專題15.4線段的垂直平分線的判定與性質【九大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用線段垂直平分線的性質求長度】 1【題型2利用線段垂直平分線的性質求最值】 5【題型3利用線段垂直平分線的性質求角度】 9【題型4利用線段垂直平分線的性質探究角度之間的關系】 13【題型5利用線段垂直平分線的性質證明】 19【題型6線段垂直平分線的判定】 24【題型7尺規作線段垂直平分線】 27【題型8線段垂直平分線的判定與性質的綜合運用】 31【題型9線段垂直平分線的實際應用】 38【知識點1線段垂直平分線的性質】線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質求長度】【例1】（2023春·遼寧阜新·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若△ABC的周長是20，AB=4，AC=7，則△AEF

A．4 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】先根據△ABC的周長公式求得BC=9，再根據線段垂直平分線的性質得到EA=EB，【詳解】解：∵△ABC的周長是20∴AB∵AB=4，AC∴BC=9∵EG是線段AB∴EA同理，FA=∴△AEF的周長=故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【變式11】（2023春·四川成都·八年級校考期中）如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點D，DM⊥BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N．若【答案】2【分析】連接AD，CD，由“AAS”可證△BDM?△BDN，可得BM=BN，由“【詳解】解：連接AD，∵BD是∠ABC∴∠ABD在△BDM和△∠DMB∴△BDM∴BM=∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=在Rt△ADM和AD=∴Rt△∴AM=∵AB=3∴BC-∴AM=2故答案為2．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．【變式12】（2023春·福建福州·八年級校考期中）如圖，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果

【答案】4【分析】連接BD，根據角平分線的性質可得DE=DF，根據線段垂直平分線的性質，可得BD=CD，繼而可證得Rt△BED?Rt△CFD，可得BE=CF，再證得△AED【詳解】解：連接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥∴DE=DF∵DG⊥BC∴BD在Rt△BED與BD=∴Rt∴BE在△AED和△∠AED∴△AED∴AE設BE=x，則∵AB=5，AC=3，AE∴5-x解得：x=1∴BE∴AE故答案為：4．【點睛】此題考查了角平分線的性質、線段垂直平分線的性質以及全等三角形的判定與性質．準確作出輔助線，利用方程思想與數形結合思想求解是解決問題的關鍵．【變式13】（2023春·遼寧丹東·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△

【答案】6【分析】根據線段垂直平分線的性質可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，從而可求出【詳解】解：∵OM是AB∴DA=DB∵ON是AC∴EA=EC∴OB∵△ADE的周長為11∴AD∴BD∴BC∵△OBC的周長為23∴OB∴OB∴OA故答案為：6cm【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．【題型2利用線段垂直平分線的性質求最值】【例2】（2023春·甘肅隴南·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，點P為直線

【答案】12【分析】根據題意知PB=PC，故當點P與點D重合時，AP+BP的最小值等于AC的長，根據【詳解】解：連接PC，設AC交EF于D，

∵EF垂直平分BC，∴PB=∴當P和D重合時，AP+BP的值最小，最小值等于∵AB=5∴△ABP周長的最小值是AB故答案為：12．【點睛】此考查了垂直平分線的性質、最短路徑等知識，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵．【變式21】（2023春·江西九江·八年級統考開學考試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是11，則直線DE

A．28 B．18 C．10 D．7【答案】D【分析】利用垂直平分線的性質和已知的三角形的周長計算．【詳解】解：∵DE是BC的中垂線，∴BE=則AB=又∵△AEC的周長為11故AB=11-4=7直線DE上任意一點到A、C距離和最小為7．故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等）有關知識．難度簡單．【變式22】（2023春·山東濟南·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點A、B為圓心，以適當的長為半徑作弧，兩弧分別交于E，F，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC=2，△ABC面積為3【答案】3【分析】連接AD,AM，利用等腰三角形的性質得到AD⊥BC，根據三角形面積公式求出AD=3，利用基本作圖得到EF垂直平分AB，則MA=MB，所以BM+MD【詳解】解：連接AD,∵AB=AC，D為∴AD⊥∵△ABC的面積為3∴12解得AD=3由作法得EF垂直平分AB，∴MA=∵BM+∴當且僅當A、M、D共線時，MA+MD的最小值為∴BM+MD的最小值是故答案為：3．【點睛】本題考查了作圖基本作圖作已知線段的垂直平分線，等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質和最短路徑問題，確定出當且僅當A、M、D共線時，MA+【變式23】（2023春·山東青島·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點，點P在AC上從C向A運動；同時，點Q在BC上從B向C運動，當∠PDQ＝時，△PDQ的周長最小．【答案】28°/28度【分析】根據兩點之間線段最短，把三角形的周長轉化為一條線段的長，利用三角形的內角和及平角的定義求解．【詳解】過點D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，過點D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，連接EF，則EF的長為△PDQ的最小值，根據作圖知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，∴DQ＝FQ，PD＝PE，∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，根據兩點之間線段最短，所以EF的長是△PDQ的最小值，此時有：∠FDQ=12∠DQP，∠MDP=1在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝50°，∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP＝180°﹣40°﹣36°-12（∠DQP+∠＝104°-12（180°﹣∠＝104°﹣90°+12∠解得：∠PDQ＝28°．故當∠PDQ＝28°時，△PDQ的周長最小．故答案為：28°【點睛】本題考查了最短路徑問題，通過軸對稱把問題進行轉化是解題的關鍵．【題型3利用線段垂直平分線的性質求角度】【例3】（2023春·福建寧德·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D

