專題2.1有理數的混合運算典例分析典例分析【典例1】問題情境：數學活動課上，王老師出示了一個問題：11×2=1?12，12×3（1）利用規律計算：11×2（2）問題拓展：求11×3（3）問題解決：求11+2【思路點撥】本題主要考查了數字的變化類，有理數的混合運算，解題關鍵觀察已知條件，找出解題的方法和技巧．（1）把各個加數拆成兩個分子是1，分母是原數分母的兩個分數相減，然后相鄰的兩個互為相反數相加即可；（2）把各個算式寫成12乘以分母中的兩個數為分母，分子是1的兩個分數的差的形式，然后提取公因數1（3）把各個加數的分母計算后都乘以12【解題過程】（1）解：依題意，∵11×2=1?12，12×3∴1=1?=1?=2021（2）解：1====1011（3）解：∵11+2=111+2+3=111+2+3+4=1……112023×1011所以原式=2×=2×=2×=2×=2021學霸必刷學霸必刷1．（23-24七年級上·四川德陽·階段練習）計算下列各題（1）?1（2）?2（3）?5（4）100÷(?2)（5）?2（6）(?3)22．（23-24七年級上·河南新鄉·階段練習）計算（1）?1（2）?（3）1（4）?3．（23-24七年級下·重慶南岸·開學考試）計算：（1）?2（2）?370×（3）999+(?999)×(?999)+999?999999；（4）124．（23-24七年級上·重慶沙坪壩·期中）計算：2755．（23-24七年級上·廣東廣州·開學考試）能簡算的要簡算：（1）1516（2）1.24+57（3）51×68×78÷（4）11126．（24-25七年級上·全國·假期作業）計算下列各題，能簡算的要簡算．（1）62.5（2）3.8÷（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390（4）15.8?（5）2005×2006?1（6）97．（24-25七年級上·全國·假期作業）用靈活而合理的方法計算．（1）2000÷2000（2）1（3）498×381+382（4）1008．（24-25七年級上·全國·假期作業）計算題．（1）522÷522（2）1（3）5（4）29．（23-24七年級上·山東菏澤·開學考試）簡便計算（1）1（2）4.44÷4（3）7（4）2015×10．（23-24七年級上·江蘇南京·階段練習）簡便計算：（1）12（2）1911．（23-24七年級上·四川成都·開學考試）下列各題要寫出主要計算過程（1）56×（2）42（3）3（4）1+2×1（5）1+212．（24-25七年級上·全國·假期作業）計算題：（1）1（2）1?（3）5（4）113．（23-24七年級上·廣西南寧·開學考試）脫式簡算：（1）18×3（2）411（3）1114．（23-24六年級上·上海楊浦·階段練習）計算：（1）1（2）115．（23-24七年級上·安徽合肥·期末）觀察下列算式：3+4=7，32+42=2535+45=1267，（1）①________，②________；（2）求3+316．（23-24七年級上·浙江寧波·階段練習）觀察下列等式．11×2=1?12，將以上三個等式兩邊分別相加得：11×2（1）猜想并寫出：1n（2）直接寫出下列各式的計算結果：①11×2②11×2（3）探究并計算：①11×3②11×317．（23-24七年級上·廣東東莞·階段練習）觀察下列式子：1將以上三個等式兩邊分別相加得：11×2（1）直接寫出結果：11×2（2）請用上述方法計算（寫出具體過程）：11×3（3）直接寫出計算結果：11+2（4）直接寫出計算結果：11×2×318．（23-24七年級上·山東濟南·期中）【概念學習】規定：求若干個相同的有理數(均不等0)的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，?3÷?3÷?3÷?3等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，?3一般地，把a÷a÷a÷．．．÷an個(a≠0)記作a?，讀作“【初步探究】（1）直接寫出計算結果：?3④=【深入思考】我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，那有理數的除方運算也可以轉化為乘方運算．（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．5⑤=；(?1（3）將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式：a?=（4）利用（3）的結論計算：619．（23-24六年級上·山東威海·期末）如圖，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推．（1）陰影部分的面積是______；（2）以下是甲，乙兩位同學求S=1甲同學的方法：利用已給正方形圖形求，S=1?S乙同學的方法：S=12S=1+1②－①即可．根據兩位同學的方法，你認為S=______；（3）12（4）計算：12（5）請借助甲，乙同學的方法，分別求出1420．（23-24七年級上·四川內江·期中）請閱讀以下材料完成以下題目．【閱讀材料一】觀察下面三個特殊的等式：第①式：1×2=1第②式：2×3=1第③式：3×4=1將這三個等式的兩邊相加，可以得到：1×2+2×3+3×4=1讀完這段材料，請你思考后回答：（1）1×2+2×3+3×4+?