專題9.21菱形（分層練習(xí)）（基礎(chǔ)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在菱形中，，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023下·海南海口·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，則菱形的面積為（

）

A．20 B．24 C．30 D．483．（2019下·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，連接OE，若，則（）

A．20° B．30° C．40° D．50°4．（2023上·山東·九年級(jí)期末）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．鄰邊相等 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直5．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．6．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是矩形7．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）春節(jié)期間，某廣場(chǎng)布置了一個(gè)菱形花壇，兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為和，其面積用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．8．（2023上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的相同長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)；連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．無(wú)法確定9．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形是菱形；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．110．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）菱形具有的一切性質(zhì)．12．（2021·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．13．（2016·寧夏銀川·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是菱形，，于點(diǎn)，則．14．（2022·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖所示，某種“視覺(jué)減速帶”是由三個(gè)形狀完全相同，顏色不同的菱形拼成，可以讓平面圖形產(chǎn)生立體圖形般的視覺(jué)效果．則的度數(shù)為．15．（2022下·江蘇泰州·八年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD是個(gè)活動(dòng)框架，對(duì)角線AC、BD是兩根皮筋．如果扭動(dòng)這個(gè)框架（BC位置不變），當(dāng)扭動(dòng)到∠A'BC=90°時(shí)四邊形A'BCD'是個(gè)矩形，A'C和BD'相交于點(diǎn)O．如果四邊形OD'DC為菱形，則∠A'CB=°16．（2021下·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州草橋中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)F是等邊的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為邊，作菱形，使菱形與等邊在的同側(cè)，且，連結(jié)，若的面積為．17．（2021下·上海奉賢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們定義：聯(lián)結(jié)平行四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做“對(duì)邊中位線”，聯(lián)結(jié)平行四邊形一組鄰邊中點(diǎn)的線段叫做“鄰邊中位線”．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，對(duì)角線BD＝8，那么“對(duì)邊中位線”EF與“鄰邊中位線”EG、FG所圍成的△EFG的面積是．18．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，已知第1個(gè)菱形中，，，以對(duì)角線為邊作第2個(gè)菱形，使點(diǎn)在菱形的內(nèi)部，且，再以對(duì)角線為邊作第3個(gè)菱形，使點(diǎn)在菱形的內(nèi)部，且，順次這樣作下去……，則第2023個(gè)菱形的面積為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，，連接，．請(qǐng)從以下三個(gè)條件：①；②；③中，選擇一個(gè)合適的作為已知條件，使為菱形．（1）你添加的條件是______（填序號(hào)）；（2）添加了條件后，請(qǐng)證明為菱形．20．（8分）（2022下·重慶·九年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，（1）用尺規(guī)完成基本作圖：作∠BAM的角平分線AC交BN于點(diǎn)C，在射線AM上截取AD=AB，連接CD．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法、不下結(jié)論）（2）求證：四邊形ABCD為菱形．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程）證明：∵∴AM∥∴∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠BAC∴∠BAC=∵AB=BC∴AD=AB∴=AD∵BC∥AD∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AB=BC∴平行四邊形ABCD是菱形（）（填推理依據(jù)）21．（10分）（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知．（1）化簡(jiǎn)；（2）若，是菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，且該菱形的面積為，求的值．22．（10分）（2021上·陜西榆林·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，E、F分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接．

