第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列命題是真命題的是A．若．則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A，D；通過(guò)舉反例可判斷選項(xiàng)B，C．【解析】當(dāng)時(shí)，若，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，滿足，但，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，滿足，但，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，，則由不等式的可加性得，即，選項(xiàng)D正確．故選D．2．已知，下列關(guān)系正確的是A． B．C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用作差法比較代數(shù)式的大小，最后運(yùn)用配方法化簡(jiǎn)代數(shù)式即可得出結(jié)果．【解析】根據(jù)題意，選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤．故選D．3．已知正數(shù)，，滿足，則有A．最小值1 B．最小值C．最大值 D．最大值1【答案】D【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解析】因?yàn)檎龜?shù)、滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即有最大值，故選D4．已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況求解，是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸沒(méi)有交點(diǎn)的問(wèn)題，然后列出不等式求解即可．【解析】當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C5．已知，，且，則的最小值為A． B．C．4 D．6【答案】C【分析】由基本不等式得出關(guān)于的不等式，解之可得．【解析】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．，解得或（舍去），所以，即的最小值．4．此時(shí)．故選C．6．不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】由得，解二次不等式即可．【解析】由得，解得．故選B．7．已知，且，若不等式對(duì)任意正數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值集合為A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)求出的最小值，解不等式即可得解．【解析】，且，，當(dāng)時(shí)取得最值，若不等式對(duì)任意正數(shù)x，y恒成立，，，，所以．故選A8．若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，等價(jià)于在內(nèi)，然后求出即可【解析】關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，等價(jià)于在內(nèi)，令，因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以，故選B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，，則下列說(shuō)法正確的是A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，即可求出結(jié)果．【解析】對(duì)于，因?yàn)椋裕缘娜≈捣秶鸀椋收_；對(duì)于，因?yàn)椋裕缘娜≈捣秶鸀椋什徽_；對(duì)于，因?yàn)椋裕郑缘娜≈捣秶鸀椋收_；對(duì)于，因?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀椋收_；故選ACD．10．不等式的解集是，對(duì)于系數(shù)a，b，c，下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集以及根與系數(shù)關(guān)系即可求解．【解析】不等式的解集是，可得，且的兩個(gè)根為，根與系數(shù)關(guān)系，所以，故B正確；由，則，故C不正確；二次函數(shù)開(kāi)口向下，函數(shù)的零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，故A不正確；當(dāng)時(shí)，，故D正確；故選BD11．現(xiàn)有以下結(jié)論①函數(shù)的最小值是2②若且，則③的最小值是2④函數(shù)的最小值為其中，不正確的是A．① B．②C．③ D．④【答案】ACD【分析】利用基本不等式判斷．【解析】①未限定，時(shí)，，故錯(cuò)誤；②且，，，，故正確；③，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，，等號(hào)不成立，最小值不為2，故錯(cuò)誤；④，，當(dāng)此僅當(dāng)，即時(shí)取等，故函數(shù)的最大值為，故錯(cuò)誤．故選ACD12．關(guān)于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a的取值可以是A．6 B．7C．8 D．9【答案】ABC【分析】利用二次函數(shù)的對(duì)稱性確定原不等式的三個(gè)整數(shù)解即可計(jì)算作答．【解析】函數(shù)f(x)=x2-6x+a的圖象對(duì)稱軸為x=3，即在x=3時(shí)函數(shù)f(x)取得最小值，依題意，不等式f(x)≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則這三個(gè)整數(shù)必為2，3，4，即2，4在不等式的解集中，1，5不在解集中，于是得，解得，而a∈Z，則a=6或a=7或a=8，所以a的取值可以是6或7或8．故選ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若方程有唯一的實(shí)數(shù)根－2，則不等式的解集為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)特征可知，拋物線開(kāi)口向上，與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，直接寫出解集即可【解析】由已知得拋物線的開(kāi)口向上，與x軸交于點(diǎn)，故的解集為．