+20×21=（2）1×2+2×3+3×4+?+nn+1=（用含【閱讀材料二】觀察下列幾個等式第①式：12第②式：12第③式：12第④式：12請你思考后解答下列問題（1）12（2）12+22（3）計算：212【拓展應用】直接寫出下式的結果：233專題2.1有理數的混合運算典例分析典例分析【典例1】問題情境：數學活動課上，王老師出示了一個問題：11×2=1?12，12×3（1）利用規律計算：11×2（2）問題拓展：求11×3（3）問題解決：求11+2【思路點撥】本題主要考查了數字的變化類，有理數的混合運算，解題關鍵觀察已知條件，找出解題的方法和技巧．（1）把各個加數拆成兩個分子是1，分母是原數分母的兩個分數相減，然后相鄰的兩個互為相反數相加即可；（2）把各個算式寫成12乘以分母中的兩個數為分母，分子是1的兩個分數的差的形式，然后提取公因數1（3）把各個加數的分母計算后都乘以12【解題過程】（1）解：依題意，∵11×2=1?12，12×3∴1=1?=1?=2021（2）解：1====1011（3）解：∵11+2=111+2+3=111+2+3+4=1……112023×1011所以原式=2×=2×=2×=2×=2021學霸必刷學霸必刷1．（23-24七年級上·四川德陽·階段練習）計算下列各題（1）?1（2）?2（3）?5（4）100÷(?2)（5）?2（6）(?3)2【思路點撥】本題主要考查了有理數的混合運算，熟練掌握有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．是解答此題的關鍵．（1）先運算乘方和括號內的減法，然根據有理數的除法可以解答本題；（2）先運算乘方，然后運算乘除，最后運算加減解答本題；（3）運用乘法分配律計算即可；（4）先運算乘方，然后運算乘除，最后運算加減解答本題；（5）先運算乘方，然后運算乘除，最后運算加減解答本題；（6）先運算乘方，然后運算乘除，最后運算加減解答本題；【解題過程】（1）解：?=?1÷=6；（2）解：?=?4×=2+2=4；（3）?=5+8?9=4；（4）100÷=100÷4?(?2)×=25?3+(?8)=14；（5）?=?=2?=?93（6）(?3)=9×==712．（23-24七年級上·河南新鄉·階段練習）計算（1）?1（2）?（3）1（4）?【思路點撥】本題主要考查了有理數的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數混合運算順序．（1）先算乘方，再算乘法，最后算加減；如果有括號，要先做括號內的運算；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有絕對值，要先做絕對值內的運算；（3）除法變乘法，再根據乘法分配律計算；（4）先算乘方，再算乘法，最后算加減；如果有括號，要先做括號內的運算．【解題過程】（1）解：?1=?1?=?1+=3（2）解：?=?4+3?24×=?1?=?11（3）解：1===?9+20+12?21=2；（4）解：?=?1?2×9?4+=?1?18?4+1=?22．3．（23-24七年級下·重慶南岸·開學考試）計算：（1）?2（2）?370×（3）999+(?999)×(?999)+999?999999；（4）12【思路點撥】（1）先算乘方，再算乘法，后算加減，有括號先算括號里，即可解答；（2）利用乘法分配律的逆運算進行計算，即可解答；（3）利用乘法分配律的逆運算進行計算，即可解答；（4）利用乘法分配律的逆運算進行計算，即可解答；本題考查了有理數的混合運算，乘法分配律，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【解題過程】（1）解：原式=?4×5×5?100?7=?100?100?7=?207；（2）解：原式=370×1==100；（3）解：原式=999×(1+999+1?1001)=999×0=0；（4）解：原式====2475．4．（23-24七年級上·重慶沙坪壩·期中）計算：275【思路點撥】利用拆項法將分數拆成整數和分數的和差形式，把整數與整數部分、分數與分數部分分別加在一起，然后把每個分數分別拆成兩個分數相減的形式，通過分數的加減，相互抵消，求出結果．【解題過程】解：275=====7005．（23-24七年級上·廣東廣州·開學考試）能簡算的要簡算：（1）1516（2）1.24+57（3）51×68×78÷（4）1112【思路點撥】本題考查了有理數的混合運算：（1）去括號，將除法化成乘法，再進行加法運算；（2）利用加法交換律進行簡便運算即可；（3）將前面三個因數進行分解，再進行約分即可；（4）通過觀察可知分子分母的差為1，先寫成1加減分數單位，整數分組計算，分數簡算時，根據裂項公式1a×【解題過程】（1）解：原式====21（2）解：原式==5+29=34；（3）解：原式==3×2×6=36；（4）解：原式===6?=6?=6?=576．（24-25七年級上·全國·假期作業）計算下列各題，能簡算的要簡算．（1）62.5（2）3.8÷（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390（4）15.8?（5）2005×2006?1（6）9【思路點撥】本題考查了有理數的乘法公式運算，有理數加減混合運算，有理數乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．