2025屆廣西壯族自治區百色市田陽縣田陽高中高二上數學期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．19世紀法國著名數學家加斯帕爾·蒙日，創立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（）A. B.C. D.2．第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯合舉行．北京將成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．根據安排，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是兩個“相似橢圓”（離心率相同的兩個橢圓我們稱為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC，BD，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．直線，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.4．如圖給出的是一道典型的數學無字證明問題：各矩形塊中填寫的數字構成一個無窮數列，所有數字之和等于1.按照圖示規律，有同學提出了以下結論，其中正確的是（）A.由大到小的第八個矩形塊中應填寫的數字為B.前七個矩形塊中所填寫的數字之和等于C.矩形塊中所填數字構成的是以1為首項，為公比的等比數列D.按照這個規律繼續下去，第n-1個矩形塊中所填數字是5．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.6．圓與直線的位置關系為（）A.相切 B.相離C.相交 D.無法確定7．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定8．若函數在區間內存在最大值，則實數的取值范圍是()A. B.C. D.9．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（）A. B.C. D.10．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點、滿足，，則（）A. B.C.2 D.11．過拋物線的焦點作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.6412．考試停課復習期間，小王同學計劃將一天中的7節課全部用來復習4門不同的考試科目，每門科目復習1或2節課，則不同的復習安排方法有（）種A.360 B.630C.2520 D.15120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃調整居民生活用水收費方案．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則a=______________14．如圖：二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內，，則的長等于__________.15．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數據的中位數為，乙組數據的平均數為，則的值為__________16．如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數為______（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學生中抽出60名學生，并統計了他們的化學成績（成績均為整數且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出這60名學生中化學成績低于50分的人數；（2）估計高二年級這次考試化學學科及格率（60分以上為及格）；（3）從化學成績不及格的學生中隨機調查1人，求他的成績低于50分的概率18．（12分）已知函數（1）若，求函數的單調區間；（2）若函數有兩個不相等的零點，證明：19．（12分）已知等差數列的前n項和為，若公差，且，，成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.20．（12分）已知函數，其中（1）討論的單調性；（2）若不等式對一切恒成立，求實數k的最大值21．（12分）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.22．（10分）已知函數.（1）求的導數；（2）求函數的圖象在點處的切線方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B2、C【解析】設內層橢圓的方程為，可得外層橢圓的方程為，設切線的方程為，聯立方程組，根據，得到，同理得到，結合題意求得，進而求得離心率.【詳解】設內層橢圓方程為，因為內外層的橢圓的離心率相同，可設外層橢圓的方程為，設切線的方程為，聯立方程組，整理得，由，整理得，設切線的方程為，同理可得，因為兩切線斜率之積等于，可得，可得，所以離心率為.故選：C.3、D【解析】直線,斜率乘積為，斜線斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.4、B【解析】根據題意可得矩形塊中的數字從大到小形成等比數列，根據等比數列的通項公式可求.【詳解】設每個矩形塊中的數字從大到小形成數列，則可得是首項為，公比為的等比數列，，所以由大到小的第八個矩形塊中應填寫的數字為，故A錯誤；前七個矩形塊中所填寫的數字之和等于，故B正確；矩形塊中所填數字構成的是以為首項，為公比的等比數列，故C錯誤；按照這個規律繼續下去，第個矩形塊中所填數字是，故D錯誤.故選：B.5、C【解析】直接利用向量的坐標運算法則求解即可【詳解】因為，，所以，故選：C6、C【解析】先計算出直線恒過定點，而點在圓內，所以圓與直線相交.【詳解】直線可化為，所以恒過定點.把代入，有：，所以在圓內，所以圓與直線的位置關系為相交.故選：C7、A【解析】根據橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A8、A【解析】利用函數的導數，求解函數的極值，推出最大值，然后轉化列出不等式組求解的范圍即可【詳解】，或，∴在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減，∴f(x)有極大值，要使f(x)在上有最大值，則極大值3即為該最大值，則，又或，∴，綜上，.