第3講導數的簡單應用考點一考點二考點三考點一導數的幾何意義——明切點，建方程

cosx－sinxaxlna

y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)

答案：D

(2)[2022·新高考Ⅱ卷]曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為_______，________．

歸納總結求曲線y＝f(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點P(x0，y0)，求y＝f(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程．(2)已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程．(3)已知切線上一點(非切點)，求y＝f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數求得切線斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程．對點訓練1.[2023·山西臨汾一模]已知函數f(x)＝2e2lnx＋x2，則曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為(

)A．4ex－y＋e2＝0B．4ex－y－e2＝0C．4ex＋y＋e2＝0D．4ex＋y－e2＝0答案：B

答案：D

考點二利用導數研究函數的單調性考點二利用導數研究函數的單調性——單調性的“克星”(導數)導數與函數單調性的關系(1)f′(x)>0是f(x)為增函數的__________條件，如函數f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調遞增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)為增函數的__________條件，當函數在某個區間內恒有f′(x)＝0時，f(x)為常數函數，不具有單調性．充分不必要必要不充分例2(1)[2023·新課標Ⅱ卷]已知函數f(x)＝aex－lnx在區間(1，2)單調遞增，則a的最小值為(

)A．e2

B．eC．e－1

D．e－2答案：C

答案：B

歸納總結由函數的單調性求參數的取值范圍(1)可導函數f(x)在區間D上單調遞增(或遞減)求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)對x∈D恒成立問題，再參變分離，轉化為求最值問題，要注意“＝”是否取到．(2)可導函數在某一區間上存在單調區間，實際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區間上存在解集，這樣就把函數的單調性問題轉化成不等式問題．(3)若已知f(x)在區間I上的單調性，區間I中含有參數時，可先求出f(x)的單調區間，令I是其單調區間的子集，從而可求出參數的取值范圍．(4)若已知f(x)在區間D上不單調，則f(x)在D上有極值點，且極值點不是D的端點．

答案：D

2．[2023·全國乙卷]設a∈(0，1)，若函數f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是___________．

考點三利用導數研究函數極值、最值考點三利用導數研究函數極值、最值——導數拿下“峰”與“谷”

導數與函數的極值、最值的關系(1)y＝f(x)滿足f′(x0)＝0.若在x0附近左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，則f(x0)為函數f(x)的________值；若在x0附近左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，則f(x0)為函數f(x)的________值．(2)設函數y＝f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，則f(x)在[a，b]上必有_______值和______值且在極值點或端點處取得．極大極小最大最小

答案：D

歸納總結利用導數研究函數極值問題的注意點(1)已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解；(2)導數值為0不是此點為極值點的充要條件，所以求解后必須檢驗．對點訓練1.[2023·江西省九江市高三三模]已知函數f(x)＝ex－ax2(a∈R)有兩個極值點x1，x2，且x1＝2x2，則a＝______．2．[2023·