陜西省西藏民族大學附屬中學2025屆高二數學第一學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為等差數列的前項和，，，則A.-6 B.-4C.-2 D.22．已知三棱柱中，，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則（）A. B.C. D.3．設雙曲線的虛軸長為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.5．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（）A. B.C. D.6．已知等比數列的公比為正數，且，，則（）A.4 B.2C.1 D.7．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.48．已知橢圓方程為，則該橢圓的焦距為（）A.1 B.2C. D.9．已知空間中三點，，，則下列結論中正確的有（）A.平面ABC的一個法向量是 B.的一個單位向量的坐標是C. D.與是共線向量10．已知橢圓：的離心率為，則實數（）A. B.C. D.11．已知直線與直線平行，則實數a的值為（）A.1 B.C.1或 D.12．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則一定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列中，，，則______________14．設，分別是橢圓C：左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________15．求值______.16．如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側棱，是上底面上其余的八個點，則集合中的元素個數為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）經觀測，某公路段在某時段內的車流量（千輛/小時）與汽車的平均速度（千米/小時）之間有函數關系：（1）在該時段內，當汽車的平均速度為多少時車流量最大？最大車流量為多少？（精確到）（2）為保證在該時段內車流量至少為千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？18．（12分）已知數列滿足且.（1）證明數列是等比數列；（2）設數列滿足，，求數列的通項公式.19．（12分）共享電動車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實現循環共享.某記者來到中國傳媒大學探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數X的分布列與數學期望.20．（12分）已知，，分別是銳角內角，，的對邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點和點都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）；（2）設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q（不與O重合），使得？若存在，求點Q的坐標，若不存在，說明理由22．（10分）如圖1是直角梯形，以為折痕將折起，使點C到達的位置，且平面與平面垂直，如圖2（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在點P，使平面與平面的夾角為？若存在，則求三棱錐的體積，若不存在，則說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由已知得解得故選A考點：等差數列的通項公式和前項和公式2、A【解析】在三棱柱中，，轉化為結合已知條件計算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則，由向量的減法運算得，.故選：A【點睛】關鍵點點睛：在三棱柱中，，由向量的減法運算得，再展開利用數量積運算.3、B【解析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.4、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B5、C【解析】根據橢圓的定義可得，由即可求解.【詳解】由，可得根據橢圓的定義，所以.故選：C6、D【解析】設等比數列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設等比數列的公比為（），由題意得，且，即，，因為，所以，，故選：D7、C【解析】根據雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.8、B【解析】根據橢圓中之間的關系，結合橢圓焦距的定義進行求解即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知：，則焦距為，故選：B.9、A【解析】根據已知條件，結合空間中平面法向量的定義，向量模長的求解，以及共線定理，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】因為，，，故可得，因為，故，不平行，則D錯誤；對A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對B：因為向量的模長為，其不是單位向量，故B錯誤；對C：因為，故可得，故C錯誤；故選：A.10、C【解析】根據題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因為，所以所以，解得.故選：C11、A【解析】根據兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經檢驗可知符合題意.故選：A12、B【解析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設等差數列的公差為，依題意得到方程，求出公差，再根據等差數列通項公式計算可得；【詳解】解：設等差數列的公差為，因為，，所以，所以，所以故答案為：14、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：15、【解析】將原式子變形為：，將代入變形后的式子得到結果即可.【詳解】將代入變形后的式子得到結果為故答案為：16、1【解析】根據空間平面向量的運算性質，結合空間向量垂直的性質、空間向量數量積的運算性質進行求解即可.【詳解】由圖像可知，，則因為棱長為1，，所以，所以，故集合中的元素個數為1故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當（千米/小時）時，車流量最大，最大值約為千輛/小時；（2）汽車的平均速度應控制在這個范圍內（單位：千米/小時）.【解析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其對應的值，即可得出結論；（2）解不等式即可得解.【小問1詳解】解：，（千輛/小時），當且僅當時，即當（千米/小時）時，車流量最大，最大值約為千輛/小時.【小問2詳解】解：據題意有，即，即，解得，所以汽車的平均速度應控制在這個范圍內（單位：千米/小時）.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據題意可得，根據等比數列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得數列的通項公式.【詳解】（1）因為，所以，即，所以是首項為1公比為3的等比數列（2）由（1）可知，所以因為，所以……，，各式相加得：，又，所以，又當n=1時，滿足上式，所以19、（1）；（2）分布列見解析，數學期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動車各有多少輛，然后根據超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進而求出概率并列出分布列，然后根據期望公式求出答案.【小問1詳解】因為從10輛共享電動車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動車有4輛，熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問2詳解】隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數學期望.20、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根據題意得到，再由關于角的余弦定理和整理化簡得，再由的面積，即可求出的值.【小問1詳解】由及正弦定理可得.【小問2詳解】由銳角中得，根據余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.21、（1），；（2）存在或，使得，理由見解析.【解析】（1）根據離心率，及求出，，進而得到橢圓方程及用m，n表示點M的坐標；（2）假設存在，根據得到，表達出點坐標，得到，結合得到，從而求出答案.【小問1詳解】由離心率可知：，又，，解得：，，故橢圓C：，直線PA為：，令得：，所以；【小問2詳解】存在或，使得，理由如下：假設，使得，則，其中，直線：，令得：，則，，解得：，其中，故，所以，所以或22、（1）（2）存在，靠近點D的三等分點.【解析】（1）由題意建立空間直接坐標系，求得的坐標，由求解；（2）假設棱上存在點P，設，求得點p坐標，再