廣西貴港市覃塘高級中學2025屆高二上數學期末學業質量監測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．經過點，且被圓所截得的弦最短時的直線的方程為（）A. B.C. D.2．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.3．過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.4．已知曲線與直線總有公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或76．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－98．焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.9．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.10．若離散型隨機變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.1011．由小到大排列的一組數據：，其中每個數據都小于，另一組數據2、的中位數可以表示為（）A. B.C. D.12．拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.14．教育部門對某校學生的閱讀素養進行調研，在該校隨機抽取了100名學生進行百分制檢測，現將所得的成績按照，分成6組，并根據所得數據作出了頻率分布直方圖(如圖所示)，則成績在這組的學生人數是________.15．圓上的點到直線的距離的最大值為__________.16．命題的否定是____________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，（1）證明是等比數列，（2）求數列的前項和18．（12分）如圖，四邊形為矩形，，，為的中點，與交于點，平面.（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，底面是矩形的直棱柱中，；（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小；20．（12分）已知平面內兩點，，動點P滿足（1）求動點P的軌跡方程；（2）過定點的直線l交動點P的軌跡于不同的兩點M，N，點M關于y軸對稱點為，求證直線過定點，并求出定點坐標21．（12分）已知橢圓，點在上，，且（1）求出直線所過定點的坐標；（不需要證明）（2）過A點作的垂線，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22．（10分）已知函數f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝處有極大值.（1）求a、b的值；（2）求f（x）在[0，2]上的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】當是弦中點，她能時，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據題意，圓心為，當與直線垂直時，點被圓所截得的弦最短，此時，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關鍵2、A【解析】直線AC、BD與坐標軸重合時求出四邊形面積，與坐標軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當直線AC斜率存在且不0時，設其方程為，由消去y得：，設，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當且僅當，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A3、D【解析】利用斜率公式可得出關于實數的等式與不等式，由此可解得實數的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.4、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因為，所以曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點，如圖所示設曲線與軸的兩個交點分別為，直線過定點，為曲線上一動點，根據圖可知，若曲線與直線總有公共點，則，得，設直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D5、D【解析】根據直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D6、C【解析】根據雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因為，又，所以，，又，即，，所以離心率故選：C7、A【解析】根據平行直線的性質，結合平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為直線：與：平行，所以有，因為兩條平行直線：與：間距離為3，所以，或，當時，；當時，，故選：A8、A【解析】直接由焦點位置及焦點到準線的距離寫出標準方程即可.【詳解】由焦點在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點到準線的距離為，故拋物線的標準方程是.故選：A.9、D【解析】由題設可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.10、D【解析】根據分布列即可求出【詳解】因為，所以故選：D11、C【解析】先根據題意對數據進行排列，然后由中位數的定義求解即可【詳解】因為由小到大排列的一組數據：，其中每個數據都小于，所以另一組數據2、從小到大的排列為，所以這一組數的中位數為，故選：C12、A【解析】將拋物線的方程化成標準形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標準形式，準線方程為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出導函數得到函數在時的導數，由導數值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：14、20【解析】根據頻率分布直方圖求出成績在這組的頻率，從而可得出答案.【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，成績在這組的頻率為，所以成績在這組的學生人數為（人）.故答案為：20.15、【解析】先求得圓心到直線的距離，結合圓上的點到直線的距離的最大值為，即可求解.【詳解】由題意，圓的圓心坐標為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的距離的最大值為.故答案為：16、##【解析】根據全稱量詞命題的否定的知識寫出正確答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，要注意否定結論，所以命題否定是：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個與n無關的非零常數，從而得出結論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項為，公比為的等比數列,，所以，（2）由（1）知的通項公式為；則所以【點睛】本題主要考查等比數列的證明以及分組求和法，屬于基礎題18、（1）（2）【解析】（1）以為原點，、所在的直線為、軸，以過點垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（2）計算出平面的法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】解：如圖，以為原點，、所在的直線為、軸，以過點垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標系，，，則，則，故，因為平面，平面，則，若，則，故、、、，則，，.因此，若，則與所成角的余弦值為.【小問2詳解】解：若，則、，，，，設平面的法向量為，則，取，可得，，所以直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過證明和可得答案；（2）連接，則為直線與平面所成角的平面角，在直角三角形中計算即可.【小問1詳解】棱柱為直棱柱，面，又面，又直棱柱的底面是矩形，，又，平面，平面，平面；【小問2詳解】連接，面，則為直線與平面所成角的平面角在直角三角形中，則，，所以直線與平面所成角的大小為.20、（1）（2）證明見解析，定點坐標為【解析】（1）直接由斜率關系計算得到；（2）設出直線，聯立橢圓方程，韋達定理求出，再結合三點共線，求出參數，得到過定點.小問1詳解】設動點，由已知有，整理得，所以動點的軌跡方程為；【小問2詳解】由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因為直線過定點，所以三點共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過定點.【點睛】本題關鍵在于設出帶有兩個參數的直線的方程，聯立橢圓方程后，利用題干中的條件，解出一個參數或得到兩個參數之間的關系，即可求出定點.21、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當斜率存在時，設出直線方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理列出方程，求出定點坐標，當斜率不存在時，設出點的坐標進行求解；（2）結合第一問的定點坐標，結合直角三角形斜邊中線得到存在點，使得為定值，求出結果.【小問1詳解】設點，若直線斜率存在時，設直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因為，所以，即，根據，代入整理可得：，所以，整理化簡得:，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點【小問2詳解】由（1）可知因為，取中點，則此時，【點睛】直線過定點問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時，