專題21.10二次函數中的三大類型新定義問題【滬科版】考卷信息：本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生二次函數中的三大類型新定義問題的理解！【類型1二次函數問題中的新定義問題】1．（2023春·山東濟南·九年級統考期末）新定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數y=x2-2x+c（A．-5<c<4 B．0<c<1 C．【答案】D【分析】由點的縱坐標是橫坐標的2倍可得二倍點在直線y=2x上，由-1<【詳解】解：由題意可得二倍點所在直線為y=2將x=-1代入y=2x將x=4代入y=2x設A(-1,-2)，B聯立y=2x與y=即x∵拋物線與直線y=2∴Δ=4解得c<4當直線x=-1和直線x=4與拋物線交點在點A，B上方時，拋物線與線段把x=-1代入y=x把x=4代入y=x∴3+c解得c>0∴0<c故選D．【點睛】本題考查二次函數圖象與正比例函數圖象的交點問題，解題關鍵掌握函數與方程及不等式的關系，將代數問題轉化為圖形問題求解．2．（2023春·湖北咸寧·九年級統考期中）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數的二次函數稱為“互異二次函數”．若互異二次函數的對稱軸為直線x＝1且圖象經過點（﹣1，0），則這個互異二次函數的二次項系數是（

）A．12 B．14 C．1 D【答案】B【分析】根據函數的對稱軸和互異二次函數的特點計算即可；【詳解】由題可知：此函數的橫坐標與縱坐標互為相反數，且對稱軸為直線x＝1且圖象經過點（﹣1，0），設此函數為y=∴-b2a∴此函數的二次項系數為14故選B．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，準確計算是解題的關鍵．3．（2023春·廣西南寧·九年級統考期中）新定義：在平面直角坐標系中，對于點P（m，n）和點P′（m，n′），若滿足m≥0時，n′=n4；m＜0時，n′=n，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點．例如：點P1（2，5）的限變點是P1′（2，1），點P2（2，3）的限變點是P2′（2，3）．若點P（m，n）在二次函數y=x2+4x+2的圖象上，則當1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標n'的取值范圍是（

）A．-2≤n'≤2 B．1≤n'【答案】D【分析】根據新定義得到當m≥0時，n′=m2+4m+24=（m2）2+2，在0≤m≤3時，得到2≤n′≤2；當m＜0時，n′=m24m2=（m2）26，在1≤m＜0時，得到2≤n′≤3，即可得到限變點P′的縱坐標n'的取值范圍是2≤n′≤3．【詳解】解：由題意可知，當m≥0時，n′=m2+4m+24=（m2）2+2，∴當0≤m≤3時，2≤n′≤2，當m＜0時，n′=m24m2=（m2）26，∴當1≤m＜0時，2＜n′≤3，綜上，當1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標n'的取值范圍是2≤n′≤3，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據限變點的定義得到n′關于m的函數．4．（2023春·湖南長沙·九年級長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校考期末）定義：我們不妨把縱坐標是橫坐標2倍的點稱為“青竹點”．例如：點1,2、-2.5,-5……都是“青竹點”．顯然，函數y=x2的圖象上有兩個“青竹點”：(1)下列函數中，函數圖象上存在“青竹點”的，請在橫線上打“√”，不存在“青竹點”的，請打“×”．

①y=2x-1________；