（1）試探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求四邊形的面積．23．（10分）（2021上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)東北育才雙語(yǔ)學(xué)校校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，若A（2，0），B（﹣1，3），C（m，n）．（1）當(dāng)m＝﹣2，n＝1時(shí)，①請(qǐng)?jiān)冢▓D一）中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱；②求△ABC的面積＝．③若四邊形ABCD為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則滿足條件的C點(diǎn)有個(gè)．24．（12分）（2021上·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如果我們身旁沒(méi)有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，該怎么辦呢？小西進(jìn)行了以下操作研究（如圖1）：第1步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．第2步：再次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到了線段BN．小雅在小西研究的基礎(chǔ)上，再次動(dòng)手操作（如圖2）：將MN延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，將△BMG沿MG折疊，點(diǎn)B剛好落在AD邊上點(diǎn)H處，連接GH，把紙片再次展平．請(qǐng)根據(jù)小西和小雅的探究，完成下列問(wèn)題：①直接寫(xiě)出BE和BN的數(shù)量關(guān)系：；②根據(jù)定理：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角是30°，請(qǐng)求出∠ABM的度數(shù)；③求證：四邊形BGHM是菱形．參考答案：1．B【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，熟記菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角是解本題的關(guān)鍵．解：如圖，∵四邊形是菱形，，∴；故選：B．2．B【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可得答案．解：在菱形中，，，菱形的面積為，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可得OE=OB=OD，根據(jù)菱形性質(zhì)可得∠DBE=∠ABC=70°，從而得到∠OEB度數(shù)，再依據(jù)∠OED=90°∠OEB即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴O為BD中點(diǎn)，∠DBE=∠ABC=70°，∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD，∴∠OEB=∠OBE=70°，∴∠OED=90°70°=20°，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解決這類問(wèn)題的方法是四邊形轉(zhuǎn)化為三角形．4．B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，由“矩形具有的性質(zhì)：對(duì)角線相等，對(duì)角線互相平分；菱形具有的性質(zhì)：鄰邊相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直”即可求得答案．解：矩形具有的性質(zhì)：對(duì)角線相等，對(duì)角線互相平分；菱形具有的性質(zhì)：鄰邊相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直；矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對(duì)角線相等．故選：B．5．C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得，由菱形的性質(zhì)得出，，，則，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，再由菱形的面積求出，即可得出答案．解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵菱形的面積，∴，∴，故選：C．6．C【分析】本題考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定；運(yùn)用矩形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定可求解．解：A、有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形不一定是平行四邊形（如梯形），故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該選項(xiàng)正確；D、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．7．A【分析】利用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半進(jìn)行計(jì)算，或者利用菱形對(duì)角線垂直的性質(zhì)進(jìn)行面積求解，最后化為科學(xué)記數(shù)法的形式即可．解：菱形的對(duì)角線相互垂直菱形的面積=對(duì)角線成績(jī)的一半=【點(diǎn)撥】本題考查用對(duì)角線計(jì)算菱形的面積及科學(xué)記數(shù)法，也可以利用對(duì)角線垂直的性質(zhì)進(jìn)行面積的計(jì)算，注意所有對(duì)角線垂直的四邊形面積均等于對(duì)角線乘積的一半．正確的使用公式和理解科學(xué)記數(shù)法的寫(xiě)法是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】本題考查了作圖—基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．利用基本作圖得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，則，可得，從而得到，于是可判斷四邊形為菱形，于是得到四邊形的周長(zhǎng)．解：由作法得：平分，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形，∴四邊形的周長(zhǎng)．故選：A．9．A【分析】通過(guò)判定為等邊三角形求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又，，，是等邊三角形，，，，即，故①正確；在平行四邊形中，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平行四邊形是菱形，故③正確；，在中，，，故②正確；在平行四邊形中，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故④正確；綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．10．A【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BE，則線段BE的長(zhǎng)即是PD+PE的最小值．解：如圖：連接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長(zhǎng)度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，點(diǎn)，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長(zhǎng)．11．平行四邊形【解析】略12．12【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形中位線定理即可得．解：四邊形是菱形，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是的中位線，，故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，先求出的長(zhǎng)度，在中根據(jù)面積相等方法即可求解．解：∵四邊形是菱形，，∴，，∴在中，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的對(duì)角線相互垂直且相互平分，直角三角形的勾股定理，等面積法求邊長(zhǎng)或高是解題的關(guān)鍵．14．【分析】如圖是由三個(gè)形狀完全相同的菱形拼成的一個(gè)平面圖形，根據(jù)平面圖形的鑲嵌的定義可知，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三個(gè)角之和為，根據(jù)題意又可知這三個(gè)角相等，所以，然后再利用菱形對(duì)角相等的性質(zhì)即可得到答案．解：∵如圖是由三個(gè)菱形拼成的一個(gè)平面圖形；∴以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三個(gè)角之和為，又∵這三個(gè)菱形的形狀完全相同；∴以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三個(gè)角相等，∴∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了平面圖形的鑲嵌和菱形的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是理解平面圖形的鑲嵌的定義．15．30【分析】先證明是等邊三角形，得到，再由四邊形是矩形，得到，則．解：∵四邊形OD'DC為菱形，∴，∵在扭動(dòng)過(guò)程中，CD的長(zhǎng)度是不會(huì)發(fā)生變化的，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，故答案為：30．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．【分析】作EH⊥BF延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，根據(jù)菱形以及等邊三角形的性質(zhì)推出∠EFH=60°，結(jié)合邊長(zhǎng)即可求出EH的長(zhǎng)度，從而根據(jù)BF和EG求出△BEF的面積即可．解：如圖所示，作EH⊥BF延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，則∠EHF=90°，∵△ABC為等邊三角形，四邊形CDEF為菱形，CD∥AB，∴∠ABC=60°，CD∥EF，∴∠ABC=∠DCF=∠EFH=60°，∠FEH=30°，∵EF=8，∴CF=EF=8，F(xiàn)H=4，EH=4，∴BF=BC+CF=18，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形以及菱形的性質(zhì)，理解圖形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．【分析】由題意可證是等邊三角形，可求菱形的面積，可證四邊形是平行四邊形，可得的面積，，即可求解．解：四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，菱形的面積，是對(duì)邊中位線，，，，且，四邊形是平行四邊形，的面積，，是鄰邊中位線，，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，理解“對(duì)邊中位線”與“鄰邊中位線”定義是解題的關(guān)鍵．18．【分析】先分別求出菱形的對(duì)角線長(zhǎng)，再依次求出面積，然后得出規(guī)律，進(jìn)而得出答案．解：如圖，連接，根據(jù)題意可知，，，且，∴是等邊三角形，∴.在中，，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴.可知，得；

