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文檔簡介
專題1.1二次函數(全章知識梳理與考點分類講解)【知識點一】二次函數有關概念(1)定義:一般的,形如(a、b、c是常數,)的函數叫做二次函數,自變量x的取值范圍為全體實數.(2)、bx、c分別稱作二次函數的二次項、一次項和常數項,、b分別稱為二次項系數和一次項系數.【知識點二】二次函數的解析式(1)三類解析式一般式:(a、b、c是常數,);頂點式:(),二次函數的頂點坐標是(h,k);交點式:(),其中x1,x2是圖象與x軸交點的橫坐標.(2)待定系數法求解析式①巧設二次函數的解析式(給頂點設頂點式,給交點設交點式,其余情況設一般式);②根據已知條件,得到關于待定系數的方程(組);③解方程(組),求出待定系數的值,從而求出函數的解析式.【知識點三】二次函數的圖象與性質開口方向a>0時,開口向上;a<0時,開口向下.對稱軸y軸y軸x=hx=h頂點與最值(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)a>0時,頂點是最低點,此時y有最小值,最小值為0(或k或);a<0時,頂點是最高點,此時y有最大值,最大值為0(或k或).增
減
性a>0x<0(h或)時,y隨x的增大而減小;x>0(h或)時,y隨x的增大而增大。即在對稱軸的左邊,y隨x的增大而減小;在對稱軸的右邊,y隨x的增大而增大。a<0x<0(h或)時,y隨x的增大而增大;x>0(h或)時,y隨x的增大而減小。即在對稱軸的左邊,y隨x的增大而增大;在對稱軸的右邊,y隨x的增大而減小。對稱性1.圖象是軸對稱圖形;2.拋物線上y值相等的兩點,其中點必在對稱軸上;3.拋物線上到對稱軸距離相等的點,y值必定相等.【知識點四】二次函數的圖象與各項系數之間的關系(1)的正負決定開口方向:,拋物線開口向上;,拋物線開口向下.的大小決定開口的大小:越大,拋物線的開口越小;越小,拋物線的開口越大.(2)、b的符號共同決定對稱軸的位置當時,,對稱軸為y軸;當a、b同號時,,對稱軸在y軸左邊;當a、b異號時,,對稱軸在y軸右邊.(簡記為“左同右異”)(3)c決定拋物線與軸的交點的位置當c>0時,拋物線與y軸的交點在正半軸上;當c=0時,拋物線經過原點;當c<0時,拋物線與y軸的交點在負半軸上.【知識點五】二次函數圖象的變換(1)圖象的平移:任意拋物線y=a(x-h)2+k可以由拋物線y=ax2經過平移得到,在原有函數的基礎上“值正右移,負左移;值正上移,負下移”.概括成八個字“左加右減,上加下減”.具體平移方法如下:(2)圖象的對稱:化成頂點式,結合圖像,求出對稱后的頂點和開口方向,再寫出對稱后的解析式.【知識點六】二次函數與一元二次方程二次函數()的圖象與x軸交點的橫坐標是一元二次方程的根.(1)當b2-4ac>0時,拋物線與x軸有兩個交點;(2)當b2-4ac=0時,拋物線與x軸有一個交點;(3)當b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.【知識點七】二次函數與不等式(1)拋物線在x軸上方圖象上的點的縱坐標都為正,所對應的x的所有值就是不等式的解集;(2)拋物線在x軸下方圖象上的點的縱坐標均為負,所對應的x的所有值就是不等式的解集.【知識點八】二次函數的應用(1)最大利潤問題:求解最值時,一定要考慮頂點橫坐標(對稱軸)的取值是否在自變量的取值范圍內.(2)面積問題:籬笆問題,鉛錘法求面積.(3)類拋物線問題:拱橋、投橋、噴泉問題.(4)與幾何圖形結合:與三角形、圓等幾何圖形結合,考查最大面積或最小距離等問題【考點目錄】【考點1】二次函數???有關概念【考點2】二次函數???待定系數法求二次函數的解析式【考點3】二次函數???二次函數的圖象與性質【考點4】二次函數???二次函數的圖象與各項系數之間的關系【考點5】二次函數???二次函數圖象的變換【考點6】二次函數???