②y=-x2(2)若拋物線y=-12x2-m+1（(3)若函數y=14x2+b-c+2x+a+【答案】(1)×；√；×(2)m(3)c【分析】（1）根據“青一函數”的定義直接判斷即可；（2）根據題意得出關于x的一元二次方程，再根據根的判別式得出關于m的不等式，即可求解；（3）根據題意得出關于x的一元二次方程，再根據根的判別式得出關于a的二次函數，利用二次函數最值求解即可．【詳解】（1）解：①令2x∴函數y=2x-1圖像上不存在“青竹點②令-x解得：x1=-1+2∴函數y=-x2+1圖像上存在“青竹點”-1+③令x2∴函數y=x2+2圖像上不存在“青竹點（2）解：由題意得-1整理，得x2∵拋物線y=-12x2-m∴Δ=解得m<3（3）解：由題意得1整理，得x∵函數y=14x2∴Δ整理，得a∴當b=c時，a的最小值為∵當-1≤b≤2時，a∴3-∴c=【點睛】本題屬于函數背景下新定義問題，主要考查二次函數的性質，二次函數與一元二次方程的關系，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數與方程的關系，一元二次方程根的判別式．5．（2023春·江蘇泰州·九年級統考期中）定義：兩個二次項系數之和為1，對稱軸相同，且圖像與y軸交點也相同的二次函數互為友好同軸二次函數.例如：y=2x2(1)函數y=14(2)當-1≤x≤4時，函數y=(1-a)(3)已知點(m,p),(m,q【答案】(1)y=(2)a=(3)當m=-4或m=0時，p=q；當m【分析】（1）根據友好同軸二次函數的定義，找出y=（2）根據友好同軸二次函數的定義，找出y=(1-（3）先根據友好同軸二次函數的定義，找出y1=ax2+4ax【詳解】（1）設友好同軸二次函數為y=由函數y=對稱軸為直線x=--22×1∴a=1-14=∴b∴友好同軸二次函數為y=（2）由函數y=(1-a)該函數的友好同軸二次函數為y=①當a>0時，x=4時，解得：a=②當a<0時，x=1時，解得：a=-2綜上所述，a=（3）由函數y1該函數的友好同軸二次函數為y2把(m,pp=am則p-∵a∴(2a①當p-q>0時，pm2解得：m<-4②當p-q<0時，pm2解得：-4<③當p-q=0時，pm2解得：m=-4綜上所述，當m=-4或m當m<-4或m當-4<m<0【點睛】本題考查二次函數的性質以及新定義問題，掌握二次函數的基本性質以及研究手段，準確根據題意求出符合要求的友好同軸二次函數是解題關鍵．6．（2023春·浙江金華·九年級校考期中）定義：若拋物線y＝ax2+bx+c與x軸兩交點間的距離為4，稱此拋物線為定弦拋物線．(1)判斷拋物線y＝x2+2x﹣3是否是定弦拋物線，請說明理由；(2)當一定弦拋物線的對稱軸為直線x＝1，且它的圖像與坐標軸的交點間的連線所圍成的圖形是直角三角形，求該拋物線的表達式；(3)若定弦拋物線y＝x2+bx+c（b＜0）與x軸交于A、B兩點（A在B左邊），當2≤x≤4時，該拋物線的最大值與最小值之差等于OB之間的距離，求b的值．【答案】(1)是定弦拋物線，理由見解析(2)y=-3(3)b＝﹣4或-【分析】（1）令y＝0，求出與x軸的交點坐標，可判斷；（2）分開口向上向下討論，利用定弦拋物線的定義和對稱軸可求出與x軸交點坐標，用相似求出與y軸交點坐標，代入可得答案；（3）根據對稱軸和所給范圍分情況討論即可．【詳解】（1）解：當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，則|x1x2|＝4，即該拋物線是定弦拋物線；（2）：當該拋物線開口向下時，如圖所示．∵該定弦拋物線的對稱軸為直線x＝1，設C則n解得：m∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED為直角三角形∴由題意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，3）設該定弦拋物線表達式為y=把E（0，3）代入求得a∴該定弦拋物線表達式為y=-當該拋物線開口向上時，同理可得該定弦拋物線表達式為y=∴綜上所述，該定弦拋物線表達式為y=-33（3）解：若-b2≤2，則在2≤x當x＝4時該定弦拋物線取最大值，當x＝2時該定弦拋物線取最小值．∴l6+4b+c(4+2b+c)＝-b2解得：b＝﹣4，∵-b2∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若2≤-b2≤3，則在2≤x當x＝4時該定弦拋物線取最大值，當x＝-b∴16+4b+c﹣4c-b2解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤-b2∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若3<-b2≤4，則在2≤x當x＝2時該定弦拋物線取最大值，當x＝-b∴4+2b+c﹣4c-b2解得：b＝﹣5±17∵3<-b2∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5±17若-b2＞4，則在2≤x當x＝2時該定弦拋物線取最大值，當x＝4時該定弦拋物線取最小值．