廣東省東莞市南開實驗學校2025屆高一數學第一學期期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（）A. B.C. D.2．設函數與的圖象的交點為，則所在的區間為()A B.C. D.3．直線經過第一、二、四象限，則a、b、c應滿足（）A. B.C. D.4．設函數,若關于的方程有四個不同的解,且,則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．過圓C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4的圓心，作直線分別交x，y正半軸于點A，B，△AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足SI+SⅣ＝SⅡ+SⅢ，則這樣的直線AB有A.0條 B.1條C.2條 D.3條6．函數y=的單調遞減區間是()A.(-∞,1) B.［1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)7．下列每組函數是同一函數的是A.f(x)=x-1, B.f(x)=|x-3|,C.,g(x)=x+2 D.,8．如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G,已知△A'DE是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形(A'不與A,F重合),則下列命題中正確的是()①動點A'在平面ABC上的射影在線段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱錐A'-FED的體積有最大值.A.① B.①②C.①②③ D.②③9．已知向量，且，則A. B.C. D.10．函數的圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，終邊經過點，則___________.12．已知冪函數的圖象經過點，且滿足條件，則實數的取值范圍是___13．已知，，，則________14．已知，則_____.15．設函數和函數，若對任意都有使得，則實數a的取值范圍為______16．已知函數對于任意實數x滿足．若，則_______________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，（1）當時，求；18．已知函數是偶函數，且，.（1）當時，求函數的值域；（2）設，，求函數的最小值；（3）設，對于（2）中的，是否存在實數，使得函數在時有且只有一個零點？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.19．對于兩個函數：和，的最大值為M，若存在最小的正整數k，使得恒成立，則稱是的“k階上界函數”.（1）若，是的“k階上界函數”.求k的值；（2）已知，設，，.（i）求的最小值和最大值；（ii）求證：是的“2階上界函數”.20．定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界，已知函數.（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；（2）若函數在上是以4為上界的有界函數，求實數的取值范圍.21．已知直線（1）求直線的斜率；（2）若直線m與平行，且過點，求m的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由題意可得，底面放三個鋼球，上再落一個鋼球時體積最小，于是把鋼球的球心連接，則可得到一個棱長為2的小正四面體，該小正四面體的高為，且由正四面體的性質可知，正四面體的中心到底面的距離是高的，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心是重合的，所以小正四面體的中心到底面的距離是，正四面體的中心到底面的距離是，所以可知正四面體的高的最小值為，故選擇C考點：幾何體的體積2、C【解析】令，則，故的零點在內，因此兩函數圖象交點在內，故選C.【方法點睛】本題主要考查函數圖象的交點與函數零點的關系、零點存在定理的應用，屬于中檔題.零點存在性定理的條件：（1）利用定理要求函數在區間上是連續不斷的曲線；（2）要求；（3）要想判斷零點個數還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性).3、A【解析】根據直線經過第一、二、四象限判斷出即可得到結論.【詳解】由題意可知直線的斜率存在，方程可變形為，∵直線經過第一、二、四象限，∴，∴且故選：A.4、D【解析】由題意，根據圖象得到，，，，，推出.令，，而函數.即可求解.【詳解】【點睛】方法點睛：已知函數零點個數(方程根的個數)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.5、B【解析】數形結合分析出為定值,因此為定值,從而確定直線AB只有一條.【詳解】已知圓與軸,軸均相切,由已知條件得,第部分的面積是定值,所以為定值,即為定值,當直線繞著圓心C移動時,只有一個位置符合題意,即直線AB只有一條.故選:B【點睛】本題考查直線與圓的實際應用,屬于中檔題.6、A【解析】令t＝-x2+2x﹣1，則y，故本題即求函數t的增區間，再結合二次函數的性質可得函數t的增區間【詳解】令t＝-x2+2x﹣1，則y，故本題即求函數t的增區間，由二次函數的性質可得函數t的增區間為（-∞，1），所以函數的單調遞減區間為(-∞,1).