A．32α B．90°-12α C【答案】D【分析】根據看垂直平分線的性質可得∠ABM=∠NBM=90°-α，NM=ND和BM⊥AC【詳解】∵AM=NM，BM⊥∴∠ABM∵NM=ND，∴BN平分∠NDM∴∠ABM∴∠ABC∴∠C故選：D．【點睛】本題考查垂直平分線的性質，角平分線的判定定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式31】（2023春·安徽池州·八年級統考開學考試）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60°，∠ACF

【答案】48°【分析】由角平分線的定義可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分線的性質可得BF=CF【詳解】解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD∵EF垂直平分BC，∴BF∴∠FBC∴∠ABD∵∠A+∠ACF+∠ABD∴∠ABD∴∠ABC故答案為：48°．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質、三角形內角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．【變式32】（2023春·四川甘孜·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分

【答案】∠【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到DA=DB，【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=∴∠DAB∵AD是∠BAC∴∠CAB∴∠C∴∠C【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質、三角形內角和定理、角平分線的定義．掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【變式33】（2023春·河北保定·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AOB=

A．α B．14α+90° C．1【答案】B【分析】連接CO并延長，根據線段垂直平分線的性質得到OA=OC，OB=OC，根據等腰三角形的性質得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠【詳解】解：連接CO并延長，

∵點O是AC、BC的垂直平分線的交點，∴OA=OC∴∠OCA=∠OAC∵∠AOD是△∴∠AOD同理，∠BOD∴∠AOB∴∠OCA∴∠ACB∵AI平分∠BAC，BI平分∴∠IAB=1∴∠IAB∴∠AIB故選：B．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【題型4利用線段垂直平分線的性質探究角度、線段之間的關系】【例4】（2023春·福建三明·八年級統考期末）如圖，四邊形ABCD是長方形，E是邊CD的中點，連接AE并延長交邊BC的延長線于F，過點E作AF的垂線交邊BC于M，連接AM．（1）請說明ΔADE≌ΔFCE；（2）試說明AM=BC+MC；（3）設S△AEM=S1，S△ECM=S2，S△ABM=S3，試探究S1，S2，S3三者之間的等量關系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）S3=2S14S2，理由見解析．【分析】（1）根據ASA可證得ΔADE≌ΔFCE；（2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根據垂直平分線的性質可得再由線段等量關系即可說明AM=BC+MC；（3）由AE=EF得出S△ECF=S1S2，再由底和高的倍數關系得到S△ABF=4S△ECF=4S14S2，從而根據S3=S△ABFS△MAF得到結果．【詳解】解：（1）∵E是邊CD的中點，∴DE=CE，∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由（1）得AE=EF，AD=CF，∴點E為AF中點，∵ME⊥AF，∴AM=MF，∵MF=CF+MC，∵AD=BC=CF，∴MF=BC+MC，即AM=BC+MC；（3）S3=2S14S2，理由是：由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF，∴S1=S△MEF=S2+S△ECF，∴S△ECF=S1S2，∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°，∴S△ABF=4S△ECF=4S14S2，∴S3=S△ABFS△MAF=S△ABF2S1=2S14S2．【點睛】本題考查了長方形的性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理。熟記性質并找出三角形全等的條件是解題的關鍵．【變式41】（2023春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學校考期末）△ABC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，則線段PA和BC的關系正確的是（）A．PA<12BC B．PA=1【答案】B【分析】依據線段垂直平分線的性質，即可得到AP＝BP＝CP，進而得出線段PA和BC的關系．【詳解】解：如圖所示，△ABC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，∴AP＝BP，AP＝CP，∴AP＝BP＝CP＝12BC故選：B．【點睛】本題考查垂直平分線的性質．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．【變式42】（2023春·河南平頂山·八年級統考期末）如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，點C，連接AB，(1)如圖1，請指出AB與PB的數量關系，并說明理由．(2)如圖2，當P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)AB=(2)存在，理由見解析【分析】（1）連接BQ，根據BC垂直平分OQ，可知BO=BQ，則∠BOQ=∠BQO，根據OF平分∠MON，則∠AOB=∠BOQ（2）如圖，連接BQ，根據BC垂直平分OQ，可知BQ=BO，CQ=CO結合條件可證△BQC≌△BOC，則∠BQO=∠BOQ，根據OF平分∠MON，∠BOQ=∠【詳解】（1）解：AB理由如下：連接BQ∵BC垂直平分OQ∴BO∴∠∵OF平分∠∴∠∴∠∵OA∴△∴AB=（2）存在，理由：如圖，連接BQ，∵BC垂直平分OQ，∴BQ=BO在△BQC和△BOC∴△BQC≌△BOC∴∠BQO∵OF平分∠MON∠BOQ∴∠AOF∴∠AOF∴∠AOB在△AOB和△PQB中，OA∴△AOB≌△PQB∴AB=【點睛】本題考查了線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，本題屬于中考常考問題．【變式43】（2023春·山東日照·八年級統考期末）如圖1，在直角△ABC中，∠C=90°，分別作∠CAB的平分線AP和AB的垂直平分線DP，交點為P．（1）如圖2，若點P正好落在BC邊上．①求∠B的度數；②求證：BC=3PC．（2）如圖3，若點C、P、D恰好在一條直線上，線段AD、PD、BC之間的數量關系是否滿足AD+PD=BC？若滿足，請給出證明；若不滿足，請說明理由．【答案】（1）①∠B的度數是30°；②見解析；（2）滿足，理由見解析【分析】（1）①由垂直平分線與角平分線的性質證明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的內角和定理即可得到答案；②先利用角平分線的性質證明PC=PD，再用∠B=30°證明BP=2PD，進而即可得到結論；（2）過點P作PE⊥AC于點E，由垂直平分線的性質可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，進而證明PE=CE，由角平分線的性質可知PE=PD，即可證明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用線段的和差性質即可證明AD+PD=BC．【詳解】（1）①∵DP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，∴∠PAD=∠B，又∵AP平分∠CAB，∴∠PAD=∠PAC，∴∠PAD=∠PAC=∠B，設∠B=x°，則∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，∵在Rt△ABC中，∴∠B+∠BAC=90°，即3x=90，x=30，∴∠B的度數是30°．②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，∴PC=PD，∵在Rt△BDP中，∠B=30°，∴BP=2PD，∴BC=BP+PC=3PC．（2）如圖，過點P作PE⊥AC于點E，∵CD是AB的垂直平分線，∴AC=BC，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°∵PE⊥AC，∴∠CPE=90°?∠PCE=90°?45°=45°=∠PCE，∴PE=CE，又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PE=PD，∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，AP∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），∴AE=AD，∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，又∵AC=BC，∴AD+PD=BC．【點睛】本題考查了角平分線的性質、垂直平分線的性質、三角形的內角和定理、銳角三角函數、等腰直角三角形的性質、直角三角形全等的判定與性質、含30°的直角三角形的性質、線段的和差性質，解答本題的關鍵是掌握并熟練運用以上知識．【題型5利用線段垂直平分線的性質證明】【例5】（2023春·陜西榆林·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點C作CF∥BD交AB于點F，延長AB，CD交于點

