PAGEPAGE102004年普通高等學校招生全國統一考試數學（理工類湖南卷）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求的.1．復數的值是 （） A． B．－ C．4 D．－42．如果雙曲線上一點P到右焦點的距離等于，那么點P到右準線的距離是 （） A． B．13 C．5 D．3．設是函數的反函數，若，則的值為 （）A．1 B．2 C．3 D．4．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當A、BC、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD與平面ABC所成的角的大小為 （） A．90° B．60° C．45° D．30°5．某公司甲、乙、丙、丁四個地區分別有150個、120個、180個、150個銷售點。公司為了調查產品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調查為①；在丙地區中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調查其收入和售后服務等情況，記這項調查為②。則完成①、②這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是 （） A．分層抽樣法，系統抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 C．系統抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法6．設函數則關于x的方程解的個數為 （）A．1 B．2 C．3 D．47．設則以下不等式中不恒成立的是 （） A． B． C． D．8．數列 （） A． B． C． D．9．設集合，那么點P（2，3）（）的充要條件是 （） A． B． C． D．10．從正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形，其中直角三角形的個數為（） A．56 B．52 C．48 D．4011．農民收入由工資性收入和其它收入兩部分構成。2003年某地區農民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元),預計該地區自2004年起的5年內，農民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元。根據以上數據，2008年該地區農民人均收入介于 （） A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元12．設分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當時，且則不等式的解集是 （）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。13．已知向量a=，向量b=，則|2a－b|的最大值是.14．同時拋物線兩枚相同的均勻硬幣，隨機變量ξ=1表示結果中有正面向上，ξ=0表示結果中沒有正面向上，則Eξ=.15．若的展開式中的常數項為84，則n=.16．設F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍為.三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）已知的值.18．（本小題滿分12分）甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為,乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.19．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）證明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？證明你的結論.PPEEAADDCBCB20．（本小題滿分12分）已知函數為自然對數的底數.（Ⅰ）討論函數的單調性；（Ⅱ）求函數在區間[0，1]上的最大值.21．（本小題滿分12分）如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點.（I）設點P分有向線段所成的比為，證明:；（II）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.22．（本小題滿分14分）如圖，直線相交于點P.直線l1與x軸交于點P1，過點P1作x軸的垂線交直線l2于點Q1，過點Q1作y軸的垂線交直線l1于點P2，過點P2作x軸的垂線交直線l2于點Q2，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P1、Q1、P2、Q2，…，點Pn（n=1，2，…）的橫坐標構成數列（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求數列的通項公式；（Ⅲ）比較的大小.2004年普通高等學校招生全國統一考試數學參考答案（文史類湖南卷）1.D2.A3.B4.C5.B6.C7.B8.C9.A10.C11.B12.D13．414．0.7515．916．17．解：由得又于是18．解：（Ⅰ）設A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件.①②③①②③由①、③得代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得（舍去）.將分別代入③、②可得即甲、乙、丙三臺機床各加工的零件是一等品的概率分別是（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件，則故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為19．（Ⅰ）證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以從而（Ⅲ）解法一以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件，相關各點的坐標分別為所以設點F是棱PC上的點，則令得解得即時，亦即，F是PC的中點時，、、共面.又BF平面AEC，所以當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC.解法二當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC，證明如下，證法一取PE的中點M，連結FM，則FM//CE.①由知E是MD的中點.連結BM、BD，設BDAC=O，則O為BD的中點.所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.證法二因為所以、、共面.又BF平面ABC，從而BF//平面AEC.20．解：（Ⅰ）（i）當a=0時，令若上單調遞增；若上單調遞減.（ii）當a<0時，令若上單調遞減；若上單調遞增；若上單調遞減.（Ⅱ）（i）當a=0時，在區間[0，1]上的最大值是（ii）當時，在區間[0，1]上的最大值是.（iii）當時，在區間[0，1]上的最大值是21．解：（Ⅰ）依題意，可設直線AB的方程為代入拋物線方程得①設A、B兩點的坐標分別是、、x2是方程①的兩根.所以由點P（0，m）分有向線段所成的比為，得又點Q是點P關于原點的對稱點，故點Q的坐標是（0，－m），從而.所以（Ⅱ）由得點A、B的坐標分別是（6，9）、（－4，4）.由得所以拋物線在點A處切線的斜率為設圓C的方程是則解之得所