∴4+2b+c(16+4b+c)＝-b2解得：b＝283∵-b2＞∴b＜﹣8，∴b＝﹣283∴綜上所述b＝﹣4或-28【點睛】本題考查了二次函數的綜合性質，包括與x軸交點問題，最值問題，以及和相似的結合，準確地理解定弦拋物線的定義以及分類討論是解決本題的關鍵．7．（2023春·浙江·九年級期末）定義：若拋物線y1=a1x+h2+k1與拋物線(1)已知拋物線y1=-14x(2)如圖1，將一副邊長為42的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點為原點，直線BC為x軸建立平面直角坐標系，設經過點A，E，D的拋物線為y1，經過A、B、C的拋物線為y2，請立接寫出y【答案】(1)y(2)y1=-18x2+8【分析】（1）將y2=x2-2x-3化作頂點式，可求出a2，h和k2的值，根據“（2）根據七巧板各個圖形之間的關系可求出各個圖形的邊長，進而可表示點A，B，C，D，E的坐標，分別求出y1和y2的解析式，再根據“共軛拋物線【詳解】（1）解：y2∴a2=1，h=-1∵拋物線y1=-1∴a1=a2-y1（2）解：如圖，由題意得，DF=AF=42，則AG=GF=DG=∵點O為BC的中點，∴BO=∴B-2,0，C2,0，A-4,6∴可設拋物線y1=a∴-16a1+6=8，-4+2∴拋物線y1拋物線y2∴a1=-18，h=0，k1=8∵-18×∴滿足a2=-4a∴y1、y【點睛】本題屬于二次函數的新定義類問題，主要考查利用待定系數法求函數表達式，二次函數的頂點式，一般式及交點式三種方式的變換，熟知相關運算是解題關鍵．8．（2023春·湖南長沙·九年級校聯考期末）定義：如果拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(1)求拋物線y=(2)求拋物線y=(3)設m，n為正整數，且m≠1，拋物線y=x2+4-mtx-4mt的雅禮弦長為l1，拋物線y=-x2+t【答案】(1)4(2)2(3)m=2，n=2或m【分析】（1）根據定義求得拋物線與x軸的交點坐標即可求解；（2）根據（1）的方法求得AB=(n（3）根據題意，分別求得l1,l2，根據s=l12-l22，求得出s與【詳解】（1）解：x2x-∴x1=3∴雅禮弦長AB=4（2）x2+(n∴AB∵Δ=(n∴AB∵1≤n∴當n=1時，AB最小值為2當n=3時，AB最大值小于2∴22（3）由題意，令y=∴x1+則l1同理l2s=(∵m∴要不論t為何值，S≥0即：(m由題意得：m2-1>0解得：(mn-4∵m，n為正整數，且m則m=2，n=2或m=4【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸交點問題，一元二次方程根與系數的關系，綜合運用以上知識是解題的關鍵．9．（2023春·河南濮陽·九年級統考期中）小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．求函數y=x23x2的“旋轉函數”．小明是這樣思考的：由函數y=x23x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，根據a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數的“旋轉函數”．請參考小明的方法解決下面問題：(1)直接寫出函數y=x23x2的“旋轉函數”；(2)若函數y=-x2+43mx-2與y=x22nx+n互為“旋轉函數(3)已知函數y=12(x-1)(x+4)的圖象與x軸交于點A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，試證明經過點A1，B1【答案】(1)y＝x23x＋2；(2)1(3)見解析【分析】（1）根據y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”，可得a2，b2，c2，可得旋轉函數；（2）根據y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”，可得a2，b2，c2，根據負數奇數次冪是負數，可得答案；（3）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B、C的坐標，根據關于原點對稱的點橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，可得A1，B1，C1，根據待定系數法，可得函數解析式；根據y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”，可得a2，b2，c2，可得旋轉函數．