宿州市重點中學2025屆高二上數學期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e2．已知雙曲線的離心率為5，則其標準方程為()A. B.C. D.3．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.4．數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．若對任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.35．雙曲線的焦點坐標是（）A. B.C. D.6．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結論是A.B.C.D.7．在數列中，，，則（）A. B.C. D.8．已知不等式的解集為，關于x的不等式的解集為B，且，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.9．若直線與曲線只有一個公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或10．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)11．圓錐曲線具有豐富的光學性質，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．直線l：與橢圓C：相切于點P，橢圓C的焦點為，，由光學性質知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（）A. B.C. D.12．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點（點在軸上方），_________14．若函數解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.15．已知拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，過點F和的直線l與拋物線C交于P，Q兩點.若，則________.16．設圓，圓，則圓有公切線___________條.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，其圓心在直線上.（1）求的值；（2）若過點的直線與相切，求的方程.18．（12分）已知首項為1的數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前n項和.19．（12分）已知點F是拋物線和橢圓的公共焦點，是與的交點，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點，與橢圓交于，，點關于軸的對稱點為.求的最大值及相應的.20．（12分）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.21．（12分）已知等差數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.22．（10分）若存在實常數k和b，使得函數和對其公共定義域上的任意實數x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數，.（1）證明函數在內單調遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】對函數求導，然后求出函數的單調區(qū)間，從而可求出函數的最大值【詳解】由，得，當時，，當，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，故選：A2、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關系即可求得m，從而得到雙曲線的標準方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.3、D【解析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.4、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對各選項逐一驗證可得選項.【詳解】解：因為數列是公差不為零的等差數列，為其前n項和．對任意的，都有，所以，即，解得，則當時，，不成立；當時，，成立；當時，，成立；當時，，成立；所以的值不可能是，故選：A.5、B【解析】根據雙曲線的方程，求得，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點再軸上，所以雙曲線的焦點坐標為.故選：B.6、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）7、A【解析】根據已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.8、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數求解即可.【詳解】由得，，解得，因為，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，當時，，故故選：B9、D【解析】根據曲線方程的特征，發(fā)現曲線表示在軸上方的圖象，畫出圖形，根據圖形上直線的三個特殊位置，當已知直線位于直線位置時，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去得到關于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時對應的的值；當已知直線位于直線及直線的位置時，分別求出對應的的值，寫出滿足題意得的范圍，綜上，得到所有滿足題意得的取值范圍【詳解】根據曲線，得到，解得：；，畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當直線在直線的位置時，直線與橢圓相切，故只有一個交點，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡得：，解得或(舍去)，則時，直線與曲線只有一個公共點；當直線在直線位置時，直線與曲線剛好有兩個交點，此時，當直線在直線位置時，直線與曲線只有一個公共點，此時，則當時，直線與曲線只有一個公共點，綜上，滿足題意得的范圍是或故選：D10、B【解析】應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件，再根據題設不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設，，當且僅當時等號成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.11、A【解析】先求得點坐標，然后求得的角平分線所在的直線的方程.【詳解】，直線的斜率為，由于直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的斜率為，所以所求直線方程為.故選：A12、B【解析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，據此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補角，當∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.14、【解析】由題意先判斷函數為偶函數，再利用的導函數判斷在上單調遞增，根據偶函數的對稱性得上單調遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數，當時，，故函數在上單調遞增.為偶函數，在上單調遞減.要使成立，即.故答案為：.15、9【解析】根據拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，求得拋物線方程.再由和，得到點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯立求得的坐標，再由兩點間距離公式求解.【詳解】由拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，所以，所以拋物線方程為.因為，，所以點P的縱坐標為1，代入拋物線方程，可得點P的橫坐標為，不妨設，則，故直線l的方程為，將其代入得.可得，故.故答案為：9【點睛】本題主要考查拋物線的方程與性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.16、2【解析】將圓轉化成標準式，結合圓心距判斷兩圓位置關系，進而求解.【詳解】由題意得，圓：，圓：，∴，∴與相交，有2條公切線.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）將圓的一般方程化為標準方程，求出圓心，代入直線方程即可求解.（2）設直線的方程為：，利用圓心到直線的距離即可求解.【小問1詳解】圓的標準方程為：，所以，圓心為由圓心在直線上，得.所以，圓的方程為：【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為：，即由于直線和圓相切，得解得：所以，直線方程為：或.18、（1）（2）【解析】（1）由，構造是以為首項，為公比等比數列，利用等比數列的通項公式可得結果；（2）由（1）得，利用裂項相消可求.【小問1詳解】由，得，又，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，則，即，故數列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以.因為，所以，所以數列的前n項和.19、（1）；（2），.【解析】（1）根據題意可得，然后根據，，計算可得，最后可得結果.（2）假設直線的方程為，根據與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯立，計算，然后計算點到的距離，計算，利用函數性質可得結果.【詳解】（1）由題意知：，.，得：，所以.所以的方程為.（2）設直線的方程為，則由，得得：所以直線的方程為.由，得得.又，所以點到的距離為..令，則，.此時，即【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題，本題著重考查對問題分析能力以及計算能力，屬難題.20、(1)；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）先連結，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結果；（2）先由題意得到，滿足條件的點存在，當且僅當，，，根據三個式子聯立，結合題中條件，即可求出結果.【詳解】（1）連結，由等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿足條件的點存在，當且僅當，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當，時，存在滿足條件的點.故，a的取值范圍為.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質即可求解，考查計算能力，屬于中檔試題.21、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問2詳解】解：，因此，.22、（1）見解析（2）見解析【解析】（