同理：，，則；，，則；···．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，數(shù)字變化規(guī)律問(wèn)題等，根據(jù)變化特點(diǎn)得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．19．（1）①；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）添加合適的條件即可；（2）證，得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．（1）解：添加的條件是．故答案為：①．（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，∴為菱形．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20．（1）見(jiàn)分析；（2）BN；∠BCA；BC；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法，和作一條線段等于已知線段的作法，即可求解；（2）根據(jù)，可得AM∥BN，從而得到，再由AC平分∠BAD，可得∠BAC=∠BCA，從而得到AB=BC，進(jìn)而得到BC=AD，可得到四邊形ABCD是平行四邊形，即可求證．（1）解：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，角平分線AC，點(diǎn)D，線段CD即為所求；（2）證明：∵∴BN，∴，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，∵AD=AB，∴BC=AD，∵BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則和完全平方公式將原式展開(kāi)，去括號(hào)后再合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)菱形的面積公式可求出的值，然后整體代入由（1）所得的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：；（2）∵，是菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，且該菱形的面積為，∴，∴，∴．∴的值為．【點(diǎn)撥】本題是求代數(shù)式的值的應(yīng)用，考查了整式的混合運(yùn)算，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，完全平方公式，合并同類項(xiàng)，菱形的面積等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了整體代入的思想．掌握整式的混合運(yùn)算和菱形的面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．22．（1），證明見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）由四邊形是菱形，得，可證、均為等邊三角形，進(jìn)一步求證（），得．（2）連接交于點(diǎn)O，由菱形知，，中，勾股定理得，由得，運(yùn)用移補(bǔ)思想，．（1）解：，證明如下：∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴，∴、均為等邊三角形，∴，在和中，，，，∴（），∴．（2）連接交于點(diǎn)O，如圖．

∵四邊形是菱形，∴，且，在中，，∴，由（1）知，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；求解面積時(shí)移補(bǔ)的思想是解題的關(guān)鍵．23．（1）①見(jiàn)分析，②4.5，③（3，2）或（1，2）或（5，4）；（2）4【分析】（1）①分別畫(huà)出B、C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，再順次連接即可；②用長(zhǎng)方形的面積減去三個(gè)三角形面積即可；