專題45空間幾何體的折疊問題一、題型選講題型一、展開問題例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.例2、(2017南京三模）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側棱BB1上的動點．當AD＋DC1最小時，三棱錐D－ABC1的體積為▲．AACBA1B1C1D題型二、折疊問題例3、【2019年高考全國Ⅲ卷理數】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.例4、【2018年高考全國Ⅰ卷理數】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.例5、（2020屆山東省德州市高三上期末）如圖（1），邊長為的正方形中，，分別為、上的點，且，現沿把剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將，，沿，，折起，使、、三點重合于點，如圖（3）.（1）求證：；（2）求二面角最小時的余弦值.例6、（2020屆浙江省寧波市余姚中學高考模擬）如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.（1）若點的射影在上，求的長；（2）若點的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長.題型三、折疊的綜合性問題例7、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知菱形中，，與相交于點，將沿折起，使頂點至點，在折起的過程中，下列結論正確的是()A． B．存在一個位置，使為等邊三角形C．與不可能垂直 D．直線與平面所成的角的最大值為例8、（2020屆浙江省臺州市溫嶺中學3月模擬）如圖，在直角梯形中，，，，為中點，，分別為，的中點，將沿折起，使點到，到，在翻折過程中，有下列命題：①的最小值為；②平面；③存在某個位置，使；④無論位于何位置，均有.其中正確命題的個數為（）A． B． C． D．二、達標訓練1、（2020屆山東省濰坊市高三上學期統考）已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，則過，，，四點的球的表面積為（）A． B． C． D．2、（2020屆浙江省杭州市建人高復高三4月模擬）如圖，點在正方體的表面上運動，且到直線與直線的距離相等，如果將正方體在平面內展開，那么動點的軌跡在展開圖中的形狀是（）A． B．C． D．3、如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE，AF及EF將這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，則在這個空間圖形中必有()A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF4、【2020年高考浙江】已知圓錐的側面積（單位：cm2）為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是_______．5、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）下圖是兩個腰長均為的等腰直角三角形拼成的一個四邊形，現將四邊形沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的體積為__________．6、(2018南京、鹽城、連云港二模）在邊長為4的正方形ABCD內剪去四個全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長為eq\r(2)的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為________．（圖1）（圖2）7、【天津市和平區2020屆高考三模】如圖甲所示的平面五邊形PABCD中，PD=PA，AC=CD=BD=5，AB=1，AD=2，PD⊥PA，現將圖甲所示中的△PAD沿AD邊折起，使平面PAD⊥平面ABCD得如圖乙所示的四棱錐P?ABCD

（1）求證：PD⊥平面PAB；（2）求二面角A?PB?C的大小；（3）在棱PA上是否存在點M使得BM與平面PCB所成的角的正弦值為13專題45空間幾何體的折疊問題一、題型選講題型一、展開問題例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.例2、(2017南京三模）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側棱BB1上的動點．當AD＋DC1最小時，三棱錐D－ABC1的體積為▲．AACBA1B1C1D【答案】．eq\f(1,3)【解析】：將側面展開如下圖，所以由平面幾何性質可得：，當且僅當三點共線取到.此時，所以.在直三棱柱ABC－A1B1C1中有，又，易得平面，所以平面，即是三棱錐的高，所以題型二、折疊問題例3、【2019年高考全國Ⅲ卷理數】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因為EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系H–xyz，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．例4、【2018年高考全國Ⅰ卷理數】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】方法一：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）在平面DEF中，過P作PH⊥EF于點H，連接DH，如圖，由于EF為平面ABCD和平面PEF的交線，PH⊥EF，則PH⊥平面ABFD，故PH⊥DH.則與平面所成的角為.在三棱錐P-DEF中，可以利用等體積法求PH.因為DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，則PF⊥平面PDE，故，因為BF∥DA且BF⊥平面PEF，所以DA⊥平面PEF，所以DE⊥EP.設正方形的邊長為2a，則PD=2a，DE=a，在△PDE中，，所以，故，又，所以，所以在△PHD中，，故與平面所成角的正弦值為.方法二：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系H?xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.則為平面ABFD的法向量.設DP與平面ABFD所成角為，則.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.例5、（2020屆山東省德州市高三上期末）如圖（1），邊長為的正方形中，，分別為、上的點，且，現沿把剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將，，沿，，折起，使、、三點重合于點，如圖（3）.