查補重難點08.解直角三角形及其應用考點一：解直角三角形及其性質1.銳角三角函數的性質當0°＜∠A＜90°時，sinA隨∠A的增大而增大；cosA隨∠A的增大而減小；tanA隨∠A的增大而增大。2.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形。3.在解直角三角形的過程中，常用關系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1。4.三角函數特殊值（熟記）：sin30°=；sin45°=；sin60°=；cos30°=；cos45°=；cos60°=；tan30°=；tan45°=1；tan60°=題型1.求銳角三角函數值在求銳角的三角函數值時，首先要明確是求銳角的正弦值，余弦值還是正切值，其次要弄清是哪兩條邊的比，但最重要的還是要以記清三角函數特殊角的函數值為前提。根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形。例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則．

變式1．（2022·江蘇揚州·中考真題）在中，，分別為的對邊，若，則的值為．變式2．（2023·江蘇鹽城·模擬預測）七巧板是我國祖先的一項卓越創造，被譽為“東方魔板”．由邊長為的正方形可以制作一副如圖所示的七巧板，現將這副七巧板在拼成如圖所示的造型恰好放入矩形中其中點，，，都在矩形邊上，若，則的正切值為．題型2.網格圖與銳角三角函數在網格中求銳角三角形函數值，關鍵是利用銳角邊上的格點找到直角三角形或構造直角三角形來進行求解。當銳角所在的三角形是直角三角形時，根據銳角三角函數的定義就可以直接求解;若銳角所在的三角形是非直角三角形時，常需要通過作垂線、平移線段等方式構造直角三角形，并輔以等積法求關鍵線段來解決。例1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則．

變式1．（2024·江蘇連云港·一模）如圖是的網格，每個格子都為正方形．點A，B，C，D，E均為格點，線段交于點O．則．變式2．（2023·江蘇連云港·二模）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點O，A，B，C都在格點上，若，則的值為．題型3.解直角三角形解直角三角形的基本策略：1）有“弦”用“弦”；2）無“弦”用“切”；3）寧“乘”毋“除”；4）化“斜”為“直”；5）取“原”避“中”。注意：當已知條件為斜三角形的邊和角時，往往需要通過適當添加輔助線構造出直角三角形，進而轉化為解直角三角形的問題。例1.（2023·江蘇揚州·中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8變式1．（2023·江蘇蘇州·一模）如圖，點O是正五邊形的中心，于點H．則（）A．B．C．D．變式2.（2023年山東省濟寧市中考數學真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點在邊上，若，，則．

題型4.銳角三角函數的性質當0°＜∠A＜90°時，sinA隨∠A的增大而增大；cosA隨∠A的增大而減小；tanA隨∠A的增大而增大。例1.（2023·重慶·統考模擬預測）若，則下列說法不正確的是（

）A．隨的增大而增大B．cos隨的減小而減小C．tan隨的增大而增大D．0<sin<1變式1．（2023·四川成都·校考模擬預測）比較大小：（填“”“”）．變式2．（2023·陜西西安·校考模擬預測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數在（

）范圍內．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°題型5.新定義問題銳角三角函數新定義問題主要包含高中數學中的三角函數和解三角形的相關定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數學知識證明。若無特殊說明，一般認為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，；；．3）正弦面積公式：如圖2，.4）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1.（2023年湖南省婁底市中考數學真題）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（

）A．B．C．D．變式1．（2023·湖南婁底·統考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．變式2．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，考點二：銳角三角形函數的實際應用1.測量物體的高度（距離）的常見模型：（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：（已知條件：，求高m）這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。（2）測量底部可以到達的物體高度解題方法：1）已知測量儀高m，水平距離n，角α，求高h；2）已知水平距離n，角α，角β，求高h=h1+h2；這兩種模型種可結合水平距離和相應角度，用正切值解題。（3）測量底部不可到達的物體的高度注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素（至少有一條邊），可求出其余的三個未知元素（知二求三）；2）已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定。2.解直角三角形實際應用的一般步驟：（1）弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；（2）將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；（4）得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．題型1.與視角相關的實際應用視角：視線與水平線的夾角叫做視角。仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角。俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角。例1．（2023·江蘇·中考真題）根據以下材料，完成項目任務，項目測量古塔的高度及古塔底面圓的半徑測量工具測角儀、皮尺等測量

說明：點為古塔底面圓圓心，測角儀高度，在處分別測得古塔頂端的仰角為，測角儀所在位置與古塔底部邊緣距離．點在同一條直線上．參考數據項目任務（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圓的半徑．變式1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，從航拍無人機看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，無人機與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）

A． B． C． D．變式2．（2022·江蘇連云港·中考真題）我市的花果山景區大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區現存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進至處測得最高點的仰角，；小亮在點處豎立標桿，小亮的所在位置點、標桿頂、最高點在一條直線上，，．（注：結果精確到，參考數據：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．題型2.與方位角相關的實際應用方位角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角。例1.（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，燈塔位于港口的北偏東方向，且、之間的距離為，燈塔位于燈塔的正東方向，且、之間的距離為，一艘輪船從港口出發，沿正南方向航行到達處，測得燈塔位于北偏東方向上，這時，處距離港口有多遠（結果取整數）？（參考數據：，，，，，）

