2.4.1函數的奇偶性課程標準學習目標1.理解函數的奇偶性及其幾何意義;學會運用函數圖象理解和研究函數的性質;學會判斷函數的奇偶性。2.通過函數奇偶性概念的形成過程，培養學生觀察、歸納、抽象的能力，滲透數形結合的數學思想。3.通過函數的奇偶性教學，培養學生從特殊到一般的概括歸納問題的能力。1.函數的奇偶性及其幾何意義。2.判斷函數的奇偶性的方法與格式。知識點01函數奇偶性的概念奇偶性偶函數奇函數條件設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I結論f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)圖象特點關于y軸對稱關于原點對稱注意：判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：1.定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；2.判斷f(x)與f(x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式f(x)＋f(x)＝0(奇函數)或f(x)f(x)＝0(偶函數)是否成立．3.若f(x)≠0，則奇(偶)函數定義的等價形式如下：①f(x)為奇函數?f(x)＝f(x)?f(x)＋f(x)＝0?f(-x)f(x)＝②f(x)為偶函數?f(x)＝f(x)?f(x)f(x)＝0?f(-x)f(x)＝【即學即練1】（2324高一上·北京·期中）下列函數中為偶函數的是（

）A．y=x BC．y=x2【即學即練2】（2324高一下·全國·課堂例題）下列函數圖象中，可以表示偶函數的有（）A． B．C． D．知識點02函數奇偶性的常用結論1.如果一個奇函數f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.2.如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．3奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．4在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．5.若y＝f(x＋a)是奇函數，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．【即學即練3】（2425高一上·上海·課后作業）已知y=fx是奇函數，定義域是R，y=gx是偶函數，定義域是D．設F【即學即練4】（2425高一上·上海·隨堂練習）下列命題中正確的是．（填序號）①對于函數y=fx，若f②若y=fx是奇函數，fx定義域為③若函數y=fx的圖像不關于y難點：含參問題示例1：（2324高一下·云南昆明·期末）已知奇函數fx的定義域為R，fx在區間-1，1上單調遞增，f1=2，且f1-x為偶函數.若關于x的不等式A．a>1 B．C．a≥0 D．【題型1：函數奇偶性的判斷】例1．（多選）（2425高一上·全國·隨堂練習）（多選）下列函數是奇函數的是（

）A．y=x，（x∈[0,1]）B．y=3x2變式1．（2425高一上·全國·課堂例題）判斷下列函數的奇偶性：(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx變式2．（2324高一·上海·課堂例題）研究函數y=變式3．（2425高一上·上海·隨堂練習）已知函數f((1)試證明函數f((2)畫出f(變式4．（2324高一下·上海楊浦·期中）函數y=xxA．

