山東實驗中學2025屆數學高二上期末統考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正四面體中，點為所在平面上動點，若與所成角為定值，則動點的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線2．不等式的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.3．下列命題是真命題的個數為（）①不等式的解集為②不等式的解集為R③設，則④命題“若，則或”為真命題A1 B.2C.3 D.44．如圖，平行六面體中，與的交點為，設，則選項中與向量相等的是（）A. B.C. D.5．用斜二測畫法畫出邊長為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）A. B.C.4 D.6．已知是空間的一個基底，，，，若四點共面．則實數的值為（）A. B.C. D.7．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（）A. B.C. D.8．已知函數（為自然對數的底數），若的零點為，極值點為，則（）A. B.0C.1 D.29．若正實數、滿足，且不等式有解，則實數取值范圍是（）A.或 B.或C. D.10．已知橢圓的短軸長和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.11．若數列為等比數列，且，，則（）A.8 B.16C.32 D.6412．已知圓的方程為，直線：恒過定點，若一條光線從點射出，經直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線被圓截得的弦長等于該圓的半徑，則實數_____.14．已知等差數列的公差，等比數列的公比q為正整數，若，，且是正整數，則______15．設數列的前n項和為，且是6和的等差中項，若對任意的，都有，則的最小值為________16．若，，三點共線，則m的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，P（2，0），M點是圓Q上任意一點，線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點C，當M點在圓上運動時，點C的軌跡為曲線C（1）求曲線C方程；（2）已知直線l：x＝8，A、B是曲線C上的兩點，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值18．（12分）如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結AB，AC，M為AC的中點.（1）證明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角正弦值.20．（12分）已知拋物線C的焦點為，N為拋物線上一點，且（1）求拋物線C的方程；（2）過點F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點，，求直線l的方程21．（12分）已知數列的前n項和為，且.（1）求的通項公式；.（2）求數列的前n項和.22．（10分）為增強市民的環境保護意識，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環境保護宣傳小組，現把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內的人數為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內的志愿者中抽取名參加某社區的宣傳活動，再從這名志愿者中隨機抽取名志愿者做環境保護知識宣講，求這名環境保護知識宣講志愿者中至少有名年齡在內的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區為了感謝甲、乙作為環境保護知識宣講的志愿者，給甲、乙各隨機派發價值元、元、元的紀念品一件，求甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】把條件轉化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡.根據題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進一步計算與平面所成角為，即時，軌跡為拋物線，時，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉化化歸思想，屬于難題.2、B【解析】解不等式，由此判斷必要不充分條件.【詳解】，解得，所以不等式的一個必要不充分條件是.故選：B3、B【解析】舉反例判斷A，解一元二次不等式確定B，由導數的運算法則求導判斷C，利用逆否命題判斷D【詳解】顯然不是的解，A錯；，B正確；，，C錯；命題“若，則或”的逆否命題是：若且，則，是真命題，原命題也是真命題，D正確真命題個數2.故選：B4、B【解析】利用空間向量加減法、數乘的幾何意義，結合幾何體有，進而可知與向量相等的表達式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B5、A【解析】畫出直觀圖，求出底和高，進而求出面積.【詳解】如圖，，，，過點C作CD⊥x軸于點D，則,所以直觀圖是底為2、高為的平行四邊形，所以面積為.故選：A.6、A【解析】由共面定理列式得，再根據對應系數相等計算.【詳解】因為四點共面，設存在有序數對使得，則，即，所以得.故選：A7、A【解析】聯立方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求距離.【詳解】由得交點為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.8、C【解析】令可求得其零點，即的值，再利用導數可求得其極值點，即的值，從而可得答案【詳解】解：，當時，，即，解得；當時，恒成立，的零點為又當時，為增函數，故在，上無極值點；當時，，，當時，，當時，，時，取到極小值，即的極值點，故選：C【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值，考查函數的零點，考查分段函數的應用，突出分析運算能力的考查，屬于中檔題9、A【解析】將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關于實數的不等式，解之即可.