第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河南省“天一大聯考”10月高二上學期階段性測試（一）數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.圖中4條直線中斜率最小的是(

)

A.l1 B.l2 C.l32.已知向量a=(1,3,?2)與b=(3,x,y)平行，則x?y=(

)A.?15 B.?3 C.3 D.153.已知直線l的一個方向向量為m=(1,2,?4)，平面α的一個法向量為n=(2,3,t)，若l//α，則t=(

)A.1 B.2 C.3 D.44.將直線y=2x+1繞點(1,3)逆時針旋轉π2rad后所得直線的方程為(

)A.x?2y+5=0 B.x?2y+1=0 C.x+2y?7=0 D.x+2y+1=05.已知平面α，β均以n=(?2,1,2)為法向量，平面α經過坐標原點O，平面β經過點P(3,2,?1)，則平面α與β的距離為(

)A.2 B.22 C.3 6.已知直線l與m:3x?y+c=0(c<0)平行，且l，m之間的距離與點A(0,2)到l的距離均為1，則l在y軸上的截距為A.?1 B.0 C.1 D.47.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1A.A1P?A1B B.A8.如圖，在正四面體O?ABC中，M為棱OC的中點，N為棱AB上靠近點A的三等分點，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為(

)

A.216 B.219 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若直線l:(2a?1)x+(a?3)y+1=0不經過第四象限，則實數a的可能取值為(

)A.13 B.43 C.3 10.在空間直角坐標系Oxyz中，已知點A(3,2,?1)，B(m,1,n)，C(2,p,q)，其中m，n，p，q∈R，若四邊形OABC為菱形，則(

)A.m=5 B.p=?1 C.n=±2 D.q=±311.已知點A(3,3)和B(4,?2)，P是直線l:x+y+2=0上的動點，則(

)A.存在P(1,?3)，使|PA|+|PB|最小

B.存在P(?1,?1)，使||PA|?|PB||最小

C.存在P(5,?7)，使|PA|?|PB|最大

D.存在P(12,?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量AB=(2,3,23)，BC=(x,0,23)13.已知a>0，平面內三點A(0,?a)，B(1,a2)，C(3,2a3)14.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為4，側面積為8，動點P，Q分別在線段C1四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知空間中三點A(?2,?3,3)，B(1,0,2)，C(2,?1,5)，設向量a=AB，(Ⅰ)若(a+kb)⊥(Ⅱ)若向量c與a?b共線，且|c|=416.(本小題12分)已知直線l1的方程為(a+3)x?ay+2=0，直線l2經過點A(2,0)(Ⅰ)若l1⊥l2(Ⅱ)若當a變化時，l1總過定點C，求|AC|．17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，△PAD為等邊三角形，且PB=AC，E為棱PD的中點．

(Ⅰ)證明：平面PAD⊥平面ABCD;(Ⅱ)求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．18.(本小題12分)

如圖，將一塊三角形的玉石ABO置于平面直角坐標系中，已知|AO|=|AB|=5，|OB|=2，點P(1,1)，圖中陰影三角形部分為玉石上的瑕疵，為了將這塊玉石雕刻成工藝品，要先將瑕疵部分切割掉，可沿經過點P的直線MN進行切割．(Ⅰ)求直線MN的傾斜角α的取值范圍．(Ⅱ)是否存在直線MN，使得點A關于直線MN的對稱點在線段AB上?(Ⅲ)設玉石經切割后剩余部分的面積為S，求S的取值范圍．19.(本小題12分)在空間直角坐標系Oxyz中，過點P(x0,y0,z0)且以u(Ⅰ)若直線l1:x?12=y=?(z?1)與l2(Ⅱ)在三棱柱ABC?A1B1C1中，點C與坐標原點O重合，點A在平面Oxz內，平面ABC以m=(1,?1,?3)為法向量，平面(Ⅲ)若集合M={(x,y,z)||x|+|y|+|z|=2}中所有的點構成了多面體Ω的各個面，求Ω的體積和相鄰兩個面所在平面的夾角的余弦值．

參考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.2

13.2

14.615.解析(Ⅰ)由題意知a=(3,3,?1)，b所以a+k因為(a+kb解得k=19(Ⅱ)a?b=(2，因為c與a?b共線，所以存在λ∈R，使得所以|c可得λ=±2所以c的坐標為(43

16.解析

(Ⅰ)l1:(a+3)x?ay+2=0的斜率為a+3a，因為l1⊥l即2a2?a?3=0，解得a=(Ⅱ)將l1的方程改寫為a(x?y)+3x+2=0由x?y=0,3x+2=0,解得x=y=?23，所以所以|AC|=

17.解析(Ⅰ)如圖，取AD的中點O，連接PO，BO．因為△PAD是等邊三角形，所以PO⊥AD．設AB=a，則AC=2a，即PB=2a，PO=又AD∩BO=O，所以PO⊥平面ABCD，因為PO?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

(Ⅱ)取BC的中點F，連接OF，由(Ⅰ)可知OP，OA，OF兩兩互相垂直，故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，同(Ⅰ)設AB=a，則A(a2,0,0)，B(a2,a,0)，C(?a所以PA=(a2,0,?設平面PAB的法向量為n=(x,y,z)則PA?n=0,AB設直線CE與平面PAB所成的角為θ，則sinθ=|cos<即直線CE與平面PAB所成角的正弦值為15

18.解析(Ⅰ)因為|AO|=|AB|=5，|OB|=2，所以A(1,2)，由題圖可知，當直線MN過點O時傾斜角最小，此時α=π當直線MN繞點P逆時針旋轉時，斜率增大，當其過點A時，傾斜角最大，此時α=π所以α的取值范圍是[(Ⅱ)由已知可得直線AB的斜率為0?22?1若點A關于直線MN的對稱點在線段AB上，則MN⊥AB，所以直線MN的斜率k=1由(Ⅰ)知直線MN的傾斜角α∈[π4,π2]，所以(Ⅲ)當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x=1，此時S=1當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y=k(x?1)+1，k∈[1,+∞).令y=0，得x=1?1k，所以點易得直線AB的方程為y=?2x+4，聯立y=k(x?1)+1,y=?2x+4,解得則S=1因為k∈[1,+∞)，所以k2+2k∈[3,+∞)綜上，S的取值范圍是[1,

19.(Ⅰ)由題意可知l1和l2都經過點且l1的方向向量為n1=(2,1,?1)，l設平面α的法向量為u=(a,b,c)，因為l1，所以u?n1又點(1,0,1)在平面α內，所以平面α的方程為2x?y+3z=5．(Ⅱ)因為C(0,0,0)，平面ABC的法向量為m=(1,?1,?3)所以平面ABC的方程為x?y?3z=0．點A在平面ABC和平面ABB1A1內，又點A在平面O即點A的坐標為(3,0,1)．(Ⅲ)討論x，y，z的符號，將方程|x|+|y|+|z|=2中的絕對值符號去掉，可以得到8個不同的方程，則多