上海市徐匯區市級名校2025屆數學高二上期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為4的菱形，且，E為AD的中點，，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．“”是“函數在上有極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．若方程表示圓，則實數m的取值范圍為（）A B.C. D.4．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數學著作之一．書中有這樣一道題目：把93個面包分給5個人，使每個人所得面包個數成等比數列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個A.12 B.24C.36 D.485．已知直線在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是（）A或1 B.或C. D.16．在區間內隨機取一個數則該數滿足的概率為（）A. B.C. D.7．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．已知，，，，則下列不等關系正確的是()A. B.C. D.9．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定10．展開式的第項為（）A. B.C. D.11．若命題“，”是假命題，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.12．在等差數列中，，且構成等比數列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若不等式的解集為，則________14．設、分別是橢圓的左、右焦點．若是該橢圓上的一個動點，則的最大值為_____15．寫出一個離心率且焦點在軸上的雙曲線的標準方程________,并寫出該雙曲線的漸近線方程________16．已知四面體中，，分別在，上，且，，若，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值18．（12分）已知函數在處有極值.（1）求常數a，b的值；（2）求函數在上的最值.19．（12分）已知函數.（1）求的導數；（2）求函數的圖象在點處的切線方程.20．（12分）如圖，在三棱柱中，點在底面內的射影恰好是點，是的中點，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小21．（12分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點，FA⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.22．（10分）設數列的前項和，且成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）記數列前項和，求使成立的的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據異面直線的定義找出角即為所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC，PB的中點F，G，連接DF，FG，DG，如圖，因為E為AD的中點，四邊形ABCD是菱形，所以，所以（其補角）是異面直線PC與BE所成的角因為底面ABCD是邊長為4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為，故選：B2、B【解析】對求導，取得函數在上有極值的等價條件，再根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：，則，令，可得，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，函數在處取得極小值，若函數在上有極值，則，，因為，但是由推不出，因此是函數在上有極值的必要不充分條件故選：B3、D【解析】根據，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數m的取值范圍為.故選：D4、D【解析】設等比數列的首項為，公比，根據題意，由求解.【詳解】設等比數列的首項為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D5、A【解析】分截距都為零和都不為零討論即可.【詳解】當截距都為零時，直線過原點，；當截距不為零時，，.綜上：或.故選：A.6、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計算公式可得：在區間內隨機取一個數則該數滿足的概率為.故選：.7、D【解析】構建空間直角坐標系，根據已知條件求AN與BM對應的方向向量，應用空間向量夾角的坐標表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D8、C【解析】不等式性質相關的題型，可以通過舉反例的方式判斷正誤.【詳解】若、均為負數，因為，則，故A錯.若、，則，故B錯.由不等式的性質可知，因為，所以，故C對.若，因為，所以，故D錯.故選：C.9、A【解析】畫出圖形，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A10、B【解析】由展開式的通項公式求解即可【詳解】因為，所以展開式的第項為，故選：B11、A【解析】根據命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實數的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時，不等式為，顯然成立；時，應滿足，解得，所以實數的取值范圍是故選：A12、D【解析】根據，且構成等比數列，利用“”求解.【詳解】設等差數列的公差為d，因為，且構成等比數列，所以，解得，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解析】根據題意得到2與3是方程的兩個根，再根據兩根之和與兩根之積求出，進而求出答案.【詳解】由題意得：2與3是方程的兩個根，則，，所以.故答案為：1114、4【解析】設，寫出、的坐標，利用向量數量積的坐標表示有，根據橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當時，.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：利用向量數量積的坐標表示及橢圓的有界性求最值.15、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令雙曲線為，根據離心率可得，結合雙曲線參數關系寫出一個符合要求的雙曲線方程，進而寫出對應的漸近線方程.【詳解】由題設，可令雙曲線為且，∴，則，故為其中一個標準方程，此時漸近線方程為.故答案為：，(答案不唯一).16、【解析】連接，根據題意，結合空間向量加減法運算求解即可.【詳解】解：連接∵四面體中，，分別在，上，且，∴∴∴.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】（1）推導出，取BC的中點F，連結EF，可推出，從而平面，進而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，以過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點F，連結EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標原點，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系(如圖)，則∴設平面的法向量為，則，即得平面一個法向量為由（1）知平面，所以可設平面的法向量為設平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【點睛】用空間向量求解立體幾何問題的注意點（1）建立坐標系時要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準確求得所需點的坐標（2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關系，這點需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結論18、（1）；（2）最大值為-1，最值為-5.【解析】(1)根據給定條件結合函數的導數建立方程，求解方程并驗證作答.(2)利用導數探討函數在上的單調性即可計算作答.【小問1詳解】依題意：，則，解得：，當時，，當時，，當時，，則函數在處有極值，所以.【小問2詳解】由(1)知：，，，當時，，當時，，因此，在上單調遞增，在上單調遞減，于是得，而，，則，所以函數在上的最大值為-1，最值為-5.19、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數的導數公式及求導法則直接計算作答.(2)求出，再利用導數的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數定義域為，所以函數.【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數的圖象在點處的切線方程是.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因為點在底面內的射影恰好是點，所以面.因為面,所以.因為是的中點，且滿足．所以，所以.因為，所以，即,所以.因為,面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因為，所以由（1）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則,,,,所以，設，由得，，即.則.設平面BDC1的一個法向量為，則，不妨令，則.因為面，所以面的一個法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.21、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關系，以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標表示，判斷是否存在點滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，設平面的法向量為=(x，y，z)，則，取z=1，得平面的一個法向量=(，1，1)，設平面FBA的法向量為=(a，b，c)，則取b=1，得平面FBA的一個法向量為=(-，1，0)，∴設平面ABD與平面的夾角為θ，則∴平面ABD與平面夾角的余弦值為.【小問2詳解】假設在線段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，設(0≤λ≤1)，則(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一個法向量由∥，得，此方程無解.