（1）求證：；（2）求二面角最小時的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）折疊前，，折疊后，，又，所以平面，因此；（2）由（1）及題意知，因此以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系如圖：令，，，所以，，設平面法向量為則所以，令，則又平面法向量為，設二面角的大小為，所以，又，當且僅當取等號，所以.所以二面角最小時的余弦值為.例6、（2020屆浙江省寧波市余姚中學高考模擬）如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.（1）若點的射影在上，求的長；（2）若點的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長.【答案】（1）2（2）.【解析】（1）過A作交于E，則平面.取中點O，連接，，∵平面，平面，∴，又是正三角形，∴，又，AE，平面，∴平面，∴.又，O為的中點，∴為的中點.∵，∴，，，∴，.∴；（2）取中點為過點作平面的垂線，垂足為,連接,因為.以O為原點，以為x軸，以為y軸，以平面的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設二面角為，因為平面，與（1）同理可證平面，，，則，，，.∴，，，設平面的法向量為，則，令，得.∴，解得.∴，又，∴.題型三、折疊的綜合性問題例7、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知菱形中，，與相交于點，將沿折起，使頂點至點，在折起的過程中，下列結論正確的是()A． B．存在一個位置，使為等邊三角形C．與不可能垂直 D．直線與平面所成的角的最大值為【答案】ABD【解析】A選項，因為菱形中，與相交于點，所以，；將沿折起，使頂點至點，折起過程中，始終與垂直，因此，又，由線面垂直的判定定理，可得：平面，因此，故A正確；B選項，因為折起的過程中，邊長度不變，因此；若為等邊三角形，則；設菱形的邊長為，因為，則，即，又，所以，即二面角的余弦值為時，為等邊三角形；故B正確；C選項，，，由A選項知，，，所以，因此，同B選項，設菱形的邊長為，易得，，所以，顯然當時，，即；故C錯誤；D選項，同BC選項，設菱形的邊長為，則，，，由幾何體直觀圖可知，當平面，直線與平面所成的角最大，為，易知.故選：ABD.例8、（2020屆浙江省臺州市溫嶺中學3月模擬）如圖，在直角梯形中，，，，為中點，，分別為，的中點，將沿折起，使點到，到，在翻折過程中，有下列命題：①的最小值為；②平面；③存在某個位置，使；④無論位于何位置，均有.其中正確命題的個數為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直角梯形中，，，，為中點，，分別為，的中點，將沿折起，使點到，到，在翻折過程中，當與重合時，的最小值為；所以①正確；連接交于連接，可以證明平面平面，所以平面，所以②正確；當平面時，可得平面，所以，所以③正確；因為，，所以直線平面，所以無論位于何位置，均有.所以④正確；故選：D.二、達標訓練1、（2020屆山東省濰坊市高三上學期統考）已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，則過，，，四點的球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，構成以D為頂點的三棱錐，且三條側棱互相垂直，可構造以其為長寬高的長方體，其對角線即為球的直徑，三條棱長分別為1,1，，所以，球面積，故選C.2、（2020屆浙江省杭州市建人高復高三4月模擬）如圖，點在正方體的表面上運動，且到直線與直線的距離相等，如果將正方體在平面內展開，那么動點的軌跡在展開圖中的形狀是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】在平面BCC1B1上，P到直線C1D1的距離為|PC1|，∵P到直線BC與直線C1D1的距離相等，∴點P到點C1的距離與到直線BC的距離相等，∴軌跡為拋物線,且點C1為焦點，BC為準線；故排除C，D，同理可得，在平面ABB1A1上，點P到點B的距離與到直線C1D1的距離相等，從而排除A，本題選擇B選項.3、如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE，AF及EF將這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，則在這個空間圖形中必有()A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF【答案】B【解析】根據折疊，AH⊥HE，AH⊥HF不變，得AH⊥平面EFH，故B正確；因為過點A只有一條直線與平面EFH垂直，所以A不正確；因為AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，所以EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，所以平面HAG⊥AEF，過點H作直線垂直于平面AEF，該直線一定在平面HAG內，所以C不正確；由條件證不出HG⊥平面AEF，所以D不正確．故選B.4、【2020年高考浙江】已知圓錐的側面積（單位：cm2）為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是_______．【答案】【解析】設圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：5、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）下圖是兩個腰長均為的等腰直角三角形拼成的一個四邊形，現將四邊形沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的體積為__________．【答案】【解析】由題設可將該三棱錐拓展成如圖所示的正方體，則該正方體的外接球就是三棱錐的外接球，由于正方體的對角線長為，即球的半徑，該球的體積，應填答案．6、(2018南京、鹽城、連云港二模）在邊長為4的正方形ABCD內剪去四個全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長為eq\r(2)的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為________．（圖1）（圖2）【答案】.eq\f(4,3)【解析】：連結EG，HF，交點為O，正方形EFGH的對角線EG＝2，EO＝1，則點E到線段AB的距離為1，EB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).SO＝eq\r(SE2－OE2)＝eq\r(5－1)＝2，故正四棱錐SEFGH的體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×2＝eq\f(4,3).7、【天津市和平區2020屆高考三模】如圖甲所示的平面五邊形P