故答案為14．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是________．【答案】16【分析】對(duì)利用基本不等式求出且，把展開(kāi)得到，即可求出最小值．【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，即，也即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．因?yàn)椋裕裕实淖钚≈凳?6．故答案為1615．若關(guān)于的不等式無(wú)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】由關(guān)于的不等式無(wú)解，可得，求出的最大值，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式無(wú)解，所以，令，二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸時(shí)，取得最大值，最大值，所以，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為．【名師點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，若恒成立，則；若存在解，則；若無(wú)解，則．16．已知λ∈R，函數(shù)，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式的解集是________．【答案】(1，4)【分析】當(dāng)λ=2時(shí)，等價(jià)于或，分別求解，綜合即可得答案．【解析】由題意得或，解得或，即，所以不等式的解集是故答案為(1，4)四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）（1）試比較與的大小；（2）已知，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）與作差，判斷差的正負(fù)即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合不等式的性質(zhì)分析即可證出結(jié)論．【解析】（1）由題意，，所以．（2）因?yàn)椋裕矗裕瑒t．得證．18．（12分）已知二次函數(shù)，且是函數(shù)的零點(diǎn)．（1）求的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用根與系數(shù)關(guān)系求出即得解；（2）解一元二次不等式即得解．【解析】（1）因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，即或是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，從而，，即，所以．（2）由（1）得，從而即，所以，解得或．19．（12分）求解下列各題：（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）8．【分析】（1）因?yàn)椋岳镁挡坏仁郊纯汕蠼猓唬?）因?yàn)椋岳镁挡坏仁郊纯汕蠼猓窘馕觥浚?）因?yàn)椋郑裕裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故y的最大值為；（2）由題意，，因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故y的最小值為8．20．（12分）今年10月份，學(xué)校從某廠家購(gòu)進(jìn)了A、B型電腦共250臺(tái)，A、B兩種型號(hào)電腦的單價(jià)分別為7000元、9000元，其中購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦的總金額和為205萬(wàn)元．（1）求學(xué)校10月份購(gòu)進(jìn)A、B型電腦各多少臺(tái)？（2）為推進(jìn)學(xué)校設(shè)備更新進(jìn)程，學(xué)校決定11月份在同一廠家再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的電腦，在此次采購(gòu)中，比起10月份進(jìn)購(gòu)的同類型電腦，A型電腦的單價(jià)下降了a%，A型電腦數(shù)量增加了，B型電腦的單價(jià)上升了元，B型電腦數(shù)量下降了，這次采購(gòu)A、B兩種型號(hào)電腦的總金額為205萬(wàn)元，求a的值．【答案】（1）100臺(tái)，150臺(tái)；（2）50．【分析】（1）設(shè)學(xué)校月份購(gòu)進(jìn)型電腦臺(tái)，結(jié)合總金額列方程，由此求得型電腦購(gòu)進(jìn)的臺(tái)數(shù)．（2）結(jié)合采購(gòu)的總金額列方程，由此求得的值．【解析】（1）設(shè)學(xué)校10月份購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，則學(xué)校購(gòu)進(jìn)B型電腦臺(tái)，由題意得，解得，則學(xué)校10月份B型電腦為（臺(tái)）；答：學(xué)校10月份購(gòu)進(jìn)A、B型電腦各100、150臺(tái)．（2）根據(jù)第（1）可得學(xué)校10月份購(gòu)進(jìn)A、B型電腦的單價(jià)各為7000元、9000元，由題意可得令，方程整理得，（舍），所以．即a的值為50． 21．（12分）已知實(shí)數(shù)，且．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值，并指出取最小值時(shí)，的值：（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值，并指出取最小值時(shí)，的值（3）當(dāng)時(shí)，求的最小值，并指出取最小值時(shí)，的值．【答案】（1）時(shí)，最小值為；（2）時(shí)，最小值為；（3）時(shí)，最小值為；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以時(shí)，取得最小值；（2）當(dāng)時(shí)，，所以，整理可得，解得或（舍），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，最小為；（3）當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．22．（12分）若，則．（1）若存在常數(shù)，使得不等式對(duì)任意正數(shù)，恒成立，試求常數(shù)的值，并證明不等式：；（2）證明不等式：．【答案】（1），證明見(jiàn)解