B．

C．

D．

變式5．（多選）（2425高一上·全國·課后作業）若函數fx為定義在R上的奇函數，且f-2=1A．f0B．fC．fx的圖象關于yD．fx變式6．（多選）（2223高一上·福建莆田·期中）設函數f(x)=A．f(B．f(C．g[D．若g(a變式7．（2324高一上·北京·期中）已知函數f((1)判斷并證明f((2)證明f(x)(3)求f(x)【方法技巧與總結】判斷分段函數的奇偶性，可以用定義法，也可以用圖象法.定義法必須驗證在每一段內都有或成立，而不能只驗證一段解析式。在判斷時，要特別注意與的范圍，然后選擇合適的解析式代入.【題型2：利用奇偶性求解析式】例2．（2526高一上·全國·課后作業）奇函數fx在0,+∞上的解析式是fx=x1-x，則函數A．fx=-xC．fx=-x變式1．（2324高一上·黑龍江大慶·階段練習）已知函數f(x)為R上的偶函數，當x>0時，f(x)=變式2．（2024高一·全國·專題練習）已知奇函數fx的定義域為R，當x>0時，fx變式3．（2425高一上·全國·課堂例題）fx是奇函數，gx是偶函數，且fx+g變式4．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知二次函數f(x)(1)求f((2)若g(x)為定義在R上的奇函數，且當x>0時g(變式5．（2024高一·全國·專題練習）函數f(x)=ax+b1+變式6．（2324高一·上海·課堂例題）已知函數y=fx為偶函數，y=gx為奇函數，且fx變式7．（2324高一上·江蘇南京·期中）定義在R上的函數f(x)是偶函數，g(1)求函數f(x)(2)求函數f(x)+【方法技巧與總結】求給定哪個區間的解析式就設這個區間上的變量為x，然后把x轉化為－x，此時－x成為了已知區間上的解析式中的變量，通過應用奇函數或偶函數的定義，適當推導，即可得所求區間上的解析式．【題型3：利用奇偶性求值】例3．（2324高一上·天津·期末）已知函數fx是定義城為R的奇函數，當x≤0時，fx=3x2A．474 B．-474 C．23變式1．（2425高一上·全國·隨堂練習）已知定義在R上的偶函數fx滿足當x∈[0,+∞)時，f(x變式2．（2425高一上·全國·課后作業）已知f(x)是定義在R上的奇函數，且函數y=f(x+1)為偶函數，當-1≤x≤0時，變式3．（2425高一上·上海·課后作業）設fx=ax3+bx+4變式4．（2425高一·上海·課堂例題）若函數fx=x2023+a變式5．（2425高一上·上海·隨堂練習）設函數是定義在R上的奇函數，當x<0時，y=2x，則x變式6．（2023高一下·吉林·學業考試）已知函數fx是定義域為R的奇函數，若fa=2，則f-變式7．（2324高一下·河南洛陽·期末）已知函數fx=ax+bx2【方法技巧與總結】利用奇偶性求函數值的思路：1.已知f(a)求f(-a)：判斷fx的奇偶性與構造已知就行的函數，利用奇偶性找出fa與2.已知兩個函數的奇偶性，求由這兩個函數的和、差構造出的新函數的函數值，可用-x替換x后使用奇偶性變形，進而與原函數聯立，解方程即可。【題型4：利用奇偶性求參】例4．（2425高一上·全國·課后作業）已知函數fx=a5xA．5 B．0 C．10 D．14變式1．（2425高一上·全國·隨堂練習）已知函數f(x)=x2A．-1 B．1 C．0 D．2變式2．（2024高一·全國·專題練習）已知函數fx=ax2變式3．（2324高三上·山東濰坊·開學考試）設fx=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數，則a+變式4．（2011高一上·江蘇淮安·學業考試）已知函數f(x)=變式5．（2425高一上·上海·隨堂練習）已知定義在a-2,a2上的函數y=fx變式6．（1213高三上·云南昆明·階段練習）已知函數fx(1)求實數m的值；(2)若函數fx在區間-1,a-2變式7．（2324高一·上海·課堂例題）已知實數b<2，而函數y=x2+ax+1變式8（2425高一上·上海·課后作業）設函數fx=x3+x+2x【方法技巧與總結】若函數f(x)為奇函數，gx=fx+k【題型5：利用奇偶性與單調性解不等式】例5．（2324高一上·北京·期中）定義在R上的奇函數fx滿足，當0<x≤2時，fx<0，當x>2時，fA．2,+∞ B．-2,0C．-∞,-2∪2,+∞ D變式1．（2425高一上·全國·隨堂練習）已知定義在R上的奇函數fx，且當x∈[0,+∞)時，fx單調遞增，則不等式fA．(-∞,1) B．(-1,+∞) C．[-1,+∞) D．(-∞,1]變式2．（多選）（2324高一下·全國·單元測試）定義在R上的奇函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減，且f(3)=0，則滿足xf(xA．(-∞,-3) B．(-3,0) C．0,3 D．(3,+∞)變式3．（2324高一上·上海·期末）已知函數y=fx是定義域為R的奇函數，且f-1=0.若對任意的x1、x2∈0,+∞變式4．（2425高一上·全國·課后作業）已知函數fx=x2+2x,x變式5．（2425高一上·江西上饒·開學考試）若函數f(x)的定義域是R，且對任意的x(1)試判斷f((2)若當x>0時，f(x(3)在條件（2）前提下，解不等式f(變式6．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知函數f(x)=(1)判定函數f((2)利用單調性的定義證明：f(x)(3)解不等式f(1-變式7.（2122高一上·內蒙古赤峰·階段練習）圖中給出了奇函數fx的局部圖像，已知fx

