大學物理電子教案（動力學2）西北工業大學應用物理系1.

動量2.

動量定理3.

物體系的動量定理§3.1動量定理第3章動量和動量守恒定律§3.2動量守恒定律1.

動量守恒定律2.

某一方向上的動量守恒定律3.

反沖現象—火箭§3.3質點的角動量守恒定律1.

角動量2.

角動量定理3.

角動量守恒定律牛頓定律給出了在力的作用下物體瞬時運動的規律.本章將從牛頓定律出發,研究力在時間上的累積效應,即力作用一段時間后物體運動狀態變化的規律.§3.1動量定理1.

動量動量是矢量,其方向與速度方向相同.定義:物體質量和速度的乘積,稱為物體的動量,它是物體運動狀態的量度.牛頓第二定律的微分形式:2.動量定理由有當時時考慮一段時間內作用力與物體動量變化的關系兩邊積分表示合外力在

t0

到

t

時間內的累積效果,稱為力在這段時間內的沖量,它是矢量.力的沖量:表示動量在

t0

到

t

時間內的變化或增量.動量增量:力的沖量動量增量討論:(1)動量定理反映力在時間上的累積與物體運動狀態變化之間的聯系.在任一段時間內,物體動量的增量等于物體所受合外力的沖量.動量定理:(3)

動量是矢量,其方向和速度方向一致,動量變化包含大小和方向兩個方面.(2)

物體動量的改變取決于合外力及力的作用時間兩個因素.力越大、作用時間越長,力對時間的累積效果越顯著,亦即物體動量的變化越大.(4)沖量亦是矢量,積分時應遵照矢量運算法則.(5)

采用動量定律處理問題時應采用分量形式運算.3.物體系的動量定理物體系:由兩個以上物體構成的體系.

m1m2

mM物體系的內力:體系中各物體之間的相互作用.內力必是成對出現的作用力和反作用力.

物體系的外力:體系外其它物體對體系內任一物體的作用.mgNfRf'N'Mg物體系的動量定理:體系在任一時間內,總動量的增量等于體系所受合外力的沖量.動量定律在直角坐標系中的分量形式§3.2動量守恒定律1.動量守恒定律根據物體系的動量定理可得物體系所受合外力為0,其總動量保持不變—物體系動量守恒.若則討論(1)動量是矢量.矢量和守恒,并不意味著其代數和一定守恒.(2)

合外力為0,物體系的總動量守恒,但體系內各個物體的動量可能變化.(4)

雖然動量守恒定律是由牛頓定律導出的,但牛頓定律通常不適用于微觀粒子,而動量守恒定律對微觀粒子仍然有效.因此,動量守恒定律比牛頓定律更具普遍性.(3)合外力為0的情況有兩種:一是物體系根本不受外力作用;二是雖受力但合外力為0.

一般情況下,外力嚴格抵消的情況很少遇到.如果物體系的內力遠大于外力,可近似視作合外力為0,如碰撞問題.2.

某一方向上的動量守恒定律若物體系所受合外力不為0,相應地,總動量不守恒,但有可能在某一特定方向上的分量守恒.設該方向為

x

方向,即則有物體系在

x

方向合外力為0,則該方向上動量守恒.3.反沖現象—炮彈與火箭飛行例1.反沖現象:炮車以仰角

發射一炮彈,炮車和炮彈的質量分別為M

和

m,炮彈出射時的速度為v

,求炮車的反沖速度V

.mM

x反沖

x

方向動量守恒:若忽略空氣阻力,則在水平方向上合外力為0,動量守恒.由于開始時刻炮彈和炮車靜止,故水平方向的動量始終為0.分析:物體系總動量不守恒:把炮車

M

和炮彈

m

視為一物體系.發射前重力W和支撐力N

相等,發射過程中N

突然增大,且

.此過程中,炮車還受到摩擦力

f作用,故合外力不為0,物體系的總動量不守恒.反沖現象:上式中的負號表示炮車有一向后的速度V,它與炮彈速度的水平分量方向相反.這種現象稱為反沖,V

稱為反沖速度.解.x

方向動量守恒,故有于是例2.噴氣火箭正是基于反沖現象設計的.

試分析火箭的飛行速度.解.