二次函數與一元二次方程【考點7】二次函數???二次函數與不等式【考點8】二次函數???實際問題與二次函數【考點9】二次函數???二次函數綜合問題【考點一】二次函數???有關概念【例1】已知函數(m為常數).(1)若這個函數是關于x的一次函數,求m的值.(2)若這個函數是關于x的二次函數,求m的取值范圍.【答案】(1);(2)且.【分析】(1)根據一次函數的定義即可解決問題;(2)根據二次函數的定義即可解決問題.(1)解:依題意且,所以;(2)解:依題意,所以且.【點撥】本題考查一次函數的定義、二次函數的定義,解題的關鍵是熟練掌握基本概念,屬于中考常考題型.【舉一反三】【變式1】若函數的圖象經過點,則()A. B.3 C. D.1【答案】D【分析】把點代入解析式即可求解.解:∵函數的圖象經過點,∴把點代入得,,∴,故選:D.【點撥】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征,熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵.【變式2】某工廠本年度的產值為100萬元,若在今后兩年里產值的年增長率均為x,兩年后的產值為y萬元.那么y關于x的函數解析式是.【答案】【分析】此題主要考查了根據實際問題抽象出二次函數,掌握二次變化的關系式是解決本題的關鍵.兩年后的產值=本年度的產值增長率,把相關數值代入即可.解:第一年度的產值為,∴第二年度的產值為,∴.故答案為:【考點二】二次函數???待定系數法求二次函數的解析式【例2】如圖,已知拋物線與軸交于,兩點,與軸交于點.(1)求拋物線的解析式;(2)求拋物線的對稱軸和頂點的坐標.【答案】(1);(2)拋物線的對稱軸為直線,【分析】本題考查了用待定系數法求二次函數解析式,將二次函數解析式化為頂點式.(1)根據拋物線與軸交于,兩點,設拋物線的解析式為,把代入,求出a的值即可;(2)將(1)的得到的函數解析式化為頂點式,即可解答.(1)解:∵拋物線與軸交于,兩點,設拋物線的解析式為,把代入得:,解得:,∴拋物線的解析式為;(2)解:∵,∴拋物線的對稱軸為直線,.【舉一反三】【變式1】將二次函數的圖象繞點旋轉得到的圖象滿足的解析式為(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】本題考查了二次函數圖象與幾何變換,利用頂點的變化確定函數解析式的變化更簡便.求出原拋物線的頂點坐標以及繞點旋轉后的拋物線的頂點坐標,再根據旋轉后拋物線開口方向向下,利用頂點式解析式寫出即可.解:拋物線的頂點坐標為,開口向上繞點旋轉后的拋物線的頂點坐標為,開戶口向下,所得到的圖象的解析式為,故選:C.【變式2】已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線相同,且它的頂點坐標為,則這條拋物線的解析式為.【答案】【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式,先設頂點式,然后根據二次函數的性質確定a的值即可,根據題目給定的條件,選擇恰當的方法設出關系式是解決此題的關鍵.解:∵拋物線的頂點坐標為,∴拋物線解析式可設為,∵拋物線的形狀、開口方向均與拋物線相同,∴,∴所求拋物線的解析式為.故答案為:.【考點三】二次函數???二次函數的圖象與性質【例3】在平面直角坐標系中,拋物線的頂點為A.(1)求頂點A的坐標(用含有字母m的代數式表示);(2)若點,在拋物線上,且,則m的取值范圍是;(直接寫出結果即可)(3)當時,函數y的最小值等于6,求m的值.【答案】(1)頂點A的坐標為;(2);(3)或【分析】(1)將拋物線解析式化成的形式,即可求得頂點A的坐標;(2)將,代入拋物線中求得和的值,然后再解不等式即可求解;(3)分類討論,分對稱軸在1的左側、對稱軸在3的右側、對稱軸在1,3之間共三種情況分別求出函數的最小值,進而求出m的值.