勾股定理的應用題型1：勾股定理的應用求樹/旗桿的高度1如圖，一棵直立的大樹在一次強臺風中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【分析】根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長度，再加上離地面的距離就是折斷前樹的高度．【解答】解：如圖，根據題意BC＝2米，∠BCA＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故選：D【變式11】如圖，在離地面高度6m處引拉線固定電線桿，拉線和地面成60°角，則拉線AC的長是（）A．12m B．2m C．4m D．6m【分析】根據三角形的內角和定理得到∠DCA＝30°，根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵CD＝6m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∴∠DCA＝30°，∴AC＝2AD，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝（AC）2+62，解得AC＝4，故拉線AC的長是4m，故選：C【變式12】如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門鈴5m及5m以內時，門鈴就會自動發出語音“歡迎光臨”．如②圖所示，一個身高1.5m的學生走到D處，門鈴恰好自動響起，則BD的長為（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【分析】根據題意構造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．【解答】解：由題意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，由勾股定理得BD＝CE＝＝4（m），故離門4米遠的地方，燈剛好打開．故選：B【變式13】如圖，有兩棵樹，一棵高19米，另一棵高10米，兩樹相距12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行（）A．10米 B．15米 C．16米 D．20米【分析】根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【解答】解：如圖，建立數學模型，兩棵樹的高度差AC＝19﹣10＝9米，間距AB＝DE＝12米，根據勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離BC＝＝15米．故選：B題型2：勾股定理的實際應用梯子問題2如圖，一架2.5m長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯子的底部距墻底端0.7m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子的底部將平滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m【分析】先根據梯子的頂端下滑了0.4米求出A′C的長，再根據勾股定理求出B′C的長，進而可得出結論．【解答】解：∵梯子的頂端下滑了0.4米，∴A′C＝2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，∴B′C＝＝＝1.5m，∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．故選：D【變式21】如圖，學校要把宣傳標語掛到教學樓的頂部C處，已知樓頂C處離地面的距離CA為8m，為保證安全，梯子的底部和墻基的距離AB至少為4m，要使云梯的頂部能到達C處，估計云梯的長度至少為（）A．8m B．9m C．10m D．12m【分析】利用勾股定理求出BC的長度，估算后即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，∴BC＝＝＝（m），∵8＜＜9，∴云梯的長度至少9m，故選：B【變式22】如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，求水的深度是（）尺．A．8 B．10 C．13 D．12【分析】找到題中的直角三角形，設水深為x尺，根據勾股定理列方程可解答．【解答】解：設水深x尺，則蘆葦長（x+1）尺，由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺，故選：D【變式23】如圖，淇淇在離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m．（1）開始時，船距岸A的距離是12m；（2）若淇淇收繩5m后，船到達D處，則船向岸A移動（12﹣）m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長；（2）根據題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD＝AB﹣AD可得BD長．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），故答案為：12；（2）∵淇淇收繩5m后，船到達D處，∴CD＝5（m），∴AD＝（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．故答案為：（12﹣）題型3：勾股定理的實際應用九章算術3在《九章算術》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】畫出圖形，設折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．【變式31】《九章算術》是我國古代的數學名著，書中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷后離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，利用勾股定理解題即可．【解答】解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故選：D【變式32】《九章算術》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為尺．【分析】設折斷處離地面的高度為x尺，則折斷的長度為（10﹣x）尺，根據勾股定理列方程解方程即可．【解答】解：設折斷處離地面的高度為x尺，則折斷的長度為（10﹣x）尺，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，解得x＝4.55，∴折斷處離地面的高度為4.55尺，故答案為：4.55題型4：勾股定理的實際應用影響范圍4如圖，一艘船以40km/h的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺風警報，某臺風中心正以20km/h的速度由南向北移動，距臺風中心200km的圓形區域（包括邊界）都屬臺風影響區，當這艘輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離BC＝500km，此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離BA＝300km，如果這艘輪船會受到臺風影響，那么從接到警報開始，經過（）小時它就會進入臺風影響區．A．10 B．7 C．6 D．12【分析】首先假設輪船能進入臺風影響區，進而利用勾股定理得出等式求出即可．【解答】解：如圖所示：設x小時后，就進入臺風影響區，根據題意得出：CE＝40x千米，BB′＝20x千米，∵BC＝500km，AB＝300km，∴AC＝400（km），∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x，∴AE2+AB′2＝EB′2，即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002，解得：x1＝15，x2＝7，∴輪船經7小時就進入臺風影響區．