取y軸正方向為火箭飛行方向.時刻

t

:

火箭質量為M

火箭速度為vdt

時間后:

噴出氣體質量為dM

噴出氣體相對火箭速度為u

火箭速度增量為dv忽略重力的影響,

火箭系統在飛行加速過程中,

即噴氣前后的動量守恒.vMdMuyt時刻火箭的動量為:Mvdt時間后火箭的動量為:噴氣前后動量守恒忽略二階小量dMdv有可得dt時間噴出氣體的動量為:dM為噴出氣體質量或火箭質量增量的負值.設:火箭起飛質量為M0

火箭起飛速度為0

火箭終極質量為M

則由得火箭的終極速度為Z=M0/M稱為齊奧爾科夫斯基數或火箭的質量比,

它是起飛質量和終極質量之比.討論(2)

齊奧爾科夫斯基數Z越大,火箭的終極速度v亦越大.即:終極質量越小,或燃料(M0-M)越多,火箭的終極速度v

越大.

(1)

噴氣相對速度

越大,火箭的終極速度v

越大.

(3)增加火箭終極速度的有效方法是采用多級火箭.…………終極速度若則

若取n

=3,u

=2

000

m/s,Z=2,則v

=10

600

m/s,考慮到空氣阻力,終極速度可達到8

000m/s.多級助推運載火箭3級助推運載火箭飛行過程中國長征1號運載火箭中國長征2號C運載火箭中國長征2號捆綁式運載火箭中國長征3號運載火箭美國航天飛機升空助推火箭點火美國航天飛機助推火箭脫離，主發動機點火航天飛機燃料槽脫離，離開大氣層進入太空§3.3角動量守恒定律

為了描述質點在轉動時的運動規律,引入質點角動量的概念,并從牛頓定律導出質點的角動量定理和角動量守恒定律.1.角動量定義:一質點對于慣性系中某一固定點O的角動量為角動量是矢量,其方向垂直于矢徑和動量所決定的平面,并由右手螺旋法則確定.討論(1)角動量的量綱為

ML2T-1

,單位為(kgm2/s).(2)

只要矢徑與動量始終在同一平面內,且其夾角保持同一符號,則角動量的方向不變.(3)

質點在做圓周運動時,角動量方向始終不變;在做勻速圓周運動時角動量為一常矢量,即大小和方向均不變.(4)角動量是相對于空間某一固定點O定義的,所以它的大小和方向會隨固定點O的選取不同而不同.2.角動量定理求角動量對時間的變化率:若定義稱為力對o點的力矩.則有角動量定理:對某一固定點o,質點的合外力矩等于角動量對時間的變化率.角動量守恒定律:對某一固定點,若質點的合外力矩等于0,則質點對該點的角動量守恒.3.

角動量守恒定律若則有討論(1)力矩的量綱為

ML2T-2

，單位為(N·m).(2)既然力矩是相對空間某一固定點o定義的,其大小和方向同樣隨固定點o的選取不同而不同.(3)對某一質點,所有外力的作用點相同.因此,各分力矩中的矢徑相同,故力矩滿足矢量的加法結合律,即合力的力矩等于各分力矩的和.若合力為0,則合力矩亦為0.(4)對于質點系,上述定律同樣成立.但必須注意,此時合力的力矩不等于力矩的和,即合外力為0時,合外力矩不一定為0.例1.

質量為m的質點,系在細繩的一端,繩的另一端通過水平光滑桌面中央的小孔.

起初手拉住繩子下端不動,質點在桌面繞

o點作勻速圓周運動.

試問:當用力向下拉繩時,質點繞o點轉動的角速度大小隨半徑如何變化？orm解.

向下拉繩時,

質點始終受到一指向o

點的有心力.

對

o

點而言,

質點在有心力作用下所受力矩為零,

因而角動量守恒.顯然,L/m為常數時,

與r

的平方成反比.角動量大小為角速度大小為時,有例2.

兩個相同質量的小孩,各抓著繞過定滑輪繩子的一端,其中一人用力向上爬,另一人抓住繩子不動.若滑輪質量和繩子的摩擦力忽略不計,問哪個小孩先達到滑輪位置？若小孩質量不同情況又將如何？m2m1m1gm2gR1R2orv2v1解.

將小孩視為