查補培優沖刺04.二次函數與幾何的綜合壓軸題型一：二次函數與角度問題題型二：二次函數與相似（全等）題型三：二次函數與特殊三角形題型四：二次函數與特殊四邊形題型五：二次函數與定值、定點題型六：二次函數與幾何最值（范圍）題型七：二次函數與新定義幾何圖形題型一：二次函數與角度問題1.二次函數與角度綜合問題，常見類型：

1）特殊角問題：（1）利用特殊角的三角函數值找到線段之間的數量關系；（2）

遇到特殊角可以構造特殊三角形，如遇到45°構造等腰直角三角形，遇到30°、60°構造等邊三角形，遇到90°構造直角三角形。2）角的數量關系問題（1）等角問題：基于動點構造某個角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質、全等和相似的性質或構造圓，利用圓周角的性質來解決；（2）倍角問題：基于動點構造某個角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質、等腰三角形的性質、對稱、輔助圓等知識來解答；（3）角的和差問題：角度和為90度、45度等。例1．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數的圖像與軸交于點，且經過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內角是的兩倍，求點的橫坐標．變式1．（2024·江蘇揚州·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知拋物線的頂點坐標為，與x軸分別交于點A，B．連接，點D是線段上方拋物線上的一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在點D運動過程中，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，在點D運動過程中，連接交于點E，點F在線段上，連接，若，求點F橫坐標的最大值．

變式2．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在二次函數（m是常數，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求的度數；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內二次函數（m是常數，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結合函數的圖像，直接寫出m的取值范圍．題型二：二次函數與相似（全等）相似三角形存在性問題：（1）若兩個相似三角形對應關系已知，則根據對應邊或對應角關系；①設點坐標；②表示線段長（或點坐標）；③列比例關系式求解；④將點坐標代入到滿足的函數關系中求解；（2）若兩個相似三角形對應關系末知，則需根據已知三角形分類討論三角形的對應邊關系，再由（1）中的步驟求解即可。全等三角形存在性問題：（1）若兩個全等三角形對應關系已知，則根據對應邊關系；①若三角形的邊長可以計算出來，則根據全等關系直接列式；②若已知三角形的頂點在拋物線上，并且可以表示出來，則將此頂點坐標代入拋物線解析式中列式。（2）若兩個全等三角形對應關系未知，則需根據已知分類討論兩個三角形的對應全等關系，再由（1）中的方法求解即可。例1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為，，其中（），且，與軸的交點為，直線軸，在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線、直線的交點分別為．(1)求拋物線的解析式；(2)當時，求面積的最大值；(3)當時，是否存在點，使以為頂點的三角形與相似？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．變式1．（23-24九年級·江蘇連云港·階段練習）如圖，在第一象限內作與軸的夾角為的射線，在射線上取一點，過點作軸于點．在拋物線上取一點，在軸上取一點，使得以為頂點的三角形與全等，則符合條件的點A的坐標是．

題型三：二次函數與特殊三角形1）等腰三角形存在性問題處理技巧：需注意分類討論思想的應用，找準頂確與底角分類討論的關鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。2）直角三角形存在性問題處理技巧：需注意分類討論思想的應用，找準直角頂點是分類討論的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．

變式1．（2021·江蘇宿遷·中考真題）如圖，拋物線與軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當∠CAQ=∠CBA45°時，求點P的坐標；(3)如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作軸的垂線交BC于點H，當△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．變式2．（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于A、B兩點（A在B的左側），它的對稱軸l與圖象交于點P，直線所對應的函數表達式為(1)請直接寫出點P的坐標．(2)若為直角三角形，設直線與這個二次函數的圖象的另一個交點為Q．①求a、c的值與點Q的坐標；②若M為直線l上的點，且以M、B、Q為頂點的三角形是銳角三角形，請直接寫出點M的縱坐標t的取值范圍．

