上海嘉定區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A. B.C. D.2．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A， B.，C.， D.，3．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值是（）A. B.C. D.4．過(guò)兩點(diǎn)和的直線的斜率為（）A. B.C. D.5．120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長(zhǎng)為()A. B.C. D.6．為調(diào)查參加考試的高二級(jí)1200名學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽查了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法正確的是（）A.1200名學(xué)生是總體 B.每個(gè)學(xué)生是個(gè)體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學(xué)生是樣本7．直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為（）A.16 B.18C.20 D.228．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點(diǎn) D.2為函數(shù)的極大值點(diǎn)10．已知分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.11．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.12．在下列函數(shù)中，求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若為雙曲線上一點(diǎn)，且，則__________.14．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則______.15．在中，若面積，則______16．已知拋物線的焦點(diǎn)F恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，且兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為_(kāi)___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：18．（12分）已知直線l過(guò)點(diǎn)A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝8，求圓C方程19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，點(diǎn)在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為（1）求點(diǎn)的位置；（2）求點(diǎn)到平面的距離21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足，（1）記，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn，證明：22．（10分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運(yùn)算求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴.故選：C.2、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.3、C【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出的面積是關(guān)于的一個(gè)式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為..當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.4、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標(biāo)，直線的斜率為.故選：D5、B【解析】由，把展開(kāi)整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B6、C【解析】根據(jù)總體、個(gè)體、樣本容量、樣本的定義，結(jié)合題意，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，總體是名學(xué)生的成績(jī)；個(gè)體是每個(gè)學(xué)生的成績(jī)；樣本容量是，樣本是抽取的100名學(xué)生的成績(jī)；故正確的是C.故選：C.7、B【解析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因?yàn)橹本€分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)，則，因?yàn)?，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因?yàn)楸硎緝?nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.8、B【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.9、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對(duì)于A，在區(qū)間，，故A不正確；對(duì)于B，在區(qū)間，，故B不正確；對(duì)于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C不正確，D正確.故選：D10、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，故，且，故，故選：D11、B【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)并代入到方程中，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過(guò)點(diǎn)且，將點(diǎn)代入方程，故離心率為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知點(diǎn)在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目12、B【解析】分別求得每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷.詳解】；；；.故求導(dǎo)錯(cuò)誤的是B.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、17【解析】根據(jù)雙曲線的定義求解【詳解】由雙曲線方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案為：1714、4【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在軸上方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以有，因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以有，故答案為：415、##【解析】結(jié)合三角形面積公式與余弦定理得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：由三角形的面積公式得，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以故答案為?6、【解析】設(shè)兩條曲線交點(diǎn)為根據(jù)橢圓和拋物線對(duì)稱性知，不妨點(diǎn)A在第一象限，由A在拋物線上得，A在橢圓上得.則由條件得：.解得（舍去）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和，即可證明；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；18、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關(guān)系得過(guò)直線l的斜率，由點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點(diǎn)到直線距離公式求解），半弦長(zhǎng)，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問(wèn)2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝1719、（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，得到；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗(yàn)證時(shí)滿足條件，故.【小問(wèn)2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.20、（1）為棱中點(diǎn)（2）【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合求出的值，即可得出點(diǎn)的位置；（2）利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槠矫?，底面為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，由題意可得，整理可得，因?yàn)椋獾?，因此，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知為棱中點(diǎn)，即，則，又，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)椋?，點(diǎn)到平面的距離為.21、（1）證明見(jiàn)解析；bn=2n（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列即可求解；（2）由（1）求出，再用裂項(xiàng)相消法求和后就可以證明不等式.【小問(wèn)1詳解】由an+1=2an+1可得所以{bn}是以首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列所以.【小問(wèn)2詳解】易得于是所以因?yàn)椋?22、（1），；（2）過(guò)，.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根