第五章一元函數的導數及其應用單元檢測題（綜合提升篇）一、單選題1．函數的圖象在點處的切線方程為（）A． B．C． D．2．設為可導函數，且滿足，則為（）A．1 B．C．2 D．3．已知函數，則（）A． B．1 C． D．4．隨著科學技術的發展，放射性同位素技術已經廣泛應用于醫學、航天等眾多領域，并取得了顯著的經濟效益.假設在放射性同位素釷234的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間t（單位：天）滿足函數關系，其中為時釷234的含量.已知時，釷234含量的瞬時變化率為，則（）A．12 B． C．24 D．5．已知函數在處的導數為，則等于（）A． B． C． D．6．已知函數是偶函數，則函數的所有極值之和等于（）A． B． C．3 D．47．已知函數與其導函數的圖象的一部分如圖所示，則函數的單調性（）A．在單調遞減 B．在單調遞減C．在單調遞減 D．在上單調遞減8．已知函數，則滿足的實數x的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題9．如圖是y=的導函數的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的判斷是（）A．當x=﹣1時，取得極小值B．在[﹣2，1]上是增函數C．當x=1時，取得極大值D．在[﹣1，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數10．若函數的導函數的圖象關于軸對稱，則的解析式可能為（）A． B．C． D．11．[多選]若函數的圖象上存在兩點，使得函數圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱函數具有“T性質”.則下列函數中具有“T性質”的是（）A． B．C． D．12．（多選）已知函數，則（）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C．的極小值點為 D．三、填空題13．已知函數，則曲線在處的切線方程為___________.14．已知函數，則在區間上的最大值是________.15．已知函數在區間上存在極值，則實數的取值范圍是_________．16．已知函數，若對于任意的且，都有成立，則的取值范圍是________.四、解答題17．已知曲線.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求與直線平行的曲線的切線方程.18．已知函數．（1）若，求函數在區間上的最大值；（2）若函數有三個零點，求實數的取值范圍．19．已知函數，從①是函數的一個極值點，②函數的圖象在處的切線方程為這兩個條件中任選一個作為已知條件，并回答下列問題．（1）求a的值；（2）求的單調區間．20．已知函數，.（1）選擇下列兩個條件之一；①；②；判斷在區間是否存在極小值點，并說明理由；（其中）（注：若兩個條件都選擇作答，按第一個條件作答內容給分）（2）已知，設函數.若在區間上存在零點，求實數的取值范圍.21．已知是函數的一個極值點.（1）求的值；（2）證明：.22．已知函數.（1）若在上有零點，求實數的取值范圍；（2）若，記在上的最小值為，求的取值范圍.參考答案1．A【分析】先求出和切線的斜率為，再利用直線的點斜式方程得解.【詳解】因為，所以，所以，，所以切線的斜率為，所求切線方程為，即.故選：A2．B【分析】利用導數的定義進行求解.【詳解】因為，所以，即所以.故選：B.3．C【分析】由基本初等函數的導數公式，結合復合函數的導數運算法則求，進而求.【詳解】，，∴，當時，.故選：C4．C【分析】對求導得，根據已知有即可求，進而求.【詳解】由，得，∵當時，，解得，∴，∴當時，.故選：C.5．B【分析】根據導數的定義可得，將所求的式子整理為即可求解.【詳解】因為函數在處的導數為，所以，所以，故選：B.6．A【分析】先求出的值，再分別利用二次函數的性質和導數判斷函數是否有極值，從而可得正確的選項.【詳解】因為為偶函數，故，故，故，故，所以，在上，為減函數，在上，為增函數，故為的極小值點，且極小值為，無極大值.在上，，此時在均為增函數，故在上增函數，而，故在上，總有，故上，為增函數，故在上無極值.故在上，為的極小值點，且極小值為，無極大值.故選：A.7．B【分析】由導函數與原函數之間關系可確定兩個圖象的分屬，由此可得在不同區間內的正負，進而判斷單調性，得到結果.【詳解】時，單調遞減；時，單調遞增，已知圖象中在上單調遞減，在上單調遞增，且有兩個零點和的是，，由圖象可知：當時，；當時，；當時，；當時，；在上不單調，A錯誤；在上單調遞減，B正確；在，上單調遞增，CD錯誤.故選：B.8．D【分析】先研究出是偶函數，然后再結合的單調性，轉化為解不等式的解集即可，再構造新函數，利用新函數的單調性和特殊值求出x的取值范圍【詳解】故為偶函數且當時，恒成立，所以恒成立，當時，單調遞增，而，由可得：，即令所以單調遞減，而所以的解集為故選：D9．AD【分析】由導函數的圖象，確定導函數的正負，由此得到函數的單調性，由極值的定義判斷函數的極值，由此判斷四個選項即可.【詳解】解：導函數的圖象可知，當﹣2<x<﹣1時，<0，則單調遞減，當x=﹣1時，=0，當﹣1<x<2時，>0，則單調遞增，當x=2時，=0，當2<x<4時，<0，則單調遞減，當x=4時，=0，當x>4時，>0，則單調遞增，所以當x=﹣1時，取得極小值，故選項A正確；在[﹣2，1]上是有減有增函數，故選項B錯誤；當x=2時，取得極大值，故選項C錯誤；在[﹣1，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數，故選項D正確.故選：AD.10．BC【分析】求出各象限中函數的導函數，結合基本初等函數的奇偶性判斷可得出結論.【詳解】對于A，為奇函數，其圖象關于原點對稱，A不符合題意；對于B，為偶函數，其圖象關于軸對稱，B符合題意；對于C，為偶函數，其圖象關于軸對稱，C符合題意；對于D，為非奇非偶函數，其圖象不關于軸對稱，D不符合題意.