解:(1)由題意可知:拋物線,∴頂點A的坐標為;(2)將代入中,得到,將代入中,得到,由已知條件知:,∴,整理得到:,解得:,故m的取值范圍是:;(3)二次函數的開口向上,故自變量離對稱軸越遠,其對應的函數值越大,二次函數的對稱軸為,分類討論:①當,即時,時二次函數取得最小值為,又已知二次函數最小值為6,∴,解得或,又,故符合題意;②當,即時,時二次函數取得最小值為,又已知二次函數最小值為6,∴,解得或,又,故或都不符合題意;③當,即時,時二次函數取得最小值為,又已知二次函數最小值為6,∴,解得或,又,故符合題意;綜上所述,或.【點撥】本題考查待定系數求二次函數的解析式,二次函數的最值問題,不等式的解法等,計算過程中細心,熟練掌握二次函數的圖形及性質是解決本題的關鍵.【舉一反三】【變式1】關于二次函數,下列說法正確的是(
)A.函數圖象的開口向下 B.函數圖象的頂點坐標是C.該函數有最大值,最大值是5 D.當時,y隨x的增大而增大【答案】D【分析】由拋物線的表達式和函數的性質逐一求解即可.解:對于y=(x1)2+5,∵a=1>0,故拋物線開口向上,故A錯誤;頂點坐標為(1,5),故B錯誤;該函數有最小值,最小值是5,故C錯誤;當時,y隨x的增大而增大,故D正確,故選:D.【點撥】本題考查的是拋物線與x軸的交點,主要考查函數圖象上點的坐標特征,要求學生非常熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法,及這些點代表的意義及函數特征.【變式2】若二次函數的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于m,則m的值為.【答案】4【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=1,頂點為(1,4),由圖象上恰好只有三個點到x軸的距離為m可得m=4.解:∵,∴拋物線開口向上,拋物線對稱軸為直線x=1,頂點為(1,4),∴頂點到x軸的距離為4,∵函數圖象有三個點到x軸的距離為m,∴m=4,故答案為:4.【點撥】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征,能夠理解題意是解題的關鍵.【考點四】二次函數???二次函數的圖象與各項系數之間的關系【例4】如圖,拋物線的對稱軸為直線,與軸的一個交點為(2,0).(1)拋物線與軸的另一個交點坐標為;(2)雙曲線分居在第象限,直線不經過第象限;(3)有以下的說法:①;②;③;④若(0,),(1,)是拋物線上的兩點,則.上述說法中,正確的有.(填序號)【答案】(1)(-1,0);(2)二、四;四;(3)①②④【分析】(1)根據拋物線的對稱性求解即可;(2)根據拋物線的開口方向、與y軸的交點、對稱軸的位置判斷出a、b、c的符號,再根據反比例函數和一次函數的性質判斷函數圖象分布的象限即可;(3)根據拋物線的開口方向、與y軸的交點、對稱軸的位置判斷①;根據對稱軸為直線可判斷②;根據x=2時的函數值可判斷③;根據拋物線的對稱性可判斷④,進而可作出選擇.(1)解:∵該拋物線的對稱軸為直線,與軸的一個交點為(2,0).∴拋物線與軸的另一個交點坐標為(-1,0),故答案為:(-1,0);(2)解:∵該拋物線的開口向下,與y軸的正半軸相交,對稱軸為直線在y軸右側,∴a<0,b>0,c>0,∴雙曲線分居在第二、四象限,直線經過第一、二、三象限,不經過第四象限,故答案為:二、四;四;(3)解:①∵a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故①正確;②∵對稱軸為直線,∴a=-b,即a+b=0,故②正確;③∵圖象經過點(2,0),∴當x=2時,y=4a+2b+c=0,故③錯誤;④∵對稱軸為直線,∴(0,)關于直線對稱的點的坐標為(1,),∴,故④正確,綜上,正確的有①②④,故答案為:①②④.【點撥】本題考查二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、反比例函數的圖象與性質,熟練掌握各函數的圖象與對應系數的關系是解答的關鍵.【舉一反三】【變式1】如圖,拋物線的對稱軸是直線,且拋物線與x軸交于A,B兩點,若,則下列結論中:①;②;③;④;⑤若m為任意實數,則.正確的個數是(