【詳解】因為正實數、滿足，則，即，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，即的最小值為，因為不等式有解，則，即，即，解得或.故選：A.II卷10、A【解析】由題設及橢圓方程可得，即可求參數a的值.【詳解】由題設易知：橢圓參數，即有，可得故選：A11、B【解析】設等比數列的公比為，根據等比數列的通項公式得到，即可求出，再根據計算可得；【詳解】解：設等比數列公比為，因為、，所以，所以；故選：B12、B【解析】求得定點，然后得到關于直線對稱點為，然后可得，計算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點的坐標為.設點關于直線的對稱點為，則由,解得,所以點坐標為.由線段垂直平分線的性質可知，，所以（當且僅當，，，四點共線時等號成立），所以的最小值為4.故選:B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長，列出等量關系，即可求出結果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.14、【解析】由已知等差、等比數列以及，，是正整數，可得，結合q為正整數，進而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數，有，又為正整數，所以當時，解得，當時，解得不是正整數，故答案為：15、【解析】先根據和項與通項關系得通項公式，再根據等比數列求和公式得，再根據函數單調性得取值范圍，即得取值范圍，解得結果.【詳解】因為是6和的等差中項，所以當時，當時，因此當為偶數時，當為奇數時，因此因為在上單調遞增，所以故答案為：【點睛】本題考查根據和項求通項、等比數列定義、等比數列求和公式、利用函數單調性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.16、【解析】根據三點共線與斜率的關系即可得出【詳解】由，，三點共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線C的方程；（2）先判斷出直線AB過定點H(2,0)或H(4,0).當AB過定點H(4,0)，求出最大；當H(2,0)時，可設直線AB：.用“設而不求法”表示出，不妨設（），利用函數的單調性求出△ABD面積的最大值.【小問1詳解】因為線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點C的軌跡為以P、Q為焦點的橢圓，其中，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】不妨設直線l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線AB交x軸于H(h,0)，則,.因為，，，所以.又因為的面積是△ABD面積的5倍，所以.因為G(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當H(4,0)時，則H與A（或H與B）重合，不妨設H與A重合，此時，，要使△ABD面積最大，只需B在短軸頂點時，=2最大，所以最大；當H(2,0)時，要想構成三角形ABD，直線AB的斜率不為0，可設直線AB：.設,則，消去x可得：，所以，，，所以.不妨設（），則，由對勾函數的性質可知，在上單調遞減，所以當t=4時，，此時最大綜上所述，△ABD面積的最大值為.【點睛】（1）“設而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（2）解析幾何中最值計算方法有兩類：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數法：表示為函數，利用函數求最值.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性質得出，，再由線面垂直的判定證明即可；（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，由向量法得出面面角.【小問1詳解】設，則，，平面平面，連接，，，，，即又，平面ABC【小問2詳解】，以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系設平面的法向量為，平面的法向量為，令，則同理可得，又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據等腰三角形性質得PO垂直AC，再通過計算，根據勾股定理得PO垂直OB，最后根據線面垂直判定定理得結論；（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數量積求出兩個法向量夾角，根據二面角與法向量夾角相等或互補關系列方程，解得M坐標，再利用向量數量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余得結果【詳解】（1）因為，為的中點，所以，且連結因為，所以為等腰直角三角形，且由知由知平面（2）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系由已知得取平面的法向量設，則設平面的法向量為由得，可取所以．由已知得所以．解得(舍去)，所以又，所以所以與平面所成角的正弦值為【點睛】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”20、（1）（2）或【解析】（1）拋物線的方程為，利用拋物線的定義求出點N，代入拋物線方程即可求解.（2）設直線的方程為，將直線與拋物線方程聯立，利用韋達定理以及焦半徑公式可得或，即求.【小問1詳解】拋物線的方程為，設，依題意，由拋物線定義，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）得，設直線的方程為，，，由，得.因為，故所以.由題設知，解得或，因此直線方程為或.21、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件結合當時，探求數列的性質即可計算作答.(2)由(1)求出，再利用錯位相減法計算作答.小問1詳解】依題意，當時，因為，則，當時，，解得，于是得數列是以1為首項，為公比的等比數列，則，所以的通項公式是.【小問2詳解】由(1)可知，，則，因此，兩式相減得：，于是得，所以數列的前n項和.22、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀念品價值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小