（1）62.5%化為分數是5（2）根據除法的性質，把算式改寫成連除形式可進行簡算；（3）根據積不變的規律統一將其中一個因數轉換為20.23，再根據乘法分配律進行簡算．（4）15.8?718+15?1118，先根據帶符號搬家，將算式變為（5）仔細觀察分子、分母中各數的特點，就會發現分子中2005×2006可變形為2004+1×2006=2004×2006+2006?1，同時發現2006?1=2005（6）在本題中，被除數提取公因數65，除數提取公因數5，再把17和1【解題過程】（1）62.5=====1（2）3.8÷=3.8÷0.25÷0.38=3.8÷0.38÷0.25=10÷0.25=40；（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390=20.23×25+20.23×36+20.23×39=20.23×=20.23×100=2023；（4）15.8?＝＝=(15.8+0.2)?=16?1=15；（5）2005×2006?1===1（6）9===65÷5=137．（24-25七年級上·全國·假期作業）用靈活而合理的方法計算．（1）2000÷2000（2）1（3）498×381+382（4）100【思路點撥】本題考查了乘法公式的有理數混合運算，含乘方有理數混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．（1）先根據帶分數化為假分數的方法，將算式變為2000÷2000×2001+20002001+2003×20012002，再將算式變為2000÷2000×2001+2000×12001+2003×20012002，根據乘法分配律，將算式變為（2）先把帶分數化為假分數，除法化為乘法，然后根據積不變性質，將算式變為54×17.6+36×54+26.4×1.25（3）先把382拆分為381+1，然后根據乘法分配律，將算式變為498×381+382381×498＋1×498?116，1×498=498（4）兩個相鄰的數的平方差等于這兩個數的和，也就是n+1?n=n+12?n2（【解題過程】（1）解：2000÷2000=2000÷=2000÷=2000×=======1=1=20021000（2）1=====100；（3）498×381+382======1；（4）100=100+99+98+97+?+2+1===101×50=5050．8．（24-25七年級上·全國·假期作業）計算題．（1）522÷522（2）1（3）5（4）2【思路點撥】本題考查了運算與技巧：（1）觀察式子，先轉化成假分數，但是不要將數的答案算出得數．這樣就可以能約分的要約分；（2）觀察分子和分母，發現分子和分母經過分析和轉化，可以先約分；（3）根據式子a+ba×b（4）有小數、帶分數、分數的計算，將小數轉化為分數，帶分數轉化為假分數計算；根據式子的特點進行運算是解題的關鍵．【解題過程】（1）解：522÷522＝522÷＝522×＝522×＝522×＝523＝523＝523＝523＝523262（2）解：1＝5＝5＝13（3）解：5＝2+3＝2＝1＝1＝511（4）解：2＝128＝25＝1＝1÷＝18．9．（23-24七年級上·山東菏澤·開學考試）簡便計算（1）1（2）4.44÷4（3）7（4）2015×【思路點撥】（1）根據1n（2）先將除法轉化為乘法，再逆用乘法分配律進行計算即可；（3）先計算括號里面的，再計算最后計算乘法即可；（4）把原式轉化為2014+1×【解題過程】（1）解：1=1?=1?=（2）4.44÷4=4.44×=4.44×=4.44×1=4.44（3）7=(=(=(==1（4）2015×==2014×=201310．（23-24七年級上·江蘇南京·階段練習）簡便計算：（1）12（2）19【思路點撥】（1）利用有理數的混合運算的法則和運算律解答即可；（2）根據先將19【解題過程】（1）解：1===2+==40442022（2）解：1=19=19====111．（23-24七年級上·四川成都·開學考試）下列各題要寫出主要計算過程（1）56×（2）42（3）3（4）1+2×1（5）1+2【思路點撥】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．（1）利用交換律以及乘法分配律進行計算即可；（2）利用乘法分配律進行計算即可；（3）利用有理數加法的運算法則進行計算即可；（4）根據有理數四則混合運算的法則進行計算即可；（5）將原式變換為2×31×4【解題過程】（1）解：56×=56×32×=56×32×=192+560=752；（2）解：42==1=1==100；（3）解：3==7+=7127（4）解：1+2×1=====1001；（5）解：1+2==50×=7512．（24-25七年級上·全國·假期作業）計算題：（1）1（2）1?（3）5（4）1【思路點撥】本題考查了有理數四則混合運算，含乘方的有理數混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．（1）觀察算式可得2+11×2+（2）利用a+ba×b（3）利用公式“1a×b（4）先分別計算出整數部分和分數部分的和，再相加即可，整數部分的和是1023，觀察分數部分發現：12=1?12、14=1【解題過程】（1）12==2×2012+=4024+=4024+=40242012（2）1?=1?=1?