)
A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】本題考查二次函數的性質,由拋物線開口方向,對稱軸位置,拋物線與y軸交點可得a,b,c的符號及a與b的關系,從而判斷①,由及對稱軸可得點B坐標,從而判斷②③④,由時y取最小值可判斷⑤.解:∵拋物線開口向上,,∵拋物線對稱軸為直線,,∵拋物線與y軸交點在x軸下方,,,①錯誤.設拋物線對稱軸與x軸交點為,則,
,,即點B坐標為,時,,,②錯誤.,,,③正確.當時,,④錯誤.時y取最小值,,即,⑤錯誤.故選:A.【變式2】已知二次函數的圖象如圖所示,給出以下結論:①;②;③,其中正確的結論有.(填序號)【答案】①②【分析】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸、與x軸、y軸的交點坐標以及最大值和最小值進行綜合判斷即可.解:由圖可知,x=1時,a+b+c<0,故①正確;∵拋物線與x軸有兩個交點,∴Δ=b2﹣4ac>0,故②正確;∵拋物線開口向下,∴a<0,∵拋物線對稱軸為直線x=﹣=﹣1,∴b=2a<0,故③錯誤;綜上所述,結論正確的是①②.故答案為:①②.【點撥】本題考查了二次函數圖象與系數的關系,二次函數y=ax2+bx+c系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定.【考點五】二次函數???二次函數圖象的變換【例5】如圖是二次函數的大致圖象.
(1)求該圖象頂點的坐標;(2)該圖象經過怎樣的平移可以得到函數的圖象?(3)將該圖象繞原點旋轉,直接寫出所得圖象對應的表達式.【答案】(1);(2)先向左平移個單位長度,再向上平移個單位長度;(3)【分析】本題主要考查二次函數圖象的性質,圖象的平移,旋轉的性質,掌握二次函數頂點式的計算方法,圖形平移的規律,二次函數圖象繞等知識是解題的關鍵.(1)運用配方法將二次函數一般式變為頂點式即可求解;(2)運用函數圖象的平移規律“左加右減(橫軸),上加下減(縱軸)”即可求解;(3)二次函數繞原點旋轉,則開口相反,頂點坐標變為原來坐標的相反數,由此即可求解.(1)解:∵,∴頂點坐標是.(2)解:∵,∴先向左平移1個單位長度得到,再向上平移4個單位長度得到,∴向左平移1個單位長度,再向上平移4個單位長度.(3)解:∵,即,頂點坐標為,∴該圖象繞原點旋轉,則,頂點坐標為,∴旋轉后所得圖象對應的表達式為.【舉一反三】【變式1】如圖,一條拋物線與x軸相交于M、N兩點(點M在點N的左側),其頂點P在線段上移動,若A、B的坐標分別為,點M的橫坐標的最小值為,則點N的橫坐標的最大值為()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】本題考查了二次函數圖象的平移,二次函數圖象的性質.熟練掌握二次函數圖象的平移是解題的關鍵.由當頂點為時,函數圖象的對稱軸為,M的橫坐標為,可得N的橫坐標為1,即,根據當在時,此時N的橫坐標最大進行求解即可.解:當頂點為時,函數圖象的對稱軸為,∵M的橫坐標為,∴N的橫坐標為1,∴當頂點為時,M點橫坐標為,∴N的橫坐標為4;故選:B.【變式2】拋物線的圖象先向左平移3個單位,再向上平移4個單位,再把拋物線繞頂點旋轉180°,得到的新圖象的解析式為.【答案】【分析】易得拋物線的頂點坐標,進而可得到平移后的新坐標,也就得到了平移后的拋物線的解析式,繞拋物線頂點旋轉180°得到新拋物線的解析式的二次項系數互為相反數,頂點坐標不變,即可解答.解:所以原拋物線的頂點為,向左平移3個單位,再向上平移4個單位,那么新拋物線的頂點為;可設新拋物線的解析式為,代入得:,把拋物線繞頂點旋轉180°,可得新拋物線的解析式的二次項的系數為,頂點不變,所以,所求的拋物線解析式為:,故答案為:.