內江市高中2024屆第三次模擬考試數學（文科）1．本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答第Ⅰ卷時，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；答第Ⅱ卷時，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規定的區域內作答，字體工整，筆跡清楚；不能答在試題卷上．3．考試結束后，監考員將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．集合的子集個數是（）A．5 B．6 C．7 D．82．已知是虛數單位，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則的值為（）A． B． C． D．4．三個不互相重合的平面將空間分成n個部分，則n的最小值與最大值之和為（）A．11 B．12 C．13 D．145．如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出k的值為（）A．3 B．7 C．15 D．316．在等比數列中，為其前n項和，若，，則的值為（）A．25 B．30 C．35 D．407．設是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓C上，若為直角三角形，則的面積為（）A． B．1或 C． D．1或8．口袋中裝有質地和大小相同的6個小球，小球上面分別標有數字1，1，2，2，3，3，從中任取兩個小球，則兩個小球上的數字之和大于4的概率為（）A． B． C． D．9．已知正方體的棱長為2，點M、N、P分別為棱AB、、的中點，則平面MNP截正方體所得截面的面積為（）A． B． C． D．10．若函數有兩個零點，則實數m的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線，以雙曲線C的右頂點A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點，若，則雙曲線的離線率為（）A． B． C． D．12．已知函數的定義域為，對都有成立，若，則（）A． B．0 C．1 D．2第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知函數，則函數在處的切線方程為______．14．已知實數x，y滿足則的最大值為______．15．若函數是奇函數，則______．16．在中，角A的平分線AD與BC邊相交于點D，若，則的最小值為______．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答．）17．（本小題滿分12分）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024·內江市中區新春極光焰火草地狂歡節”在川南大草原舉行，共舉行了8場精彩的煙花秀節目．前5場的觀眾人數（單位：萬人）與場次的統計數據如表所示：場次編號x12345觀眾人數y1（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請建立y關于x的線性回歸方程；（2）若該煙花秀節目分A、B、C三個等次的票價，某機構隨機調查了該煙花秀節目現場200位觀眾的性別與購票情況，得到的部分數據如表所示，請將2×2列聯表補充完整，并判斷能否有90%的把握認為該煙花秀節目的觀眾是否購買A等票與性別有關．購買A等票購買非A等票總計男性觀眾50女性觀眾60總計100200參考公式及參考數據：回歸方程中斜率與截距的最小二乘法估計公式分別為，，，其中．k18．（本小題滿分12分）已知等差數列的公差為4，且，，成等比數列，數列的前n項和為，且．（1）求數列、的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面．（1）求證：；（2）若PD與平面PBC所成的角為，求三棱錐的體積．20．（本小題滿分12分）已知函數，．（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）證明：．21．（本小題滿分12分）已知拋物線E的準線方程為：，過焦點F的直線與拋物線E交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點，直線CF與拋物線E交于M、N兩點，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點．（1）求拋物線E的標準方程；（2）證明：為定值．請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．作答時，用2B鉛筆將所選題號涂黑．22．（本小題滿分10分）在直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為加點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標系方程為．（1）求曲線和的普通方程，并指出曲線和所表示的曲線類型；（2）若曲線和交于點A、B，點P在曲線上，且的面積為，求點P的直角坐標．23．（本小題滿分10分）已知函數．（1）求不等式的解集；（2）將函數的圖象與直線圍成的封閉圖形的面積記為t，若正數a、b、c滿足，求證：．

內江市高中2024屆第三次模擬考試數學（文科）參考答案及評分意見一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．D 8．A9．B 10．D 11．D 12．A二、填空題（本答題共4小題，每小題5分，共20分．）13． 14．1 15． 16．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．解：（1）由表格知，，所以，，則，，故y關于x的線性回歸方程為．（2）依題意，補充2×2列聯表如下：購買A等票購買非A等票總計男性觀眾405090女性觀眾6050110總計100100200故沒有90%的把握認為該節目的觀眾是否購買A等票與性別有關．18．解：（1）依題意，設等差數列的首項為，因為，，成等比數列，所以，又，即，解得，故，由已知，故，兩式相減，得，又，解得，所以，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，故（2）由（1）得，故，則兩式相減得，故19．解：（1）證明：取PB的中點M，連接AM．∵，∴．又平面，平面，，∴．又，∴．∵底面ABCD是直角梯形，且∴，∴．又，，∴．又，∴．（2）取PC的中點N，連接MN、DN，則，．∴四邊形AMND是平行四邊形，則．又，∴，則是PD與平面PBC所成的角，即，在中，易知．在直角梯形ABCD中，易知，∴，∴，∴，在中，，∴是等邊三角形．從而．∴．故所求三棱錐的體積為．20．解：（1）由題可知函數的定義域為，∵，∴當時，，遞減，當時，，遞增，∴，由已知恒成立，所以，．令，則，∴當時，，遞增，當時，，遞減，∴，又∵，，，，∴，故a的取值集合為．（2）由（1）可知，當時，，即，，∴（當時，“＝”成立），令，，則，即，故，，…，，由累加法可得，即．21．解：（1）因為準線為：，設，則，所以故拋物線E的標準方程為（2）證明：易知拋物線E的焦點，設直線AB的方程為，、，聯立可得，由韋達定理可得，，接下來證明拋物線E在點A處的切線方程為，聯立可得，即，即，所以，直線與拋物線E只有唯一的公共點，所以，AC的方程為，同理可知，直線BD的方程為，在直線AC的方程中，令，可得，即點，同理可得點，所以，直線的方程為，即，設點、，聯立，可得，由韋達定理可得，，所以，，同理可得，所以，故為定值．22．解：（1）將曲線的參數方程（為參數）中的參數消去，得的普通方程為，所以曲線表示以為圓心，1為半徑的圓．將，代入曲線的極坐標方程，得曲線的直角坐標方程為，所以曲