【詳解】（1）解：由y=x23x2函數可知a1＝1，b1＝3，c1＝?2．由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得a2＝1，b2＝3，c2＝2．函數y＝x2＋3x?2的“旋轉函數”為y＝x23x＋2；（2）由y=-x2+43mx-2與y＝x2?得?2n＝43m，?2＋n＝解得n＝2，m＝?3．當m＝2，n＝?3時，(m+n)2020＝（2?3）2020＝（?1）2020＝1；（3）∵當y＝0時，12(x-1)(x+4)=0，解得x＝∴A（?1，0），B（4，0）．當x＝0時，y＝12×（?4）＝2，即C（0，2由點A，B，C關于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（?4，0），C1（0，2）．設過點A1，B1，C1的二次函數y＝a(x+1)x-4，將C1解得a=-∴過點A1，B1，C1的二次函數y=-1而y∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，∴經過點A1、B1、C1的二次函數與函數y=12(x【點睛】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握關于原點對稱的兩點的坐標特征；會求二次函數圖象與坐標軸的交點和待定系數法求二次函數解析式；對新定義的理解能力．10．（2023春·山西大同·九年級統考期中）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：定義：我們把自變量為x的二次函數y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c（任務：（1）寫出二次函數y=x2+3x-4（2）二次函數y=x2+3x-4的圖像與x軸交點的橫坐標為1和-4，它的“親密函數”的圖像與x軸交點的橫坐標為______，猜想二次函數y=ax2+（3）二次函數y=x2+bx-2021的圖像與x軸交點的橫坐標為1和-2021【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）4和1；互為相反數；（3【分析】（1）根據二次函數y=x2+3x（2）利用“親密函數”建立y=0時方程，解方程，得出“親密函數”與x軸交點橫坐標，與原函數與x軸交點橫坐標比較，得出規律即可；（3）先將函數變形，發現與“親密函數”類似，根據原函數與x軸交點橫坐標得出“親密函數”與x軸交點橫坐標，利用2x等于交點橫坐標，求出x得出所求函數與x軸的交點橫坐標即可．【詳解】解：（1）二次函數y=x2+3x-4故答案為：y=（2）x2-3它的“親密函數”的圖像與x軸交點的橫坐標為4和1，∴二次函數y=ax2+bx+c（b2故答案為4和1；互為相反數；（3）y=4∵二次函數y=x2+bx-2021∴二次函數y=x2-bx-2021∴y=4x2-2bx-∴2x=1,2x=2021，∴x=-12∴二次函數y=4x2-2bx-【點睛】本題考查新定義函數，仔細閱讀題目，抓住實質，拋物線與x軸交點橫坐標和一元二次方程的根，利用“親密函數”變形得出新函數圖像與x軸的交點橫坐標是解題關鍵．【類型2二次函數與一次函數綜合問題中的新定義問題】1．（2023春·九年級課時練習）定義：由a，b構造的二次函數y=ax2+a+bx+b叫做一次函數y＝ax＋b的“滋生函數”，一次函數y＝ax＋b叫做二次函數y=ax2+a+bx+b的“本源函數”（a，b為常數，且【答案】y【分析】由“滋生函數”和“本源函數”的定義，運用待定系數法求出函數y=【詳解】解：由題意得﹣解得a∴函數y=ax故答案為：y=【點睛】本題考查新定義運算下的一次函數和二次函數的應用，解題關鍵是充分理解新定義“本源函數”．2．（2023春·浙江湖州·九年級統考期中）定義：如果函數圖象上存在橫?縱坐標相等的點，則稱該點為函數的不動點．例如，點1,1是函數y=-2x+3的不動點．已知二次函數y(1)若點-1,-1是該二次函數的一個不動點，求b(2)若該二次函數始終存在不動點，求b的取值范圍．【答案】(1)1+3或(2)b【分析】（1）根據“不動點”定義，建立方程求解即可；（2）根據不動點的定義求出函數，再根據判別式計算即可．【詳解】（1）解：依題意把點-1,-1代入解析式y得-1=1-2b+2+b（2）解：設點t,t是函數則有t=t2∵關于t的方程有實數解，∴Δ=2b【點睛】本題考查了二次函數與新定義“不動點”應用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情況與判別式等知識，解題的關鍵是理解并利用新定義解決問題．