===31（3）5=5×=5×=5×=49（4）1==1023+=1023+=1023102313．（23-24七年級上·廣西南寧·開學考試）脫式簡算：（1）18×3（2）411（3）11【思路點撥】本題考查有理數的混合運算，正確使用運算律進行計算是解題的關鍵．（1）運用乘法分配律進行計算即可．（2）將帶分數化為假分數后，可進行簡便計算．（3）根據所給算式的特點，將其分母轉化為兩個連續整數積的形式即可簡便計算．【解題過程】（1）解∶原式=18×==1471（2）解∶原式==31+41+51=123；（3）解∶原式==2×=2×=20014．（23-24六年級上·上海楊浦·階段練習）計算：（1）1（2）1【思路點撥】本題考查了分數的運算，解題的關鍵是：（1）把同分母的組合在一起，然后分別計算即可；（2）隔項分母有相同兩項，因此應該先分組，將分母為奇數的一組，分母為偶數的一組，再組內進行裂項消項即可．【解題過程】（1）解∶1==1+2+3+?+2023==2047276；（2）解：1==14====206115．（23-24七年級上·安徽合肥·期末）觀察下列算式：3+4=7，32+42=2535+45=1267，（1）①________，②________；（2）求3+3【思路點撥】（1）根據乘方的定義計算即可求解；（2）由題意找到個位數字的規律，求出所求算式的個位數字之和，即可求解；本題考查了有理數的運算，根據算式的結果找到個位數字的規律是解題的關鍵．【解題過程】（1）解：①33故答案為：91；②34故答案為：337；（2）解：∵3+4=7，32+42=25，33+43=91，∴個位數字按照7，又∵99÷4=24?3，∴3+37+5+1+7×24+7+5+1=493∴3+32+16．（23-24七年級上·浙江寧波·階段練習）觀察下列等式．11×2=1?12，將以上三個等式兩邊分別相加得：11×2（1）猜想并寫出：1n（2）直接寫出下列各式的計算結果：①11×2②11×2（3）探究并計算：①11×3②11×3【思路點撥】此題考查了數字類規律探索以及有理數的混合運算，利用規律計算即可解決問題；解題的關鍵是學會探究規律，利用規律解決問題．【解題過程】（1）解：1n(n+1)故答案為1n（2）①11×2②1故答案為20222023，n（3）①1=②1=(====17．（23-24七年級上·廣東東莞·階段練習）觀察下列式子：1將以上三個等式兩邊分別相加得：11×2（1）直接寫出結果：11×2（2）請用上述方法計算（寫出具體過程）：11×3（3）直接寫出計算結果：11+2（4）直接寫出計算結果：11×2×3【思路點撥】（1）根據有理數的規律直接求解即可得到答案；（2）根據有理數的規律直接求解即可得到答案；（3）根據題意得到1+2+3+...（4）根據有理數的規律直接求解即可得到答案；【解題過程】（1）解：由題意可得，原式=1?=1?=5故答案為：56（2）解：由題意可得，11×3=12(1?由此可得，1(2n?1)×(2n+1)∴原式===1011（3）解：由題意得到，1+2+3+...∴原式===2×(=2×(=2×9=9（4）解：由題意可得，原式=====494918．（23-24七年級上·山東濟南·期中）【概念學習】規定：求若干個相同的有理數(均不等0)的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，?3÷?3÷?3÷?3等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，?3一般地，把a÷a÷a÷．．．÷an個(a≠0)記作a?，讀作“【初步探究】（1）直接寫出計算結果：?3④=【深入思考】我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，那有理數的除方運算也可以轉化為乘方運算．（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．5⑤=；(?（3）將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式：a?=（4）利用（3）的結論計算：6【思路點撥】本題主要考查有理數的乘方運算，解題的關鍵是理解題中所給的新定義運算；（1）根據題中所給新定義運算直接進行求解即可；（2）根據題中所給運算可進行求解；（3）由（1）（2）可求解；（4）根據（3）中結論及有理數的運算可進行求解．【解題過程】解：（1）?3=?3×=1故答案為19（2）5⑤?==?2故答案為153，（3）an故答案為1a（4）6=36÷=36×=16+9=25．19．（23-24六年級上·山東威海·期末）如圖，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推．（1）陰影部分的面積是______；（2）以下是甲，乙兩位同學求S=1甲同學的方法：利用已給正方形圖形求，S=1?S乙同學的方法：S=12S=1+1②－①即可．根據兩位同學的方法，你認為S=______；（3）12（4）計算：12（5）請借助甲，乙同學的方法，分別求出14【思路點撥】本題考查了圖形規律的探究，有理數的運算．熟練掌握圖形規律的探究，有理數的運算是解題的關鍵．（1）根據S陰影（2）甲同學：S=1?S陰影=1?164（3）設T=12+12（4）同理（3）計算求解即可；（5）甲同學：如圖，將邊長為1的正方形四等分，