PAGE課時素養評價十八平面對量基本定理(20分鐘35分)1.設e1,e2是平面內全部向量的一組基底,則下列四組向量中,不能作為基底的是 ()A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2【解析】選B.因為6e1-8e2=2(3e1-4e2),所以(6e1-8e2)∥(3e1-4e2),所以3e1-4e2和6e1-8e2不能作為基底.2.已知點M是△ABC的邊BC的中點,點E在邊AC上,且=2,則向量= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選C.=2?=QUOTE,所以=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE.3.如圖,在△ABC中,=a,=b,=4,用向量a,b表示,正確的是 ()A.=QUOTEa+QUOTEb B.=QUOTEa+QUOTEbC.=QUOTEa+QUOTEb D.=QUOTEa-QUOTEb【解析】選C.因為=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTEa+QUOTEb.4.設a是已知的平面對量且a≠0,關于向量a的分解,有如下四個說法:①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c;②給定向量b和c,總存在實數λ和μ,使a=λb+μc;③給定單位向量b和正數μ,總存在單位向量c和實數λ,使a=λb+μc;④給定正數λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc;上述說法中的向量b,c和a在同一平面內且兩兩不共線,則正確的個數是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.利用向量加法的三角形法則,易得①正確;利用平面對量的基本定理,易得②正確;以a的終點作半徑為μ的圓,這個圓必需和向量λb有交點,這個不肯定能滿意,③錯誤;由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊),即|λb|+|μc|=λ+μ>|a|,而給定的λ和μ不肯定滿意此條件,所以④錯誤.5.設D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,AD=QUOTEAB,BE=QUOTEBC,若=λ1+λ2(λ1,λ2為實數),則λ1+λ2的值為.

【解析】由=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(-)=-QUOTE+QUOTE,則λ1+λ2的值為QUOTE.答案:QUOTE6.在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點.=QUOTE,=a,=b,求證:B,E,F三點共線.【解題指南】利用基底表示出,,然后證=λ(λ∈R)得出三點共線.【證明】因為D是BC的中點,所以有=QUOTE(a+b).=QUOTE=QUOTE(a+b),=QUOTE=QUOTEb,=-=QUOTE(a+b)-a=QUOTE(b-2a),=-=QUOTE(b-2a),所以=QUOTE,又,有公共點B,所以B,E,F三點共線.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·臺州高一檢測)已知點G為△ABC的重心,若=a,=b,則= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.-QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa-QUOTEb D.-QUOTEa-QUOTEb【解析】選B.設D是AC中點,則=QUOTE(+),又G為△ABC的重心,所以=QUOTE=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE(+)=QUOTE(-+-)=-QUOTE+QUOTE=-QUOTEa+QUOTEb.2.設O,A,B,M為平面上四點,=λ+(1-λ),λ∈(0,1),則 ()A.點M在線段AB上 B.點B在線段AM上C.點A在線段BM上 D.O,A,B,M四點共線【解析】選A.因為=λ+(1-λ),所以-=λ(-),即=λ,又0<λ<1,所以點M在線段BA上.3.已知a,b是兩個不共線的向量,m,n∈R且ma+nb=0,則 ()A.a=0,n=0 B.m,n的值不確定C.m=n=0 D.m,n不存在【解析】選C.因為a,b是兩個不共線的向量,ma+nb=0,故m=n=0.4.在△ABC中,點E為AB邊的中點,點F為AC邊的中點,BF交CE于點G,若=x+y,則xy等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由題意知:G是△ABC的重心,延長AG與邊BC交于點D,所以=QUOTE=QUOTE+QUOTE,又因為點E為AB邊的中點,點F為AC邊的中點,故=2,=2,則=QUOTE+QUOTE,即x=y=QUOTE,所以xy=QUOTE.【誤區警示】本題中由E,F為中點即可推斷出G為重心,若推斷不出則易出錯.5.如圖,在△ABC中,點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若=m,=n,則m+n的值為 ()A.1 B.2 C.3 【解析】選B.因為O為BC中點,所以=QUOTE(+),又O在MN上,所以=λ,則有-=λ(-),所以=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以有QUOTE①+②得QUOTE=QUOTE,進而有m+n=2.【光速解題】選B.從題目可以看出直線MN改變過程中m+n為定值,故可以令MN與直線BC重合,即=,=,此時m=1,n=1,故m+n=2.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·邯鄲高一檢測)如圖所示,在△ABC中,BC=30,點D在BC邊上,點E在線段AD上,若=QUOTE+QUOTE,則BD=.

