掌握絕對值的化簡，數的大小比較是解題的關鍵．【題型5整式加減與數軸動點綜合】【例5】（2023春·湖北武漢·七年級校考期末）如圖，點O為原點，A、B為數軸上兩點，AB=15，且OA=2OB，點P從點B開始以每秒4個單位的速度向右運動，當點P開始運動時，點A、B分別以每秒5個單位和每秒2個單位的速度同時向右運動，設運動時間為t秒，若3AP+2OP【答案】2.5或5.5【分析】設經過t秒，可得AP=5+4t-(-10+5t)=15-t，OP=5+4t，BP【詳解】解：∵AB=15，∴AO=2∴A點對應數為-10，B點對應數為設經過t秒，則AP=5+4t-(-10+5當t≤153=45-3=(5-2m∴當5-2m=0，即m=2.5時，3當t>153=3=(11-2m∴當11-2m=0，即m=5.5時，上式為定值-故m為2.5或5.5．故答案為：2.5或5.5【點睛】本題考查了數軸，解題的關鍵是讀懂題意，用含字母的式子表示點運動后表示的數．【變式51】（2023春·浙江溫州·七年級統考期中）如圖，A點的初始位置位于數軸上表示1的點，現對A點做如下移動：第1次向左移動3個單位長度至B點，第2次從B點向右移動6個單位長度至C點，第3次從C點向左移動9個單位長度至D點，第4次從D點向右移動12個單位長度至E點，…，依此類推，則點E在數軸上所表示的數為，這樣第次移動到的點到原點的距離為2020．【答案】71346【分析】根據前幾次移動得出的數據，得到移動次數為奇數和偶數時的規律，即可求解．【詳解】解：第1次點A向左移動3個單位長度至點B，則B表示的數，1﹣3＝﹣2；第2次從點B向右移動6個單位長度至點C，則C表示的數為﹣2+6＝4；第3次從點C向左移動9個單位長度至點D，則D表示的數為4﹣9＝﹣5；第4次從點B向右移動12個單位長度至點E，則E表示的數為﹣5+12＝7；…；由以上數據可知，當移動次數為奇數時，點在數軸上所表示的數滿足：﹣12（3n+1當移動次數為偶數時，點在數軸上所表示的數滿足：3n當移動次數為奇數時，﹣12（3n+1）＝﹣2020，n＝4039當移動次數為偶數時，3n+22＝2020，n故答案為：7，1346．【點睛】本題考查與數字相關的規律問題，根據前幾次的數據得出規律的代數式是解題的關鍵．【變式52】（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶市渝高中學校?？计谀┤鐖D，在數軸上原點O的右邊有A、B、E三點，點E在數軸上表示的數是18，以AB為邊在數軸上方作正方形ABCD，已知AB=6且OA=12AB.動點P從點O出發，沿O→A→D→C→B→E以每秒(1)點A在數軸上表示的數為，點B在數軸上表示的數為；(2)在點P的運動過程中，當A、C、P為頂點能構成三角形時，設以點A、C、P為頂點的三角形的面積為S，請求出S與t的關系式及相應t的取值范圍．【答案】(1)3；9(2)當0≤t＜1時，S=-9t+9；當1＜t≤3時，S【分析】（1）直接求出OA=3，OB（2）分點P在不同的線段上進行討論，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）∵AB=6且OA∴OA=3，OB∴A點表示的數是3；點B在數軸上表示的數為9；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=如圖①，當點P在OA上時，0≤tS=如圖②，當點P在AD上時，1＜S=如圖③，當點P在CD上時，3＜S=如圖④，當點P在CB上時，5＜S=如圖⑤，當點P在BE上時，7＜S=綜上可得：當0≤t＜1當1＜t≤3當3＜t＜當5＜t≤10【點睛】本題考查了數軸上的動點問題，解題關鍵是讀懂題