PAGE第一章推理與證明[A組基礎鞏固]1．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2，n∈N＋)，a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于()A.eq\f(2,n＋12) B.eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(2,2n－1) D.eq\f(2,2n－1)解析：由Sn＝n2·an(n≥2，n∈N＋)可以分別求出a2，a3，a4，然后猜想an，也可以取n為特別值進行驗證．答案：B2．如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子，按這種規律往下排列，那么第36顆珠子的顏色是()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大解析：由圖可知，三白二黑，為一周期進行排列，因為36＝5×7＋1，則第36顆珠子與第1顆顏色相同，為白色．答案：A3．已知數列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數列的第k項是()A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2解析：由所給的四項可知第k項的第一個因式為ak－1，最終一個因式為a2k－2.答案：D4．定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對應下列4個圖形：那么下列4個圖形中，可以表示A*D，A*C的分別是()A．(1)，(2) B．(1)，(3)C．(2)，(4) D．(1)，(4)解析：由①②③④可歸納得出：A表示豎線，B表示大矩形，C表示橫線，D表示小矩形，所以A*D是(2)，A*C是(4)，故選C.答案：C5．視察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199解析：利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.規律為從第三組起先，其結果為前兩組結果的和．答案：C6．一同學在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規律接著下去，得到一系列的圈，那么在前100個圈中●的個數是________．解析：由1＋2＋3＋…＋12＝78個白圈，78＋12＝90.依規律再出現13個白圈，所以前100個圈中“●”的個數為12.答案：127．視察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規律，第n個等式為________________________________________．解析：∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n個等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)28．給出若干數：eq\r(2＋\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))，eq\r(5＋\f(5,24))，…，由此猜想第n個數為________．解析：依據已經給出的前4個數的規律，可歸納得第n個數為eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1)).答案：eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1))9．設Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)，寫出S1，S2，S3，S4的值，歸納并猜想出Sn的結果．解析：當n＝1,2,3,4時，計算原式的值分別為S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，S4＝eq\f(4,5)，視察這4個結果都是分數，每個分數的分子與項數對應，且分子比分母小1，歸納猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1).10．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式．解析：當n＝1時，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；當n＝2時，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；當n＝3時，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；當n＝4時，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)，n∈N＋.[B組實力提升]1．甲、乙、丙、丁四位小摯友做換位嬉戲，起先時，甲、乙、丙、丁分別坐在1、2、3、4號座位(如圖)．第一次前后排小摯友互換座位，其次次左右列小摯友互換座位，第三次再前后排小摯友互換座位，…，這樣交替進行下去，那么第2016次互換座位后，小摯友丁的座位號是()A．1 B．2C．3 D．4解析：從題中所給換位方法及圖示可知，每交換4次回復到起先位置，故第2016次互換座位后與第四次互換座位后相同．答案：D2．視察下列數表規律2→36→710→11↑↓↑↓↑↓0→14→58→912→…則數2015的箭頭方向是()A．↑→ B．↓→C．→↑ D．→↓解析：因上行奇數是首項為3，公差為4的等差數列，若2015在上行，則2015＝3＋(n－1)·4?n＝504∈N＋.故2015在上行，又因為在上行奇數的箭頭為→↓，故選D.答案：D3．已知數對如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個數對是________．解析：由前面的幾個數對不難發覺，數對中兩數之和為2的有1個，為3的有2個，為4的有3個，…，為11的有10個，則依據數對規律可推出第56個數對為(1,11)，往下的數對依次為(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，(6,6)，….答案：(5,7)4．設函數f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，視察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……依據以上事實，由歸納推理可得：當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：分母中x前的系數為2n－1，常數為2n.答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)5．已知a、b為正整數，設兩直線l1：y＝b－eq\f(b,a)x與l2：y＝eq\f(b,a)x的交點為P1(x1，y1)，且對于n≥2的自然數，兩點(0，b)，(xn－1,0)的連線與直線y＝eq\f(b,a)x交于點Pn(xn，yn)．(1)求點P1、P2的坐標；(2)猜想點Pn的坐標公式．解析：(1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝b－\f(b,a)x，,y＝\f(b,a)x，))得P1(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))．過(0，b)，(eq\f(a,2)，0)兩點的直線方程為eq\f(2x,a)＋eq\f(y,b)＝1，與y＝eq\f(b,a)x聯立，解得P2(eq\f(a,3)，eq\f(b,3))．(2)由(1)可猜想Pn(eq\f(a,n＋1)，eq\f(b,n＋1))．6．某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)(2)(3)(4)所示，為她們刺繡中最簡潔的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越美麗；現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并依據你得到的關系式求出f(n)的表達式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解析：(1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上述規律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)當n≥2時，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))，∴eq\f(1