(1)求f0(2)試補全其圖像；(3)并比較f1與f【方法技巧與總結】1.如果一個奇函數f(x)在x＝0處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.2.如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．3.既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集．4.奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．5.偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數．【題型6：利用奇偶性與單調性比較大小】例6．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知函數f(x)=ax2+b是定義在A．g(-2)>g(3)>C．g(2)>g(-2)>變式1．（2425高一上·全國·課堂例題）已知fx是奇函數，且在區間[0,+∞)上單調遞增，則f-0.5，f-1，fA．f-0.5<fC．f0<f變式2．（2015高一·全國·競賽）已知fx是定義在R上的偶函數，對任意的x1,x2∈0,+∞A．f3<fC．f-2<f變式3．（2425高一上·上海·課后作業）若函數fx是奇函數，且f5f-3．（填“>”或“<”變式4．（2223高一·全國·隨堂練習）已知函數fx對任意實數x都有f1+x=f(1)f1.2和f(2)f-1和f(3)f-2和f(4)f-2和變式5．（2324高一下·廣東深圳·階段練習）已知函數y=fx的圖象關于y軸對稱，且對于y=fx(x∈R)，當x1，x2A．-∞,2 B．(-2,2) C變式6．（2324高一上·廣東廣州·期中）已知函數fx=x3+A．a+b<0 B．a+b>0【題型7：奇偶性與函數圖像】例7．（多選）（2425高一上·全國·課后作業）下圖的四個函數圖象中為奇函數圖象的是（

）A． B．C． D．變式1．（多選）（2425高一上·全國·課后作業）（多選）一個偶函數定義在區間-7,7上，它在0,7上的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．這個函數有三個單調遞增區間B．這個函數有兩個單調遞減區間C．這個函數在其定義域內有最大值7D．這個函數在其定義域內有最小值-7變式2．（2425高一上·上海·課堂例題）已知偶函數fx和奇函數gx的定義域都是-4,4，它們在-4,0上的圖像分別是圖1和圖2，則關于x的不等式fxg變式3．（2324高一上·北京朝陽·期中）已知奇函數fx的定義域為-5,5，且在0,5上的圖像如圖所示，則fx的單調遞減區間為變式4．（2425高一上·全國·課后作業）已知函數fx是定義在-3,0∪0,3上的奇函數，當x>0時，fx

變式5．（2425高一上·全國·課堂例題）已知函數y=fx是定義在R上的奇函數，且當x≤0時，fx=x(1)請補全函數y=(2)根據圖象寫出函數y=(3)根據圖象寫出使fx<0的x變式6．（2324高一下·全國·課堂例題）已知函數y=f(x變式7．（2011高一上·江蘇淮安·學業考試）已知定義域為R的函數f(x①對任意x∈R,f(-x)+(1)求f(x)(2)在坐標系中畫出函數f((3)寫出f(x一、單選題1．（2324高一下·河南新鄉·期末）已知函數fx=x2-1A．0 B．1 C．-1 D．22．（2223高一上·福建莆田·期中）設函數f(x)=x2-4xA．4 B．2 C．-2 D．-43．（2223高一下·云南昭通·期末）定義在R上的奇函數fx在-∞,0上單調遞減，且f3=0，則滿足x+1fA．-3,-1∪0,+∞ BC．-3,-1∪0,3 D4．（2425高一上·上海·課后作業）下列四個命題：①偶函數的圖像一定與y軸相交；②奇函數的圖像一定通過原點；③既是奇函數又是偶函數的函數只能是fx④偶函數的圖像關于y軸對稱．其中正確的命題是（）A．③ B．④ C．②③④ D．①②③5．（2223高三上·甘肅定西·階段練習）已知函數fx是定義在-4,4上的偶函數，且f2>A．f2>fC．f-2>f6．（2324高一下·山東淄博·期中）fx，gx是定義在R上的函數，hx=fx+gx，則“fx，gA．充要 B．充分而不必要C．必要而不充分 D．既不充分也不必要7．（2324高一下·云南昆明·期末）“函數y=f(x)為奇函數”是“函數yA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2324高一上·云南曲靖·期末）若定義在R上的偶函數fx在-∞,0上單調遞減，且f2=0，則滿足m-1fA．-∞,4 B．-∞,0C．-1,0∪2,5 D二、多選題9．（2324高一下·湖南婁底·期末）已知函數y=fx是定義在RA．y=f|x| B．y=10．（2223高一下·河南·階段練習）已知函數f(x)=A．a=-2 B．C．f(f(-1))=-1 D．11．（23