3．（2023·安徽·模擬預測）已知函數y1=2kx+k與函數y2(1)若k=2，則“和函數”y=(2)若“和函數”y為y=x2+bx-2(3)若該“和函數”y的頂點在直線y=-x上，求【答案】(1)x2(2)-5，-(3)k=3或-【分析】（1）將k=2代入函數y1=2kx+（2）y的解析式為y=y1+y（3）先得出和函數y=y1+y【詳解】（1）解：當k=2時，y∵函數y2=x∴y=4故答案為：x2（2）解：∵函數y1=2kx+k∴和函數y的解析式為y=∵和函數y的解析式為y=∴b=2k-∴k=-5，b故答案為：-5，-（3）解：由題意得和函數為y==（∴和函數的頂點為（1-∵和函數的頂點在y=-∴-k整理得k2解得k1=3，故答案為：k=3或-【點睛】此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數的頂點坐標、二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．4．（2023·北京·模擬預測）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy，對兩點Ax1,y1(1)①已知點A-2,1，則d②函數y=-2x+40≤x≤2的圖象如圖①所示，(2)函數y=x2-5x+7x≥0【答案】(1)①3，②1,2(2)3，2,1【分析】（1）①根據公式dA,B=x1-x2+y1-y2直接計算即可；②根據函數y（2）函數y=x2-5x+7化為頂點式為：y=x-522+34，即可得【詳解】（1）①∵A-2,1，∴dO故答案為：3；②∵點B是函數y=-2∵函數y=-2∴xB≥0，yB∵dO∴0-x∴xB∵yB∴yB解得：xB∴B點坐標為：1,2，（2）函數y=x2∴y=∵x≥0，點D∴yD≥34，∴dO∴dO∴dO∴當xD=2時，dO∴yD∴D點坐標為：2,1，即最小值為3，D點坐標為2,1．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，充分理解定義的兩點間距離：dA5．（2023春·上海·九年級上海市民辦新復興初級中學校考期中）我們定義【a，b，c】為函數y=ax2+bx+c的“特征數”，如：函數y=2x2-3x+5的“特征數”是【2，-(1)若一個函數的“特征數”是【1，-4，1】，將此函數圖像先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到一個圖像對應的函數“特征數”是______(2)將“特征數”是【0，-33，-1】的圖像向上平移2(3)在（2）中，平移前后的兩個函數圖像分別與y軸交于A、B兩點，與直線x=-3分別交于D、C兩點，在給出的平面直角坐標系中畫出圖形，并求出以A、B、C、(4)若（3）中的四邊形與“特征數”是【1，-2b，b2【答案】(1)【1，0，-2(2)y(3)圖見解析；面積為2(4)-【分析】（1）由已知可知y=x2-4x+1（2）由已知可知函數為y=-33（3）令x=0，求出A(0,-1)，B(0,1)，令x=-3，求出D-3（4）由已知可得y=x2-2bx+b2【詳解】（1）解：∵函數的特征數是【1，-4，1∴函數為y=將函數向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到y=∴函數y=x2-2的“特征數”是【1故答案為：【1，0，-2（2）∵函數的“特征數”是【0，-33，∴y=-∵函數圖象向上平移2個單位，∴平移后函數為y=-故答案為：y=-（3）解：令x=0，則A∴AB=2令x=-3，則D-∴CD=2，AO∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=∴四邊形ABCD是菱形．S四邊形（4）∵函數的“特征數”是【1，-2b，∴y=∴由函數圖象得：函數與AD邊無交點，∴函數與BC邊有交點，將B(0,1)代入函數y=x將C-3，2代入函數∴-3【點睛】本題考查二次函數的綜合、新定義，函數的平移，理解定義，能將定義與所學函數知識結合是解題的關鍵．6．（2023春·福建龍巖·九年級校考期末）定義：對于給定的兩個函數，任取自變量x的一個值，當x<0時，它們對應的函數值互為相反數；當x≥0時，它們對應的函數值相等．我們稱這樣的兩個函數互為相關函數．例如：一次函數y=x(1)已知點A（2，1）