哈爾濱市第一中學校2024－2025學年度上學期期中考試高二數(shù)學試卷出題人：高三備課組 審題人：高三備課組考試時間：120分鐘 分值：150分第Ⅰ卷選擇題（48分）一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每個小題只有一個選項是正確的．）1．直線的傾斜角量（）A． B． C． D． 2．若橢圓焦點在軸上且經(jīng)過點，焦距為6，則該橢圓的標準方程為（）A． B． C． D． 3．空間向量在上的投影向量為（）A． B． C． D． 4．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5．設點，直線，當點到的距離最大時，直線的斜率為（）A． B． C． D． 6．設直線，點，，為上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．7．如圖，平行六面體的所有棱長為2，四邊形是正方形，，點是與的交點，則直線與所成角的余弦值為（）C． D． 8．某圓拱橋的拱高為5m，現(xiàn)有寬10m，水面以上的高度為3米的一艘船恰能從橋下通過，則該拱橋的水面跨度（單位：m）在下列哪個區(qū)間內（）A． B． C． D． 二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，全部全對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）9．若直線與圓相交于，兩點，則的長度可能等于（）A．3 B．4 C．5 D．6 10．下列命題中，正確的是（）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．直線的方向向量，平面的法向是，則C．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則D．直線的方向向量，平面的法向量，則直線與平面所成角的大小為11．已知兩圓方程為與則下列說法正確的是（）A．若兩圓有3條公切線，則B．若兩圓公共弦所在的直線方程為，則C．若兩圓公共弦長為，則D．若兩圓在交點處的切線互相垂直，則第Ⅱ卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．設為實數(shù)，若方程表示圓，則的取值范圍為______．13．已知平面內一點，點在平面外，若的一個法向量為，則到平面的距離為______．14．點，是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于，的任意一點，若直線，的斜率之積為，則橢圓的離心率為______．四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（13分）如圖所示：多面體中，四邊形為菱形，四邊形為直角梯形，且，平面，．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角的正弦值．16．（15分）已知直線和的交點為．（1）若直線經(jīng)過點且與直線平行，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，求直線的一般式方程．17．（15分）已知圓過點，，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程．18．（17分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的兩個焦點分別是，，點在上，且．（1）求的標準方程；（2）諾直線與交于，兩點，且的面積為，求的值．19．（17分）已知橢圓的離心率為，、分別是的上、下頂點，，分別是的左、右頂點，．（1）求的方程；（2）設為第一象限內上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，求證：．高二期中考試數(shù)學答案一、單選題題號12345678答案ABCCABBB二、多選題題號91011答案BCDACABD二、填空題12．13．14．四、解答題15．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）因為平面，平面，所以；底面為菱形，所以；又因為，，平面，所以平面．（2）如圖：設，取CF的中點M，連接OM，則所以平面．故可以以O為原點，建立如圖空間直角坐標系．因為為直線DA與平面ACF所成的角，所以，又，所以，，，，，則，．設平面的法向量為，則．取，則，，，又為平面的法向量，設平面與平面所成的角為，∵，則，∴，即平面與平面所成角的正弦值為．16．【答案】（1）（2）或【詳解】：（1）聯(lián)立，解得，即直線經(jīng)過點且與直線，平行，故設直線的方程為：，將帶入可得，故直線的方程為：，（2）由題意知直線經(jīng)過點且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5；則其在坐標軸的截距不為0，設其方程為，與兩坐標軸的交點別為，，則，解得：或，故直線的方程為：或，即或．17．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，得直線AB的斜率為，線段中點所以，直線CD的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，所以半徑，所以圓C的方程為；（2）由恰好平分圓C的圓周，得經(jīng)過圓心，設點關于直線的對稱點，則直線MN與直線垂直，且線段MN的中點在上，則有，解得，所以，所以直線CN即為直線，且，直線方程為，即．18．【答案】（1）（2）或【詳解】（1）由題意，設C的標準方程為，則，，即，所以，所以C的標準方程為，（2）設，，由聯(lián)立得，由題意，即，，，顯然直線過定點，所以，所以，即，所以，解得或，均滿足，所以或．19．【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】（1）依題意，得，則，又，分別為橢圓上下的頂點，，所以，即，所以，即，則，