【解題指南】本題首先可依據點D在BC邊上,設=λQUOTE,然后將=QUOTE+QUOTE化簡為=QUOTE+QUOTE,依據點E在線段AD上解得λ=QUOTE,最終通過計算即可得出結果.【解析】因為點D在BC邊上,所以可設=λQUOTE,所以=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,因為點E在線段AD上,所以A,E,D三點共線,所以QUOTE+QUOTE=1,解得λ=QUOTE,所以CD=30×QUOTE=18,BD=30-18=12.答案:127.已知e1與e2不共線,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a與b是一組基底,則實數λ的取值范圍是.

【解析】當a∥b時,設a=mb,則有e1+2e2=m(λe1+e2),即e1+2e2=mλe1+me2,所以QUOTE解得λ=QUOTE,即當λ=QUOTE時,a∥b.又a與b是一組基底,所以a與b不共線,所以λ≠QUOTE.答案:QUOTE∪QUOTE8.如圖,在△ABC的邊AB,AC上分別取點M,N,使=QUOTE,=QUOTE,BN與CM交于點P,若=λ,=μ,則QUOTE的值為.

【解析】由題意=-=-QUOTE,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,=-=-QUOTE,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,依據平面對量基本定理,可得QUOTE所以μ=QUOTE,λ=4,所以QUOTE=QUOTE=6.答案:6三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知點G是△ABC的重心,=2.(1)用和表示;(2)用和表示.【解析】(1)設BC的中點為M,則2=+,所以=QUOTE,因為G為△ABC的重心,因此,=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)因為=2,所以=QUOTE,因此,=-=QUOTE-QUOTE=QUOTE.10.設e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)證明:a,b可以作為一組基底.(2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)若a,b共線,則存在λ∈R,使a=λb,則e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共線得,QUOTE?QUOTE所以λ不存在,故a與b不共線,可以作為一組基底.(2)設c=ma+nb(m,n∈R),得3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,所以QUOTE?QUOTE所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.所以QUOTE?QUOTE故所求λ,μ的值分別為3和1.如圖所示,OM∥AB,點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區域內(不含邊界)運動,且=x+y.(1)求x的取值范圍.(2)當x=-QUOTE時,求y的取值范圍.【解析】(1)因為=x+y,以OB和OA的反向延長線為兩鄰邊作平行四邊形,由向量加法的平行四邊形法則可知OP為此平行四邊形的對角線,當OP長度增大且靠近OM時,x趨向負無窮大,所以x的取值范圍是(-∞,0).(2)如圖所示,當x=-QUOTE時,在OA的反向延長線取點C,使OC=QUOTEOA,過C作CE∥OB,分別交OM和AB的延長線于點D,E,則CD=QUOTEOB,CE=QUOTEOB,要使P點落在指定區域內,則P點應落在DE上,當點P在點D處時,由相像三角形知,CD=QUOTEOB,=-QUOTE+QUOTE,當點P在點E處時,由相像三角形知,CE=QUOTEOB,=-QUOTE+QUOTE,所以y的取值范圍是QUOTE.【補償訓練】(2024·長沙高一檢測)如圖所示,在△ABC中,=,=QUOTE,BQ與CR相交于點I,AI的延長線與邊BC交于點P.(1)用和分別表示和;(2)假如=+λ=+μ,求實數λ和μ的值;(3)確定點P在邊BC上的位置.【解析】(1)=-=QUOTE-,=-=QUOTE-.(2)由(1)知:=+λ=QUOTE+QUOTE,