變式1．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖，一艘輪船在處測得燈塔在北偏西的方向上，該輪船又從處向正東方向行駛100海里到達處，測得燈塔在北偏西的方向上，則輪船在處時與燈塔之間的距離（即的長）為海里．變式2.（2023年山東省濰坊市中考數學真題）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西方向往燈塔B行駛，沿線勘測石油資源，勘測發現位于碼頭A北偏東方向的D處石油資源豐富．若規劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結果保留根號）

題型3.與坡角相關的實際應用坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．例1．（2023·江蘇連云港·中考真題）漁灣是國家“AAAA”級風景區，圖1是景區游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋處出發，沿著坡角為的山坡向上走了到達處的三龍潭瀑布，再沿坡角為的山坡向上走了到達處的二龍潭瀑布．求小卓從處的九孔橋到處的二龍潭瀑布上升的高度為多少米？（結果精確到）（參考數據：）

變式1．（2023年湖北省中考數學真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

變式2．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，某學習小組在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹的高度，他在點處測得大樹頂端的仰角為，再從點出發沿斜坡走米到達斜坡上點，在點處測得樹頂端的仰角為，若斜坡的坡比為（點在同一水平線上）．(1)求從點到點的過程中上升的高度；(2)求大樹的高度（結果保留根號）．題型4.其他的實際應用問題例1．（2023·江蘇鎮江·中考真題）小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個端點固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，分別表示門框和門所在位置，M，N分別是上的定點，，的長度固定，的大小可變．

(1)圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，，，求的度數．(2)圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點F的位置如圖3所示，請在圖3中作出此時門的位置．（用無刻度的直尺和圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)在門開合的過程中，的最大值為______．（參考數據：）變式1．（2023·江蘇蘇州·中考真題）四邊形不具有穩定性，工程上可利用這一性質解決問題．如圖是某籃球架的側面示意圖，為長度固定的支架，支架在處與立柱連接（垂直于，垂足為），在處與籃板連接（所在直線垂直于），是可以調節長度的伸縮臂（旋轉點處的螺栓改變的長度，使得支架繞點旋轉，從而改變四邊形的形狀，以此調節籃板的高度）．已知，測得時，點離地面的高度為．調節伸縮臂，將由調節為，判斷點離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數據：）

變式2．（2022·江蘇鎮江·中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對稱圖形，直線為對稱軸，點、分別是、的中點，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發現并證明了點在上．請你繼續完成長的計算．參考數據：，，，，，．課后訓練：1．（2023·安徽·校聯考模擬預測）在中，所對的邊分別為，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·上海靜安·校考一模）如果，那么與的差（

）．A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定3．（2024·山東濟南·模擬預測）構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的重要應用．我們已經知道，，角的三角函數值，現在來求的值：如圖，在中，，延長使，連接，得．設，則，AB=，所以，類比這種方法，計算的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）的會徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成．作菱形，使點D，E，F分別在邊，，上，過點E作于點H．當，，時，的長為（

）

A． B． C． D．5．（2023·江蘇無錫·二模）如圖，在點處，看建筑物頂端的仰角為，向前走了6米到達點即米，在點處看點的仰角為，則的長用三角函數表示為（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江·一模）圖1是一地鐵站入口的雙翼閘機，雙翼展開時示意圖如圖2所示，它是一個軸對稱圖形，，則雙翼邊緣端點C與D之間的距離為（

）A．B．C．D．7．（2023·浙江·模擬預測）如圖，已知△ABC內接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（

）A．B．C．D．8．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，與斜坡垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為米（結果精確到米）．

科學計算器按鍵順序計算結果（已取近似值）

9．（2023·湖南株洲·校聯考三模）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點A，B，O在網格線的交點上，則的值是．10．（2023·陜西西安·校考模擬預測）國際數學大會是全世界數學家的大聚會．如圖是某次大會的會徽，選定的是我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數學方面的成就，也弘揚了我國古代的數學文化．如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么的值等于．

11．（2023·重慶·中考模擬預測）在直角中，，，的角平分線交于點，且，斜邊的值是______．12．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，若．，則．

13．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖1，位于市區的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標志性文化名片，如圖2，線段表示“鐵軍”雕塑的高，點，，在同一條直線上，且，，，則線段的長約為m.（計算結果保留整數，參考數據：）

14．（2023·江蘇南通·二模）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東方向上的處，此時處與處的距離為海里(結果保留根號)．15．（23-24八年級上·浙江溫州·期中）圖1為手機支架實物圖，圖2為它的側面示意圖，“型”托架用于放置手機，支架兩端分別與托架和底座（其厚度忽略不計）相連，支架端可調節旋轉角度，已知，，支架調整到圖2位置時，，．因實際需要，現將支架端角度調整為，如圖3所示，則點的位置較原來的位置上升高度為．16．（2023年四川廣元中考真題數學試題）“一縷清風銀葉轉”，某市20臺風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶．某中學初三數學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量．如圖，三片風葉兩兩所成的角為，當其中一片風葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風葉的視角．(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請利用公式計算；(2)求風葉的長度．

17．（2024·江蘇徐州·一模）如圖1所示的是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分組成，圖是它的簡易平面圖．小明想知道燈管距地面的高度，他在地面處測得燈管的仰角為，在地面處測得在燈管仰角為，并測得，已知點、、在同一條直線上，請你幫小明算出燈管距地面的高度(結果精確到,參考數據：，，)18．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．