河南省信陽市第一高級中學2025屆數學高一上期末質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，動點滿足，則動點軌跡與圓位置關系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內切2．函數（A，ω，φ為常數，A>0，ω>0，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.3．在平面直角坐標系中,以為圓心的圓與軸和軸分別相切于兩點,點分別在線段上,若,與圓相切,則的最小值為A. B.C. D.4．設a是方程的解,則a在下列哪個區間內()A.(0,1) B.(3,4)C.(2,3) D.(1,2)5．設集合，則是A. B.C. D.有限集6．已知，，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.7．如圖，三棱柱中，側棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是A.平面B.與是異面直線C.D.8．若冪函數的圖象經過點，則的值為（）A. B.C. D.9．已知是定義在上的奇函數，當時，，則當時，的表達式為（）A. B.C. D.10．已知函數滿足∶當時，，當時，，若，且，設，則()A.沒有最小值 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標系中，已知點A在單位圓上且位于第三象限，點A的縱坐標為，現將點A沿單位圓逆時針運動到點B，所經過的弧長為，則點B的坐標為___________.12．已知向量，，，則=_____.13．寫出一個同時具有下列性質的函數___________.①是奇函數；②在上為單調遞減函數；③.14．已知函數有兩個零點分別為a，b，則的取值范圍是_____________15．已知函數．若關于的方程，有兩個不同的實根，則實數的取值范圍是____________16．已知，且.（1）求的值；（2）求的值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線（1）求證：直線過定點（2）求過(1)的定點且垂直于直線直線方程.18．已知函數.（1）判斷的奇偶性并證明；（2）用函數單調性的定義證明在區間上單調遞增；（3）若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.19．已知函數.（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（2）若實數滿足，求的值.20．已知函數（常數）.（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）當時，求最小值.21．已知，計算：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】設動點P的坐標，利用已知條件列出方程，化簡可得點P的軌跡方程為圓，再判斷圓心距和半徑的關系即可得解.，詳解】設，由，得，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為為圓心，為半徑的圓兩圓的圓心距為，滿足，所以兩個圓相交.故選：C.2、B【解析】根據函數圖像易得，，求得，再將點代入即可求得得值.【詳解】解：由圖可知，，則，所以，所以，將代入得，所以，又，所以.故選：B.3、D【解析】因為為圓心的圓與軸和軸分別相切于兩點,點分別在線段上,若,與圓相切，設切點為，所以，設，則，，故選D.考點：1、圓的幾何性質；2、數形結合思想及三角函數求最值【方法點睛】本題主要考查圓的幾何性質、數形結合思想及三角函數求最值，屬于難題．求最值的常見方法有①配方法：若函數為一元二次函數，常采用配方法求函數求值域，其關鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②三角函數法：將問題轉化為三角函數，利用三角函數的有界性求最值；③不等式法：借助于基本不等式求函數的值域，用不等式法求值域時，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；④單調性法：首先確定函數的定義域，然后準確地找出其單調區間，最后再根據其單調性求凼數的值域，⑤圖像法：畫出函數圖像，根據圖像的最高和最低點求最值，本題主要應用方法②求的最小值的4、C【解析】設，再分析得到即得解.【詳解】由題得設，由零點定理得a∈(2,3).故答案為C【點睛】本題主要考查函數的零點和零點定理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.5、C【解析】根據二次函數和指數函數的圖象和性質，分別求出兩集合中函數的值域，求出兩集合的交集即可【詳解】由集合S中的函數y＝3x＞0，得到集合S＝{y|y＞0}；由集合T中的函數y＝x2﹣1≥﹣1，得到集合T＝{y|y≥﹣1}，則S∩T＝S故選C【點睛】本題屬于求函數值域，考查了交集的求法，屬于基礎題6、A【解析】利用向量數量積的幾何意義以及向量數量積的坐標表示即可求解.【詳解】，，在方向上的投影為：.