故選：BC.11．AB【分析】由題意可知存在兩點使得函數在這兩點處的導數值的乘積為-1，然后結合選項求導逐項分析即可.【詳解】由題意，可知若函數具有“T性質”，則存在兩點，使得函數在這兩點處的導數值的乘積為-1.對于A，，滿足條件；對于B，，滿足條件；對于C，恒成立，負數乘以負數不可能得到-1，不滿足條件；對于D，恒成立，正數乘以正數不可能得到-1，不滿足條件.故選：AB.12．AD【分析】的定義域為，求判斷單調性，求得極值可判斷A，C；根據單調性以及可判斷B、D，進而可得正確選項.【詳解】由題意可得函數的定義域為，由可得，令，解得：當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞堿．所以當時，函數取得極大值為，無極小值，故選項A正確，選項C不正確；因為，且在上單調遞增，所以函數在上有一個零點．當時，，，所以，此時無零點．綜上所述：有一個零點，故B不正確；因為，在上單調遞增，所以，故選項D正確．故選：AD．13．【分析】利用導數幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.【詳解】，，又，在處的切線方程為，即.故答案為：.14．【分析】求出函數的導函數，根據導函數的符號求出函數的單調區間，即可求出函數的最大值.【詳解】解：，當時，，所以函數在上遞增，所以.故答案為：.15．【分析】利用導數求出函數的極值點，可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為，則.當時，，當時，.所以，函數存在唯一的極大值點.由題意可得，解得.故答案為：.16．【分析】將不等式變形為：恒成立，構造函數，轉化為當時，恒成立，為了求的范圍，所以需要構造函數，可通過求導數，根據單調性來求它的范圍．【詳解】對于任意的，，，且，都有成立，不等式等價為恒成立，令，則不等式等價為當時，恒成立，即函數在上為增函數；，則在，上恒成立；；即恒成立，令，；在，上為增函數；（1）；；．的取值范圍是．故答案：．17．（1）；（2）或.【分析】（1）先求出，從而得切點坐標，再利用導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由點斜式即可求出切線方程；（2）設與直線平行的切線的切點為，由導數的幾何意義知，切線的斜率，從而求出切點坐標即可求解.【詳解】解：（1）∵，∴，求導可得，∴切線的斜率為，∴所求切線方程為，即.（2）設與直線平行的切線的切點為，則切線的斜率為，又所求切線與直線平行，∴，解得，代入可得切點為或，∴所求切線方程為或，即或.18．（1）；（2）【分析】（1）首先求出函數的導函數，即可得到函數的單調區間，從而求出函數的極大值，再與區間端點處函數值比較，即可得到函數的最大值；（2）求出函數的導函數可得，即可得到函數的極值點，再對分類討論，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：（1）當時，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極大值為，當時，所以函數在區間上的最大值為；（2）由，所以，當時所以函數在定義域上單調遞增，則只有一個零點，故舍去；所以，令得或，函數有三個零點，等價于的圖象與軸有三個交點，函數的極值點為，，當時，令得或，所以函數在和上單調遞增，令得，所以函數在上單調遞減，所以函數在處取得極大值，在處取得極小值，解得；當時，令得或，所以函數在和上單調遞增，令得，所以函數在上單調遞減，所以函數在處取得極小值，所以的圖象與軸不可能有三個交點；綜上可得，即19．（1）條件性選擇見解析，；（2）單調遞減區間為和，單調遞增區間為．【分析】（1）選①，求出函數的導函數，根據是函數的一個極值點，得函數在處得到函數值為0，即可得出答案；選②，根據函數的圖象在處的切線方程為，即函數在處得導數值為3，即可的解；（2）由（1）得，求出函數得導函數，再根據導函數得符號即可得出答案.【詳解】解：（1）選①．由題意知，，依題意得，，即，經檢驗符合題意．選②．由題意知，，因為函數的圖象在處的切線方程為，所以，得．（2）由（1）得，，令得，或，列表：-13-0+0-所以的單調遞減區間為和，單調遞增區間為．20．（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選擇①，求出導函數，利用導數判斷函數的單調性即可求解.（2）令，可得，同除可得，令，轉化為有解，設，然后利用導數研究函數的零點即可.【詳解】解：（1）若選擇①，則，則，令，，由單調遞增，且，所以在上單調遞增，即，則在上單調遞增，不存在極小值點若選擇②，，則，令，.由單調遞增，且，在上單調遞減，上單調遞增，，而，所以存在，使得在上單調遞減，上單調遞增，所以存在極小值點（2）令，有，又，所以，令，即轉化為有解，設，則由可得，在單調遞減，在單調遞增，而，所以由唯一零點.若在區間存在零點，即為在有解.整理得：，設，由知，在單調遞減，在單調遞增，又時，.則，所以，得：.21．（1）（2）證明見解析【分析】(1)結合已知條件，利用即可求解；(2)對求導可得，再通過對求導以確定在的符號，從而可得到的單調性，然后利用的單調性即可求解.（1）由題意，，因為是函數的一個極值點，所以，解得.又因為，所以.（2）證明：由(1)可知的定義域為，則，令，則，當時，；當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，從而對于，，所以當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增.故對于，.22．（1）（2）【分析】（1）令，求出其導數后可判斷函數的單調性，從而可求其值域，故可求實數的取值范圍；（2）求出，令，求出，利用題設條件可得，從而可得在存在唯一的零點且可得的符號情況，從而可得的