故答案為A【點睛】本題主要考查指數函數和二次函數的單調性，考查復合函數的單調性，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.7、B【解析】分析：根據題意，先看了個函數的定義域是否相同，再觀察兩個函數的對應法則是否相同，即可得到結論.詳解：對于A中，函數的定義域為，而函數的定義域為，所以兩個函數不是同一個函數；對于B中，函數的定義域和對應法則完全相同，所以是同一個函數；對于C中，函數的定義域為，而函數的定義域為，所以兩個函數不是同一個函數；對于D中，函數的定義域為，而函數的定義域為，所以不是同一個函數，故選B.點睛：本題主要考查了判斷兩個函數是否是同一個函數，其中解答中考查了函數的定義域的計算和函數的三要素的應用，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.8、C【解析】【思路點撥】注意折疊前DE⊥AF,折疊后其位置關系沒有改變.解:①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC∴點A'在平面ABC上的射影在線段AF上.②BC∥DE,BC?平面A'DE,DE?平面A'DE,∴BC∥平面A'DE.③當平面A'DE⊥平面ABC時,三棱錐A'-FED的體積達到最大.9、B【解析】由已知得，因為，所以，即，解得.選B10、C【解析】根據正切函數的對稱中心為，可求得函數y圖象的一個對稱中心【詳解】由題意，令，，解得，，當時，，所以函數的圖象的一個對稱中心為故選C【點睛】本題主要考查了正切函數的圖象與性質的應用問題，其中解答中熟記正切函數的圖象與性質，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用三角函數定義求出、的值，結合誘導公式可求得所求代數式的值.【詳解】由三角函數的定義可得，，因此，.故答案為：.12、【解析】首先求得函數的解析式，然后求解實數的取值范圍即可.【詳解】設冪函數的解析式為，由題意可得：，即冪函數的解析式為：，則即：，據此有：，求解不等式組可得實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查冪函數的定義及其應用，屬于基礎題.13、【解析】由誘導公式將化為，再由，根據兩角差的正弦公式，即可求出結果.【詳解】因，所以，，又，，所以，，所以，，所以.故答案為【點睛】本題主要考查簡單的三角恒等變換，熟記兩角差的正弦公式以及誘導公式，即可求解，屬于常考題型.14、3【解析】利用誘導公式求出，再將所求值的式子弦化切，代值計算即得.【詳解】因，所以.故答案為：3.15、【解析】先根據的單調性求出的值域A，分類討論求得的值域B，再將條件轉化為A，進行判斷求解即可【詳解】是上的遞減函數，∴的值域為，令A=，令的值域為B，因為對任意都有使得，則有A，而，當a=0時，不滿足A；當a>0時，，∴解得；當a<0時，，∴不滿足條件A,綜上得.故答案為.【點睛】本題考查了函數的值域及單調性的應用，關鍵是將條件轉化為兩個函數值域的關系，運用了分類討論的數學思想，屬于中檔題16、3【解析】根據得到周期為2，可得結合可求得答案.【詳解】解：∵，所以周期為2的函數，又∵，∴故答案為：3三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）解一元二次不等式求得集合，由補集和并集的定義可運算求得結果；（2）分別在和兩種情況下，根據交集為空集可構造不等式求得結果.【小問1詳解】由題意得，或，，.【小問2詳解】，當時，，符合題意，當時，由，得，故a的取值范圍為18、（1）（2）（3）存在，【解析】(1)由條件求出，由此求出，利用單調性求其在時的值域；(2)利用換元法，考慮軸與區間的位置關系求，(3)令，由已知可得函數，，在上有且僅有一個交點，由此列不等式求的取值范圍.【小問1詳解】因為函數是偶函數，故而，可得，則，故易知在上單調遞增，故，；故【小問2詳解】令，故；則，對稱軸為①當時，在上單增，故；②當時，在上單減，在上單增，故；③當時，在上單減，故；故函數的最小值【小問3詳解】由（2）知當時，；則，即令，，問題等價于兩個函數與的圖象在上有且只有一個交點；由，函數的圖象開口向下，對稱軸為，在上單調遞減，在上單調遞增，可圖知；故【點睛】函數的零點個數與函數和的圖象的交點個數相等，故可通過函數圖象研究形如函數的零點問題.19、（1）；（2）（i）時，，；時，，；時，，；（ii）證明部分見解析.【解析】（1）先求，的范圍，再求的最大值，利用恒成立問題的方式處理；（2）分類討論對稱軸是否落在上即可；先求的最大值，需觀察發現最值在取得，不要嘗試用三倍角公式，另外的最大值必定在端點或者在頂點處取得，通過討論的范圍，證明即可【小問1詳解】時，單調遞增，于是，于是，則最大值為，又恒成立，故，注意到是正整數，于是符合要求的為.【小問2詳解】（i）依題意得，為開口向上，對稱軸為的二次函數，于是在上遞減，在上遞增，由于，，下分類討論：當，即時，，；當，即時，，；當，即當，在上遞減，，.（ii），則，當，即取等號，，，則，下令，只需說明時，即可，分類如下：當時，，且注意到，此時，顯然時，單調遞減，于是；當，由基本不等式，，且，，即，此時，而，時，由基本不等式，，故有：綜上，時，，即當時，最小正整數【點睛】本題綜合的考查了分類討論思想，函數值域的求法等問題，特別是觀察分析出的最大值，若用三倍角公式反倒會變得更加復雜.20、（1）值域為，不是有界函數；（2）【解析】（1）把代入函數的表達式，得出函數的單調區間，結合有界函數的定義進行判斷；（2）由題意知，對恒成立，令，對恒成立，設，，求出單調區