2025屆甘肅省高臺一中高二上數學期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：，直線經過點，若直線與雙曲線的右支只有一個交點，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.2．設，“命題”是“命題”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．設是數列的前項和，已知，則數列（）A.是等比數列，但不是等差數列 B.是等差數列，但不是等比數列C.是等比數列，也是等差數列 D.既不是等差數列，也不是等比數列4．若正整數N除以正整數m后的余數為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.165．已知直線和直線互相垂直，則等于（）A.2 B.C.0 D.6．已知直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A. B.C.﹣1 D.17．已知拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.8．已知直線與圓相離，則以，，為邊長的三角形為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不存在9．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個10．在四棱錐中，分別為的中點，則（）A. B.C. D.11．現從名男醫生和名女醫生中抽取兩人加入“援鄂醫療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫生都是女醫生”，則（）A. B.C. D.12．等比數列中，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線上一點到其焦點的距離為10.拋物線的方程為_____________；準線方程為_______14．已知是橢圓的兩個焦點，分別是該橢圓的左頂點和上頂點，點在線段上，則的最小值為__________.15．等差數列的公差，是其前n項和，給出下列命題：若，且，則和都是中的最大項；給定n，對于一些，都有；存在使和同號；.其中正確命題的序號為___________.16．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=(0<<2)，則點G到平面D1EF的距離為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}滿足：點（n，bn）在曲線y＝上，a1＝b4，___，數列{}的前n項和為Tn從①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2這三個條件中任選一個，補充到上面問題的橫線上并作答（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；（2）是否存在正整數k，使得Tk＞，且bk＞？若存在，求出滿足題意的k值；若不存在，請說明理由18．（12分）如圖，在棱長為的正方體中，為中點（1）求二面角的大小；（2）探究線段上是否存在點，使得平面？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由19．（12分）已知函數.（1）當時，求函數的極值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.20．（12分）如圖，在平面直角標系中，已知n個圓與x軸和線均相切，且任意相鄰的兩個圓外切，其中圓.（1）求數列通項公式；（2）記n個圓的面積之和為S，求證：.21．（12分）已知拋物線的焦點到準線的距離為4，直線與拋物線交于兩點.（1）求此拋物線的方程；（2）若以為直徑的圓過原點O，求實數k的值.22．（10分）已知數列為等差數列，為其前n項和，若，（1）求數列的首項和公差；（2）求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件，即可保證直線與雙曲線的右支只有一個交點.【詳解】雙曲線：的兩條漸近線為和兩漸近線的傾斜角分別為和由經過點的直線與雙曲線的右支只有一個交點，可知直線的傾斜角取值范圍為，故直線的斜率的取值范圍是故選：D2、A【解析】根據充分、必要條件的概念理解，可得結果.【詳解】由，則或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命題是命題充分且不必要條件故選：A【點睛】本題主要考查充分、必要條件的概念理解，屬基礎題.3、B【解析】根據與的關系求出通項，然后可知答案.【詳解】當時，，當時，，綜上，的通項公式為，數列為等差數列同理，由等比數列定義可判斷數列不是等比數列.故選：B4、C【解析】根據“中國剩余定理”，進而依次執行循環體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數不為1；第二步：，余數不為1；第三步：，余數為1，執行第二個判斷框，余數不為2；第四步：，執行第一個判斷框，余數為1，執行第二個判斷框，余數為2.輸出的i值為13.故選：C.5、D【解析】利用直線垂直系數之間的關系即可得出.【詳解】解：直線和直線互相垂直，則，解得：.故選：D.6、A【解析】利用兩直線垂直斜率關系，即可求解.【詳解】直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點睛】本題考查兩直線垂直間的關系，屬于基礎題.7、D【解析】把點代入拋物線方程求出，再化成標準方程可得解.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，方程化成標準方程為，故拋物線的焦點坐標為.故選：D.8、A【解析】應用直線與圓的相離關系可得，再由余弦定理及三角形內角的性質即可判斷三角形的形狀.【詳解】由題設，，即，又，所以，且，故以，，為邊長的三角形為鈍角三角形.故選：A.9、C【解析】由條件，可得，利用不等式的性質和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【詳解】因為，所以.因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數，所以，（由條件，所以等號不成立），所以④正確.故選：C.10、A【解析】結合空間幾何體以及空間向量的線性運算即可求出結果.