故選：A【點睛】本題考查了向量數量積的幾何意義以及向量數量積的坐標表示，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.7、D【解析】因為三棱柱A1B1C1-ABC中,側棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點，所以對于A,AC與AB夾角為60°,即兩直線不垂直，所以AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A錯誤；對于B,CC1與B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B錯誤；對于C,A1C1，B1E是異面直線；故C錯誤；對于D,因為幾何體是三棱柱,并且側棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AE,AE⊥BC,得到AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；故選D.8、C【解析】由已知可得，即可求得的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：C.9、D【解析】當，即時，根據當時，，結合函數的奇偶性即可得解.【詳解】解：函數是定義在上的奇函數，，當時，，當，即時，.故選：D.10、B【解析】根據已知條件，首先利用表示出，然后根據已知條件求出的取值范圍，最后利用一元二次函數并結合的取值范圍即可求解.【詳解】∵且，則，且，∴，即由，∴，又∵，∴當時，，當時，，故有最小值.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】設點A是角終邊與單位圓的交點，根據三角函數的定義及平方關系求出，，再利用誘導公式求出，即可得出答案.【詳解】解：設點A是角的終邊與單位圓的交點，因為點A在單位圓上且位于第三象限，點A的縱坐標為，所以，，因為點A沿單位圓逆時針運動到點B，所經過的弧長為，所以，所以點的橫坐標為，縱坐標為，即點B的坐標為.故答案為：.12、【解析】先根據向量的減法運算求得,再根據向量垂直的坐標表示,可得關于的方程,解方程即可求得的值.【詳解】因為向量，，所以則即解得故答案為:【點睛】本題考查了向量垂直的坐標關系,屬于基礎題.13、（答案不唯一，符合條件即可）【解析】根據三個性質結合圖象可寫出一個符合條件的函數解析式【詳解】是奇函數，指數函數與對數函數不具有奇偶性，冪函數具有奇偶性，又在上為單調遞減函數，同時，故可選，且為奇數，故答案為：14、【解析】根據函數零點可轉化為有2個不等的根，利用對數函數的性質可知，由均值不等式求解即可.詳解】不妨設，因為函數有兩個零點分別為a，b，所以，所以，即，且，，當且僅當，即時等號成立，此時不滿足題意，，即，故答案為：15、【解析】作出函數的圖象，如圖所示，當時，單調遞減，且，當時，單調遞增，且，所以函數的圖象與直線有兩個交點時，有16、（1）（2）【解析】(1)根據，之間的關系，平方后求值即可；（2）利用誘導公式化簡后，再根據同角三角函數間關系求解.【小問1詳解】∵∴，.【小問2詳解】由,可得或（舍），原式,∴原式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】⑴將直線化為，解不等式組即可得證；⑵由（1）知定點為，結合題目條件計算得直線方程解析：（1）根據題意將直線化為的解得，所以直線過定點（2）由（1）知定點為，設直線的斜率為k，且直線與垂直，所以，所以直線的方程為18、（1）為奇函數，證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）求出函數的定義域，然后驗證、之間的關系，即可證得函數為奇函數；（2）任取、，且，作差，因式分解后判斷差值的符號，即可證得結論成立；（3）由參變量分離法可得出，令，求出函數在上的最大值，即可得出實數的取值范圍.【小問1詳解】證明：函數為奇函數，理由如下：函數的定義域為，，所以為奇函數.【小問2詳解】證明：任取、，且，則，，，所以，，所以在區間上單調遞增.【小問3詳解】解：不等式在上恒成立等價于在上恒成立，令，因為，所以，則有在恒成立，令，，則，所以，所以實數的取值范圍為.19、（1）偶函數，理由見詳解；（2）或.【解析】（1）根據函數定義域，以及的關系，即可判斷函數奇偶性；（2）根據的單調性以及對數運算，即可求得參數的值.【小問1詳解】偶函數，理由如下：因為，其定義域為，關于原點對稱；又，故是偶函數.【小問2詳解】在單調遞增，在單調遞減，證明如下：設，故，因為，故，則，又，故，則，故，則故在單調遞增，又為偶函數，故在單調遞減；因為，又在單調遞增，在單調遞減，故或.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.【解析】（Ⅰ）由，得到，再由，利用一元二次不等式的解法結合對數函數的單調性求解；.（Ⅱ）化簡得到函數，令，，轉化為函數在上的最小值求解.，【詳解】（Ⅰ）當時，，由得，即：，解得：，所以的解集為.（Ⅱ），，.令，因為，所以，若求在上的最小值，即求函數在上的最小值，，，對稱軸為.①當時，即時，函數在為減函數，所以；②當時，即時，函數在為減函數，在為增函數，所以；③當，即時，函數在為增函數，所以.綜上，當時，的最小值為；當時，的最小值為；當時，的最小值為.【點睛】方法點睛：