題型四：二次函數與特殊四邊形1）平行四邊形存在性問題處理技巧：（平移或中點思想）關鍵：對角線互相平分，即對角線中點重合→中點公式。①當AB為對角線：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD；②當AC為對角線：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD；③當AD為對角線：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。2）菱形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構造等腰三角形，即鄰邊相等的點。3）矩形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構造證直角三角形，即鄰邊垂直的點。4）正方形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構造證等腰直角三角形的點。注意：“四邊形ABCD是....”和“以點A、B、C、D為頂點的四邊形是....”的區別，前者順序已定，后者可以隨機順序，需進一步討論。例1．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一般，由簡單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題、新結論的重要方法，在數學學習和研究中，我們經常會用到類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關思想，解答下列問題．材料二：分類討論是一種重要的數學思想，也是一種解題策略，在數學中的應用相當多，它能使許多看似非常復雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數學問題時要遵循一定的規則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復、不遺漏，每次分類必須保持在同一標準．請閱讀上述材料，完成題目：如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），點的坐標為，與軸交于點，直線與軸交于點．動點在拋物線上運動，過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當點在線段上時，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是軸上一動點，點在運動過程中，若以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．變式1．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交x軸于兩點，交y軸于點C，點P在線段上，過點P作軸，交拋物線于點D，交直線于點E．(1)，；(2)在點P運動過程中，若是直角三角形，求點P的坐標；(3)在y軸上是否存在點F，使得以點C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為交軸于、兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)已知拋物線上點，以點為直角頂點構造，使點在軸上，點在軸上，為的中點，求的最小值；(3)為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．題型五：二次函數與定值、定點1.直線過定點：設點的坐標，用字母表示出直線的解析式，再分離變量，得到定點坐標或直線的橫（縱）坐標為定值。2.線段比值為定值、線段乘積為定值、線段和差為定值：設點的坐標，用字母表示出線段的長，尋找等量關系，在恒等變換中消去字母，得到定值。3.線段倒數和為定值：一種是與角平分線有關的純幾何問題，此時可通過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，利用面積法用兩種方式表示出三角形的面積，再通過恒等變換得到倒數和為定值，另一種是與拋物線的性質有關的代數問題（直線過交點），先設點的坐標，用字母表示出線段的長，利用根與系數的關系及恒等變換消去字母，得到定值。例1．（2024·湖北武漢·三模）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，頂點為．其中，．(1)直接寫出該拋物線的解析式；(2)如圖，在第三象限內拋物線上找點，使，求點的坐標；(3)如圖，過拋物線對稱軸上點的直線交拋物線于兩點，線段的中點是，過點作軸的平行線交拋物線于點．若是一個定值，求點的坐標．變式1．（2024·江蘇無錫·一模）如圖1，拋物線經過，兩點，作垂直x軸于點C．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點是拋物線上一點，滿足，求點的坐標；(3)若點P為拋物線上一點，且在第四象限內．已知直線，與x軸分別交于E、F兩點．當點P運動時，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．變式2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側），點關于軸的對稱點為．(1)當時，求，兩點的坐標；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．題型六：二次函數與幾何最值（范圍）二次函數的幾何最值1（代數法）：引入新的變量，將所求的長度、面積、坐標等用新的變量表示出來，再運用二次函數的最值解決即可。二次函數的幾何最值2（幾何法）：將我們要求的線段、多線段和差的最值問題轉化為基本的幾何模型（將軍飲馬、胡不歸、費馬點、阿氏圓、瓜豆原理等）進行解決即可。例1．（2024·江蘇淮安·二模）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．(1)求點，的坐標；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．變式1．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，已知拋物線，點，在此函數圖象上，動點P位于點O、B之間的拋物線上（不與點O，B重合），過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．(1)如圖1，求該二次函數的解析式；(2)尺規作圖：當最大時，在圖2中作出此時的點P；(3)如圖3，連接OB，交直線AP于點M，直接寫出的最大值．題型七：二次函數與新定義幾何圖形所謂的“新定義”型問題是指給出一個學生未學過的新規定，要求學生現學現用，將陌生的問題轉化成熟悉的問題，將非常規的問題轉化成常規問題，從而解決問題。很好的鍛煉了學生的閱讀理解能力、數學抽象、數學歸納、類比遷移、轉化等綜合創新能力，很好地體現了數學核心素養的考查。例1．（2024.成都市校考期中）【閱讀理解】定義：在平面直角坐標系中，點為拋物線的頂點，直線與拋物線分別相交于，兩點（其中點在點的右側），與拋物線的對稱軸相交于點，若記，則稱是直線與拋物線的“截積”．【遷移應用】根據以上定義，解答下列問題：如圖，若直線的函數表達式為．（1）若拋物線的函數表達式為，分別求出點，的坐標及的值；（2）在（1）的基礎上，過點作直線的平行線，現將拋物線進行平移，使得平移后的拋物線的頂點落在直線上，試探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）設拋物線的函數表達式為，若，，且點在點的下方，求的值．變式1．（2024重慶中考模擬預測）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），已知點的橫坐標是2，拋物線的頂點為．（1）求的值及頂點的坐標；（2）點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉后得到拋物線，記拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點為，（點在點的右側）．當點與點重合時（如圖，求拋物線的表達式；（3）如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點，，，中任取兩點，若以取出的三點為頂點能構成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數”．當拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數時，求點的坐標．課后訓練1.（2022·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數圖像上的兩個動點（點C在點D的左側），且．(1)求該二次函數的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．2．（23-24九年級上·浙江·階段練習）中，，，的對邊分別為，，，拋物線交軸于兩點，，交軸于點，其中的坐標是．(1)求證：是直角三角形；(2)若，求的值；判斷的三邊長能否取一組適當的值，使三角形為拋物線的頂點是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．3．（2023·江蘇鎮江·中考真題）已知，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點C與點B關于原點對稱，直線分別與y軸交于點E，F，點F在點E的上方，．

