2025屆北京市房山區房山實驗中學高二數學第一學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.2．如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區域涂色，要求相鄰的兩個區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種3．隨機地向兩個標號分別為1與2的格子涂色，涂上紅色或綠色，在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的概率為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知實數a，b，c，若a＞b，則下列不等式成立的是（）A B.C. D.6．已知函數，若，，則實數的取值范圍是A. B.C. D.7．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數分別為m，n，記，則下列說法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數”與“”互為對立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為8．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm9．已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若(為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.10．已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．等軸雙曲線漸近線是（）A. B.C. D.12．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將全體正整數排成一個三角形數陣：按照以上排列的規律，第行從左向右的第2個數為____________.14．已知函數，，則曲線在處的切線方程為___________.15．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點P，使得，則實數a的最大值為___________.16．若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；（3）若從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，求這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率.18．（12分）2017年國家提出鄉村振興戰略目標：2020年取得重要進展，制度框架和政策體系基本形成；2035年取得決定性進展，農業農村現代化基本實現；2050年鄉村全面振興，農業強、農村美、農民富全面實現．某地為實現鄉村振興，對某農產品加工企業調研得到該企業2012年到2020年盈利情況：年份201220132014201520162017201820192020年份代碼x123456789盈利y（百萬）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根據表中數據判斷年盈利y與年份代碼x是否具有線性相關性；（2）若年盈利y與年份代碼x具有線性相關性，求出線性回歸方程并根據所求方程預測該企業2021年年盈利（結果保留兩位小數）參考數據及公式：，，，，，統計中用相關系數r來衡量變量y，x之間的線性關系的強弱，當時，變量y，x線性相關19．（12分）在等差數列中，，前10項和（1）求列的通項公式；（2）若數列是首項為1，公比為2的等比數列，求的前8項和20．（12分）如圖，正三棱柱中，D是的中點，.（1）求點C到平面的距離；（2）試判斷與平面的位置關系，并證明你的結論.21．（12分）已知數列的前n項和為，且（1）求證：數列為等比數列；（2）記，求數列的前n項和為22．（10分）已知數列的前n項和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先求得拋物線的焦點坐標，再根據點F與圓上點的距離的最大值為6求解.【詳解】因為拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準線方程為，故選：D2、B【解析】按涂色順序進行分四步，根據分步乘法計數原理可得解.【詳解】按涂色順序進行分四步：涂A部分時，有4種涂法；涂B部分時，有3種涂法；涂C部分時，有2種涂法；涂D部分時，有2種涂法.由分步乘法計數原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.3、D【解析】根據古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色有紅色與綠色兩種情況，其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的情況有1種，所以在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的概率為.故選：D.4、B【解析】根據題意得到，根據，化簡得到，進而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點為，上頂點為，所以，，因為，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因為橢圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.5、C【解析】根據不等式的性質逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于A，因為a＞b，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若a＞b，又，所以，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤.故選：C.6、A【解析】函數，若，，可得，解得或，則實數的取值范圍是，故選A.7、D【解析】計算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據對立事件的概念，可判斷B；根據互斥事件的概念，可判斷C；計算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數分別為m，n，則共有個基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點，則事件“t＝12”的概率為，故A錯誤；事件“t是奇數”與“m＝n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5，故B錯誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D8、A【解析】根據圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【詳解】由題意可得，，解得．故選：A9、A【解析】設雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由，可知為的三等分點，用兩種方式表示，可得關于的方程組，結合即可得到雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因為，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.10、B【解析】由漸近線方程，設出雙曲線方程，結合與橢圓有相同的焦點，求出雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線：的一條漸近線方程為：∴設雙曲線：∵雙曲線與橢圓有相同的焦點∴，解得：∴雙曲線的方程為.故選：B.11、A【解析】對等軸雙曲線的焦點的位置進行分類討論，可得出等軸雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為，若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為.綜上所述，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：A.12、B【解析】根據輸入的條件執行循環，并且每一次都要判斷結論是或否，直至退出循環.【詳解】，，，；，【點睛】本題考查程序框圖，執行循環，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過觀察、分析、歸納，找出規律運算求解即可【詳解】前行共有正整數個，即個，因此第行第個數是全體正整數中第個，即為故答案為：14、【解析】根據導數的幾何意義求得在點處的切線方程.【詳解】由，求導，知，又，則函數在點處的切線方程為.故答案為：15、2【解析】設出，根據條件推出在圓上運動，根據題意要使雙曲線和圓有交點，則得答案.【詳解】設點，由得：，所以，化簡得：，即滿足條件的點在圓上運動，又點存在于上，故雙曲線與圓有交點，則,即實數a的最大值為2，故答案為：216、【解析】由兩圓公共弦方程，將兩圓方程相減得到，結合已知列方程組求、，即可得答案.【詳解】由題設，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，∴，可得，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據該校高一年級共有學生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分數段內的人數，先列舉出從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生的基本事件總數，再得到兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級共有學生640人，

∴由樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數學成績不低于60分的人數約為640×0.85=544人.

（3）成績在[40，50)分數段內的人數為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F.

若從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，

(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15種.

如果兩名學生的數學成績都在[40，50)分數段內或都在[90，100]分數段內，

那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10.

如果一個成績在[40，50)分數段內，另一個成績在[90，100]分數段內，

那么這兩名學生數學成績之差的絕對值一定大于10.

記“這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，

則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7種.

∴所求概率為P(M)=.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應用以及古典概型概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）年盈利y與年份代碼x具有線性相關性（2），7.25百萬元【解析】（1）根據表中的數據和提供的公式計算即可；（2）先求線性回歸方程，再代入計算即可【小問1詳解】由表中的數據得，，，，因為，所以年盈利y與年份代碼x具有線性相關性【小問2詳解】，，，當時，，該企業2021年年盈利約為7.25百萬元19、（1）；（2）347.【解析】（1）設等差數列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項和為20、（1）（2）平行，證明過程見解析.【解析】（1）利用等體積法即可求解；（2）利用線面平行判定即可求解.【小問1詳解】解：正三棱柱中，D是的中點，所以，，正三棱柱中，所以又因為正三棱柱中，側面平面且交線為且平面中，所以平面又平面所以設點C到平面的距離為在三棱錐中，即所以點C到平面的距離為.【小問2詳解】與平面的位置，證明如下：連接交于點，連接，如下圖所示，因為正三棱柱的側面為矩形所以為的中點又因為為中點所以為的中位線所以又因為平面，且平面所以平面21、（1）證明見解析;（2）.【解析】（1）由已知得，當時，兩式作差整理得，根據等比數列的定義可得證；（2）由（1）求得，，再運用錯位相減法可求得答案.【小問1詳解】證明：因