故選：B【變式41】今年第6號臺風“煙花”登錄我國沿海地區，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以臺風中心為圓心，周圍500km以內為受影響區域．（1）求∠ACB的度數；（2）海港C受臺風影響嗎？為什么？（3）若臺風中心的移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而得出∠ACB的度數；（2）利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間．【解答】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受臺風影響，理由：過點C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴600×800＝1000×CD，∴CD＝480（km），∵以臺風中心為圓心周圍500km以內為受影響區域，∴海港C受臺風影響；（3）當EC＝500km，FC＝500km時，正好影響C港口，∵ED＝＝140（km），∴EF＝280km，∵臺風的速度為28千米/小時，∴280÷28＝10（小時）．答：臺風影響該海港持續的時間為10小時．【變式42】如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP＝160米，∠NPQ＝30°，拖拉機的速度是5米/秒，拖拉機行駛時周圍100米以內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時學校是否會受到影響，請說明理由；若受到影響，那么學校受到的影響的時間為多少秒？【分析】作AH⊥MN于H，如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到AH＝AP＝80，則點A到MN的距離小于100，從而可判斷學校會受到影響；以A為圓心，100為半徑畫弧交MN于B、C，如圖，則AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性質得BH＝CH，利用勾股定理計算出BH＝60，得到BC＝2BH＝120，然后利用速度公式計算出學校受到的影響的時間．【解答】解：過A作AH⊥MN于H，如圖，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH＝AP＝×160＝80，∵80＜100，∴拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時學校會受到影響；以A為圓心，100為半徑畫弧交MN于B、C，如圖，則AB＝AC＝100，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH＝＝＝60，∴BC＝2BH＝120，∴＝24（秒），答：學校受到的影響的時間為24秒．題型5：勾股定理的實際應用速度問題5如圖所示，甲漁船以8海里/時的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時出發，一個半小時后，甲、乙兩漁船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【分析】根據題意得出∠AOB＝90°，根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：由題意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，∴AB＝＝15（海里），答：甲、乙兩漁船相距15海里，故選：D．【變式51】在海面上有兩個疑似漂浮目標．接到消息后，A艦艇以12海里/時的速度離開港口O，向北偏西50°方向航行．同時，B艦艇在同地以16海里/時的速度向北偏東方向行駛，如圖所示，離開港口1.5小時后兩船相距30海里，則B艦艇的航行方向是（）A．北偏東60° B．北偏東50° C．北偏東40° D．北偏東30°【分析】根據勾股定理的逆定理判斷△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度數即可．【解答】解：由題意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），又∵AB＝30海里，∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2∴∠AOB＝90°，∵∠DOA＝50°，∴∠BOD＝40°，則另一艘艦艇的航行方向是北偏西40°，故選：C．【變式52】一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，這時它離出發點的直線距離有（）千米．A．26 B．18 C．13 D．32【分析】根據題意可知兩次航向的方向構成了直角．然后根據題意知兩次航行的路程即是兩條直角邊，根據勾股定理就能計算AC的長．【解答】解：如圖，根據題意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，根據勾股定理得AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝242+102，∴AC＝26km．故選：A【變式53】如圖，某人劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B25m，結果他在水中實際劃了65m，求該河流的寬度．【分析】從實際問題中找出直角三角形，利用勾股定理進行計算即可得到該河流的寬度．【解答】解：根據圖中數據，由勾股定理可得：AB＝＝＝60（米）．∴該河流的寬度為60米題型6：勾股定理的實際應用立體圖形的最短路徑問題6如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為、、．和是這個臺階上兩個相對的端點，點處有一只螞蟻，想到點處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答．【答案】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程是此長方形的對角線長．可設螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程為，由勾股定理得：，解得．故選：【變式61】如圖，一圓柱高為，底面周長是，一只螞蟻從點爬到點處吃食，且，則最短路線長為A． B． C． D．【分析】根據題意畫出圖形，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長，根據勾股定理求出即可．【答案】解：如圖展開，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長，則，，，，，由勾股定理得：，即螞蟻爬行的最短路線長是，故選：【變式62】如圖，長方體的底面邊長為和，高為．如果用一根細線從點開始經過4個側面纏繞一圈到達，那么所用細線最短需要A． B． C． D．【分析】要求所用細線的最短距離，需將長方體的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果．【答案】解：將長方體展開，連接、，則，，根據兩點之間線段最短，．故選：．【變式63】如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【分析】由于小蟲從外壁進入內壁，要先到杯子上沿，再進入杯子，故先求出到杯子沿的最短距離即可解答．【答案】解：如圖所示：最短路徑為：，將圓柱展開，，最短路程為．故選：題型7：折疊問題7如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，BG=10，當折痕的另一端F在AB邊上時，求△EFG的面積．【答案】25.【解析】解：如圖，過G作GH⊥AD于H，∵在Rt△GHE中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，∴EH=102-∴AE=10﹣6=4．設AF=x，則EF=BF=8﹣x，∵在Rt△GHE中，∠A=90°，∴AF2+AE2=EF2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴AF=3，BF=EF=5