【考點六】二次函數???二次函數與一元二次方程【例6】設二次函數(b,c是常數)的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點.(1)若A,B兩點的坐標分別為,求函數的表達式及其圖象的對稱軸.(2)若函數表達式可以寫成(h是常數)的形式,求的最小值.(3)設一次函數(m是常數),若函數的表達式還可以寫成的形式,當函數的圖象經過點時,求的值.【答案】(1),對稱軸為:直線,詳見分析;(2)最小值為,詳見分析;(3)或,詳見分析.【分析】本題考查了二次函數的性質,待定系數法求解析式,二次函數與一元二次方程的關系,(1)根據待定系數法求解析式,再利用性質求出對稱軸即可求解;(2)根據等式的性質,構造以為函數的二次函數,求函數最值即可;(3)根據題意得出,將點代入,解方程即可得解.解:(1)依題意得,,解得:,∴拋物線解析式為,∴拋物線的對稱軸為:直線;(2)∵函數的表達式可以寫成,∴,∴,∴的最小值為;(3)∵,∴,∵函數的圖象經過點,∴,∴或.【舉一反三】【變式1】如圖,二次函數的圖象經過點,且其對稱軸是直線.那么一元二次方程的根是(
)A.B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了二次函數與x軸的交點橫坐標和一元二次方程的根的關系,求出關于直線對稱的點,兩個點的橫坐標即為所求.解:∵關于直線對稱的點是,∴、是拋物線與x軸的交點,∴是一元二次方程的根,故選:D.【變式2】下面表格是二次函數的自變量與函數值的部分對應值,由此可以判斷方程的一個解的范圍是.01217【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程與二次函數之間的關系,根據表格可知二次函數與x軸一個交點在直線和直線之間,則方程的一個解的范圍是.解:由表格可知,當時,,當,,∴二次函數與x軸一個交點在直線和直線之間,∴方程的一個解的范圍是,故答案為:.【考點七】二次函數???二次函數與不等式【例7】如果拋物線與x軸有兩個不同的公共點.(1)求k的取值范圍;(2)如果k的值為2,當時,求函數的取值范圍.【答案】(1);(2)【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系,二次函數的圖象和性質,掌握二次函數圖象和性質是解題的關鍵.(1)利用判別式的意義得到,然后解不等式即可;(2)根據二次函數的增減性求出函數值的取值范圍即可.解:(1)拋物線與x軸有兩個不同的公共點,∴,解得,即k的取值范圍是;(2)∵k的值為2,∴,∴該函數頂點坐標為,∵,∴當時取得最大值3,當時取得最小值,即當時,函數的取值范圍是.【舉一反三】【變式1】已知二次函數的圖象如圖所示,以下結論:①;②;③當或時,;④一元二次方程有兩個不相等的實數根.其中正確的是(
)A.①②③ B.②③④ C.③④ D.①②④【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數圖象與性質,二次函數與一元二次方程之間的關系,二次函數與不等式之間的關系;根據函數開口向上,對稱軸為直線,可得,,據此可判斷①;根據對稱性求出此函數圖象與x軸的另一個交點坐標為,由此即可判斷②③;根據二次函數與直線有兩個不相同的交點,可得一元二次方程有兩個不相等的實數根,即可判斷④.解:∵二次函數開口向上,∴,∵二次函數對稱軸為直線,∴,∴,故①錯誤;∵二次函數圖象與x軸的一個交點坐標為,∴二次函數圖象與x軸的另一個交點坐標為,∴,故②錯誤;由函數圖象可知,當或時,,故③正確;由函數圖象可知,二次函數與y軸交點坐標為,∴二次函數與直線有兩個不相同的交點,∴一元二次方程有兩個不相等的實數根,故④正確;故選C.【變式2】如圖,二次函數與一次函數為的圖象相交于A,B兩點,則不等式的解為.