(1)CB平分∠ECF(2)∠ACF【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由AD所在直線垂直平分線段BC得到BD=CD，從而得到∠BCD（2）由AD所在直線垂直平分線段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC【詳解】（1）證明：∵AD所在直線垂直平分線段BC，∴BD=∴∠BCD∵BD∥∴∠CBD∴∠FCB即CB平分∠ECF（2）∵AD所在直線垂直平分線段BC，∴AC=∴∠ACB∵∠ABC是△∴∠ABC∴∠ABC又∵∠FCB=∠BCD∴∠ACF【點睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角的性質，垂直平分線的性質，平行線的性質等知識，掌握相關定理是解題的關鍵．【變式51】（2023春·重慶綦江·八年級校聯考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM丄AB與M，DN丄AC交AC的延長線于N，你認為BM與CN之間有什么關系？試證明你的發現．【答案】BM=【分析】如圖（見解析），先根據角平分線的性質可得DM=DN，再根據垂直平分線的性質可得【詳解】BM=如圖，連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB∴DM=∵DE垂直平分BC，∴BD=在Rt△BMD與Rt△∴Rt△∴BM=【點睛】本題考查了角平分線的性質、垂直平分線的性質、直角三角形全等的判定定理與性質，通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．【變式52】（2023春·陜西咸陽·八年級統考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E、F在AB上，連接CE，CF，且

【答案】證明見解析【分析】如圖所示，取BC中點G，連接FG，證明FG在線段BC的垂直平分線上，得到∠FGC=∠FGB=90°，進而證明△FGC≌△FGB【詳解】證明：如圖所示，取BC中點G，連接FG，∵CF=∴FG在線段BC的垂直平分線上，∴FG⊥∴∠FGC又∵FG=∴△FGC∴∠FCG在在Rt△ABC中，∠ACB∴∠B∴∠FCB∴∠CFE又∵∠CEF∴∠CFE

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理等等，證明∠FCG【變式53】（2023春·福建龍巖·八年級校考開學考試）已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，交AB于點E(1)求證：BG=(2)試判斷BE+CF與【答案】(1)見解析(2)BE+【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD（2）再利用全等的性質可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出【詳解】（1）證明：∵BG∥AC∴∠DBG∵D為BC∴BD在△BGD與△∠DBG∴△BGD∴BG（2）解：BE+理由如下：連接EG，∵△BGD∴GD=FD又∵DE∴DE垂直平分FG，∴EG∴在△EBG中，BE即BE+【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質、線段垂直平分線的定義和性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法并根據條件靈活選擇是解題的關鍵．【知識點2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）【題型6線段垂直平分線的判定】【例6】（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學校校考期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，