(1)分別求點E，F的縱坐標（用含m，n的代數式表示），并寫出m的取值范圍．(2)求點B的橫坐標m，縱坐標n之間的數量關系．（用含m的代數式表示n）(3)將線段繞點順時針旋轉，E，F的對應點分別是，．當線段與點B所在的某個函數圖象有公共點時，求m的取值范圍．4．（2023年四川省內江市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．5．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖1，二次函數與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．點坐標為，點坐標為，點是第一象限內拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為D，交直線于點，設點的橫坐標為．(1)求該二次函數的表達式；(2)如圖2，過點作，垂足為，當為何值時，最大？最大值是多少？(3)如圖3，連接，當四邊形是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點，使原點關于直線的對稱點恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點的坐標．6．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．(1)求點的坐標；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當線段的中點在該二次函數的圖象的對稱軸上時，的面積為．

7．（2023·江蘇揚州·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸正半軸上．(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數（a為常數，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數的圖象上，點B、D在y軸的同側，且點B在點D的左側，設點B、D的橫坐標分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數（a為常數，且）的圖象上，點B在點D的左側，設點B、D的橫坐標分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關系式．

8．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．(1)當時，求點的坐標；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數表達式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．

9．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖（1），二次函數的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為，直線經過、兩點．(1)求該二次函數的表達式及其圖像的頂點坐標；(2)點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數的圖像相交于點，再過點作軸的垂線與該二次函數的圖像相交于另一點，當時，求點的橫坐標；(3)如圖（2），點關于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當的值最小時，直接寫出的長．10．（2022·江蘇鎮江·中考真題）一次函數的圖像與軸交于點，二次函數的圖像經過點、原點和一次函數圖像上的點．(1)求這個二次函數的表達式；(2)如圖1，一次函數與二次函數的圖像