【答案】/【分析】本題考查二次函數與不等式(組),由圖象可知,與圖象的交點的橫坐標為和3,當時,的圖象在的圖象的下方,即可得答案.解:由圖象可知,與圖象的交點的橫坐標為和3,∵當時,的圖象在的圖象的下方,∴不等式的解為:,不等式的解為:.故答案為:.【考點八】二次函數???實際問題與二次函數【例8】某超市有甲、乙兩種商品,若買3件甲商品和2件乙商品,共需140元,若買4件甲商品和3件乙商品,共需195元.(1)求甲、乙兩種商品每件售價分別是多少元;(2)甲商品每件的成本是20元,根據市場調查,若甲商品按(1)中求出的單價銷售,該超市每天銷售甲商品100件,若甲商品按(1)中求出的銷售單價每上漲1元,甲商品每天的銷售量就減少5件,設甲商品按(1)中求出的單價上漲(元)銷售,甲商品每天的銷售利潤(元),直接寫出與之間的函數關系式,并求甲商品按(1)中求出的單價漲價多少元時,甲商品每天的銷售利潤最大,最大利潤是多少?【答案】(1)甲種商品每件售價為元,乙種商品每件售價為元;(2)當每天漲價5元時,甲商品每天的銷售利潤最大,最大利潤是1125元【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、二次函數的應用,理解題意,找準等量關系,正確列出二次函數以及得到函數關系式是解此題的關鍵.(1)設甲種商品每件售價為元,乙種商品每件售價為元,根據“若買3件甲商品和2件乙商品,共需140元,若買4件甲商品和3件乙商品,共需195元”,列出二元一次方程組,解方程組即可得到答案;(2)設甲商品按(1)中求出的單價上漲(元)銷售,則甲商品每件的利潤為元,銷售量為件,根據利潤單件利潤銷售量,由此可得出關于的關系式,再由二次函數的性質即可得出答案.(1)解:設甲種商品每件售價為元,乙種商品每件售價為元,由題意得:,解得:,甲種商品每件售價為元,乙種商品每件售價為元;(2)解:設甲商品按(1)中求出的單價上漲(元)銷售,則甲商品每件的利潤為元,銷售量為件,由題意得:,當時,最大,為1125元,當每天漲價5元時,甲商品每天的銷售利潤最大,最大利潤是1125元.【舉一反三】【變式1】有一個矩形苗圃園,其中一邊靠墻,另外邊用長為的籬笆圍成.已知墻長為,若平行于墻的一邊長不小于,設這個苗圃園的寬為,面積為,則與之間的函數表達式為()
A., B.,C., D.,【答案】B【分析】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式,根據各邊之間的關系,可得出,利用矩形的面積公式,可得出關于的函數關系式,再結合“墻長為,且平行于墻的一邊長不小于”,即可求出的取值范圍.根據各數量之間的關系,找出與的函數關系式是解題的關鍵.解:籬笆的總長為,,.根據題意得:.墻長為,且平行于墻的一邊長不小于,,,與之間的函數表達式為.故選:.【變式2】大型客機是我國首次按照國際通行適航標準自行研制,具有自主知識產權的噴氣式干線客機,如圖1,在某次大型客機過水門儀式中,兩條水柱從兩輛消防車中斜向上射出,形似拋物線,以兩車所連水平直線的中點為坐標原點,平行于的直線為軸,建立如圖2所示的平面直角坐標系,其函數關系式為,當兩輛消防車噴射口位置的水平距高為m時,“水門”最高點距離噴射口的豎直高度為m.【答案】【分析】本題考查二次函數的實際應用,先求出點的坐標,把點B的橫坐標代入解析式可得點B的縱坐標,即點C的縱坐標,用減去點的縱坐標即可.解:在中,當時,,∴,∵,∴,∴將代入,解得,∴,∴(m).故答案為:【考點九】二次函數???二次函數綜合問題【例9】如圖,已知直線與x軸,y軸交于B、A兩點,拋物過A、B兩點.
(1)求拋物線的解析式;(2)設P為線段上一動點(不與A、B重合),過P作軸交于M點,交拋物線于N點,當時,求點P的坐標;(3)N點到距離的最大值等于________.【答案】(1);(2);(3)【分析】本題主要考
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