【詳解】因為分別為的中點，則,,,故選：A.11、A【解析】先求出抽到的兩名醫生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫生都是女醫生事件的概率，然后代入條件概率公式即可【詳解】解：由已知得,，則，故選：A【點睛】此題考查條件概率問題，屬于基礎題12、D【解析】設公比為，依題意得到方程，即可求出，再根據等比數列通項公式計算可得；【詳解】解：設公比為，因為，，所以，即，解得，所以；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】由題意得：拋物線焦點為F（0，），準線方程為y=﹣．因為點到其焦點的距離為10，所以根據拋物線的定義得到方程，得到該拋物線的準線方程【詳解】∵拋物線方程∴拋物線焦點為F（0，），準線方程為y=﹣，又∵點到其焦點的距離為10，∴根據拋物線的定義，得9+=10，∴p=2，拋物線∴準線方程為故答案為:,.14、【解析】由題可設，則，然后利用數量積坐標表示及二次函數的性質即得.【詳解】由題可得，，設，因為點P在線段AB上，所以，∴，∴當時，的最小值為.故答案為：.15、【解析】對，根據數列的單調性和可判斷；對和，利用等差數列的通項公式可直接推導；對，利用等差數列的前項和可直接推導.【詳解】不妨設等差數列的首項為對，，可得：，解得：，即又，則是遞減的，則中的前5項均為正數，所以和都是中的最大項，故正確；對，，故有：，故正確；對，，又，則，說明不存在使和同號，故錯誤；對，有：故并不是恒成立的，故錯誤故答案為：16、【解析】先證明A1B1∥平面D1EF，進而將問題轉化為求點A1到平面D1EF的距離，然后建立空間直角坐標系，通過空間向量的運算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF，A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，則點G到平面D1EF的距離等于點A1到平面D1EF的距離.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，則D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.設平面D1EF的法向量為，則，令x=1，則y=0，z=2，所以平面D1EF的一個法向量.點A1到平面D1EF的距離==，即點G到平面D1EF的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）條件選擇見解析；an＝2n，bn＝25﹣n.（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）把點（n，bn）代入曲線y＝可得到bn＝25﹣n，進而求出a1，設等差數列{an}的公差為d，選①S4＝20，利用等差數列的前n項和公式可求出d，從而得到an；若選②S3＝2a3，利用等差數列的前n項和公式可求出d，從而得到an；若選③3a3﹣a5＝b2，利用等差數列的通項公式公式可求出d，從而得到an；（2）由（1）可知Sn＝＝n（1+n），＝，再利用裂項相消法求出Tn＝1﹣，不等式無解，即不存在正整數k，使得Tk＞，且bk＞【小問1詳解】解：∵點（n，bn）在曲線y＝上，∴＝25﹣n，∴a1＝b4＝25﹣4＝2，設等差數列{an}的公差為d，若選①S4＝20，則S4＝＝20，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選②S3＝2a3，則S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若選③3a3﹣a5＝b2，則3（a1+2d）﹣（a1+4d）＝25﹣2＝8，∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；【小問2詳解】解：由（1）可知Sn＝＝＝n（1+n），∴＝＝，∴Tn＝（1﹣）+（）+……+（）＝1﹣，假設存在正整數k，使得Tk＞，且bk＞，∴，即，此不等式無解，∴不存在正整數k，使得Tk＞，且bk＞18、（1）（2）點為線段上靠近點的三等分點【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出點的坐標，求出兩個平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設存在，設，利用相等向量求出坐標，利用線面平行的向量法代入公式計算即可.【小問1詳解】如下圖所示，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，．所以，設平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因為，，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，所以，由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為【小問2詳解】假設在線段上存在點，使得平面，設，，，因為平面，所以，即所以，即解得所以在線段上存在點，使得平面，此時點為線段上靠近點的三等分點19、（1）極小值為，無極大值；（2）.【解析】（1）對函數進行求導、列表、判斷函數的單調性，最后根據函數極值的定義進行求解即可；（2）對進行常變量分離，然后構造新函數，對新函數進行求導，判斷其單調性，進而求出新函數的最值，最后根據題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數的定義域為，當時，.由，得.當變化時，，的變化情況如下表-0+單調遞減極小值單調遞增所以在上單調遞減，上單調遞增，所以函數的極小值為，無極大值.（2）對，恒成立，即對，恒成立.令，則.由得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，因此.所以的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值、最值，考查了構造函數法、常變量分離法，考查了數學運算能力和分類討論思想.20、（1）.（2）證明見解析.【解析】（1）由已知得，設圓分別切軸于點，過點作，垂足為.在從而有得，由等比數列的定義得數列是以為首項，為公比的等比數列.由此求得答案；（2）由（1）得再由圓的面積公式和等比數列求和公式計算可得證.【小問1詳解】解：直線的傾斜角為則圓心在直線上，，設圓分別切軸于點，過點作，垂足為.在中，所以即化簡得，變形得，所以是以為首項，為公比的等比數列.，.【小問2詳解】解：由（1）得所以，所以.21、（1）（2）【解析】（1）根據焦點到準線的距離，可得到，可得結果.（2）假設的坐標，得到，然后聯立直線與拋物線的方程，利用韋達定理，根據，可得結果.【詳解】（1）由題知：拋物線的焦點到準線