故選：A.9、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點，，，，所以故選:D.10、D【解析】以向量為基底向量，則，根據條件由向量的數量積的運算性質，兩邊平方可得答案.【詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D11、B【解析】根據拋物線方程求出焦點坐標，分別設出，所在直線方程，與拋物線方程聯立，利用根與系數的關系及弦長公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【詳解】拋物線的焦點，設直線的直線方程為，則直線的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.故選：B12、C【解析】，先安排復習節的科目，然后安排其余科目，由此計算出不同的復習安排方法數.【詳解】第步，門科目選門，安排節課，方法數有種，第步，安排其余科目，每門科目節課，方法數有種，所以不同的復習安排方法有種.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3##【解析】由頻率之和等于1，即矩形面積之和為1可得.【詳解】由題知，解得.故答案為：0.314、【解析】由題意，二面角等于，根據，結合向量的運算，即可求解.【詳解】由題意，二面角等于，可得向量，，因為，可得,所以.故答案為：15、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數據的中位數為可得，乙組的平均數：，解得：，則:點睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個數字，而“莖”的位置的數字位數一般不需要統一；(2)重復出現的數據要重復記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數據16、48【解析】由已知按區域分四步，然后給，，，區域分步選擇顏色，由此即可求解【詳解】解：由已知按區域分四步：第一步區域有4種選擇，第二步區域有3種選擇，第三步區域有2種選擇，第四步區域也有2種選擇，則由分步計數原理可得共有種，故答案為：48三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得化學成績低于50分的頻率為0.1，然后可求得人數為人；（2）根據頻率分布直方圖求分數在第三、四、五、六組的頻率之和即可；（3）結合圖形可得“成績低于50分”的人數是6人，成績在這組的人數是，由古典概型概率公式可得所求概率為試題解析：（1）因為各組的頻率和等于1，由頻率分布直方圖可得低于50分的頻率為：，所以低于分的人數為（人）（2）依題意可得成績60及以上的分數所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），其頻率之和為，故抽樣學生成績的及格率是，于是，可以估計這次考試化學學科及格率約為75%（3）由（1）知，“成績低于50分”的人數是6人，成績在這組的人數是（人），所以從成績不及格的學生中隨機調查1人，有15種選法，成績低于50分有6種選法，故所求概率為18、（1）單調遞增區間是(4,+∞)，單調遞減區間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導函數，結合定義域及導數的符號確定單調區間；（2）法一：討論、時的零點情況，即可得，構造，利用導數研究在(0,2a)恒成立，結合單調性證明不等式；法二：設，由零點可得，進而應用分析法將結論轉化為證明，綜合換元法、導數證明結論即可.【小問1詳解】函數的定義域為(0,+∞)，當a=2時，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調遞增區間是(4,+∞)；單調遞減區間是(0,4).【小問2詳解】法一：當a≤0時，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數不可能有兩個不相等的零點，當a>0時，函數在(2a,+∞)上單調遞增，在(0,2a)上單調遞減，因為函數有兩個不相等的零點，則，不妨設，設，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上單調遞減，即>=0，所以，即，又，故，因為，所以，因為函數在(2a,+∞)上單調遞增，所以，即法二：不妨設，由題意得，，得，即，要證，只需證，即證：，即，令，，則，所以在區間(1,+∞)單調遞減，故<=0，即恒成立因此，所以.【點睛】關鍵點點睛：第二問，法一：應用極值點偏移方法構造，將問題轉化為在(0,2a)恒成立，法二：根據零點可得，再由分析法將問題化為證明，構造函數，綜合運用換元法、導數證明結論.19、（1）；（2）.【解析】（1）由等差數列的通項公式、前n項和公式結合等比數列的性質列方程可得數列首項與公差，即可得解；（2）由，結合裂項相消法即可得解.【詳解】（1）因為數列為等差數列，，，，成等比數列，所以，所以，即，又因為，所以，所以；（2）因為，所以.【點睛】本題考查了等差數列與等比數列的綜合應用及裂項相消法的應用，考查了運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）答案見解析（2）【解析】（1）先對函數求導，然后分和討論導數的正負，從而可求出函數的單調區間，（2）由題意得恒成立，構造函數，利用導數求出其最小值即可【小問1詳解】由，得當時，恒成立，∴在上單調遞增當時，令，得，得，∴在上單調遞增，在上單調遞減綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減【小問2詳解】依題意得對一切恒成立，即令，則令，則在上單調遞增，而當時，，即；當時，，即∴在上單調遞減，在上單調遞增∴∴，即k的最大值為21、（1）(,).（2）【解析】（1）根據條件列關于P點坐標得方程組，解得結果，（2）先根據點到直線距離公式結合條件解得點M坐標，再建立的函數解析式，最后根據二次函數性質求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點A(－6,0),F(4,0)設點P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－