第五章軸對稱與旋轉（知識歸納+題型突破）1、通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質：成軸對稱的兩個圖形中對應點的連線被對稱軸垂直平分．2、能畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關于給定對稱軸的對稱圖形．3、理解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質．4、認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱圖形．5、通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉.探索它的基本性質：一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.6、了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質：成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分.7、探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質.8、認識并欣賞自然界和現實生活中的中心對稱圖形.1.對稱軸：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。2.性質：（1）軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。（2）軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等。3.旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角。（圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變。）4.旋轉對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角小于0°，大于360°）。5．中心對稱圖形與中心對稱：中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。6.中心對稱的性質：關于中心對稱的兩個圖形是全等形。關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。

題型一軸對稱【例1】（2024·湖南永州·一模）下列圖標是第十九屆杭州亞運會上常見的運動圖標，其中是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【例2】（23-24七年級下·全國·課后作業）如圖，與關于直線對稱，交于點O，則下列結論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【例3】（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，若最外面大圓的面積為，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【例4】（2023八年級上·江蘇·專題練習）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（

）

A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【例5】（23-24七年級下·浙江湖州·階段練習）如圖，為一條長方形紙帶，，將沿折疊，A，D兩點分別與，對應，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【例6】（22-23八年級上·山東濰坊·階段練習）如圖所示，點P為內一點，分別作出P點關于、的對稱點，，連接交于M，交于N，，則的周長為（）A． B． C． D．【例7】（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習）作圖題：(1)如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為，網格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．在圖中畫出關于直線對稱的．（要求：與，與，與相對應）(2)如圖是由個相同的小正方形拼成的正方形網格，現將其中個小正方形涂黑，請用種不同的方法分別在圖中再將個小正方形涂黑，使圖案成為軸對稱圖形．鞏固訓練：1．（2024七年級下·全國·專題練習）如圖所示的四幅圖案中，軸對稱圖形的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（23-24八年級上·廣東湛江·期中）下列的圖形中，左邊圖形與右邊圖形成軸對稱的是（）A．

B．

C．

D．

3．（2024八年級·全國·競賽）下列說法正確的是（

）A．兩個圖形關于某條直線對稱，它們的對稱點一定在這條直線的兩側B．兩個全等的三角形一定關于某條直線對稱C．線段是軸對稱圖形，它的對稱軸只有它的垂直平分線D．在平面內任意的兩條直線所組成的圖形一定是軸對稱圖形4．（23-24八年級上·陜西商洛·期中）如圖，和關于直線l對稱，連接，在直線l上任取一點O，連接，，下列結論中，不一定正確的是（

）

A． B．C．l垂直平分 D．5．（23-24八年級上·遼寧鞍山·階段練習）如圖，中，點在邊上，點關于，對稱的對稱點分別為，，連接，．如圖所示，的度數是（）度

A．113 B．124 C．129 D．1346．（23-24八年級上·廣西玉林·期末）如圖，兩條平行直線，，從點光源射出的光線射到直線上的點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點，當這束光線繼續從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數為（

）A． B． C． D．7．（2023·河北衡水·模擬預測）如圖，光線自點P射入，經鏡面EF反射后經過的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點8．（2024·湖北襄陽·模擬預測）下列軸對稱圖形中，對稱軸條數最多的是（

）A． B． C． D．9．（23-24八年級上·吉林白山·階段練習）下列圖形中，是軸對稱圖形且只有一條對稱軸的是（

）A．

B．

C．

D．

10．（23-24八年級上·河南信陽·期中）小明在鏡中看到對面電子時鐘的示數如圖所示，則現在的實際時間為（）A． B． C． D．11．（23-24八年級上·山東菏澤·期末）如圖，在正方形網格中，與成軸對稱的三角形可以畫出個．12．（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖，在Rt紙片中，，，，將Rt紙片按圖示方式折疊，使點A恰好落在斜邊上的點E處，為折痕，則下列四個結論：①平分；②；③；④的周長為4．其中正確的有．

13．（23-24八年級上·湖北襄陽·期末）如圖所示，有一個英語單詞，四個字母都關于直線對稱，請依據軸對稱知識分析后，拼寫出這個單詞．14．（23-24七年級下·全國·課后作業）如圖，與關于直線l對稱，連結交直線l于點O，若，，則四邊形的周長為．15．（23-24八年級下·河南鄭州·階段練習）如圖，在中，．在、上分別截取、，使．再分別以點P，Q為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點R，作射線，交于點D．已知，．若點M、N分別是線段和線段上的動點，則的最小值為．16．（21-22七年級下·廣東深圳·期末）已知，如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一點，F是腰AB上任一點，腰AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么線段BE＋EF的最小值是．17．（23-24八年級上·內蒙古鄂爾多斯·階段練習）如圖，已知點是內任意一點，點、關于對稱，點、關于對稱，連接，分別交，于，，連接，．若，則的周長是．18．（23-24八年級上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有，兩個球，若要將球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中球，則，，，，4個點中，可以反彈擊中球的是點．19．（2022·浙江臺州·一模）根據光學中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面的夾角的度數為，光線n與光線k的夾角的度數為．則x與y之間的數量關系是．20．（23-24六年級下·山東青島·階段練習）如圖所示，長方形沿折疊，使點落在邊上的點處，如果，那么等于．21．（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）已知長方形紙片，點和點分別在邊和上，且，點和點分別是邊和上的動點，現將點，，，分別沿，折疊至點，，，，若，則的度數為．

22．（23-24七年級上·湖南長沙·期末）要用一張長方形紙折成一個紙袋，兩條折痕的夾角為70°（即），將折過來的重疊部分抹上膠水，即可做成一個紙袋，則粘膠水部分所構成的角，°．23．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）如圖，長方形紙片，點在邊上，點、在邊上，連接、．將對折，點落在直線上的點處，得折痕；將對折，點落在直線上的點處，得折痕．，則．24．（23-24八年級上·湖南湘西·階段練習）《西游記》第三十二回寫道：“金角大王、銀角大王派巴山虎、倚海龍去請母親來吃唐僧肉，讓她帶著幌金繩來拿孫行者．”話說兩個小妖在A點接到老妖婆后，來到小河邊P點喝水，隨后回到B點的洞府去見兩位大王．小妖智商有限，請各位同學幫忙規劃一下，當P點在哪時，路程最近呢？請大家作出路線圖并簡要說明理由．

25．（22-23七年級下·陜西咸陽·階段練習）下列正方形網格圖中，部分方格涂上了顏色，請按照不同要求作圖．(1)作出圖①的所有對稱軸；(2)將圖②中的某一個方格涂上顏色，使整個圖形為軸對稱圖形．（涂出三種即可）26．（23-24八年級上·寧夏固原·期末）如圖，在直角坐標系中，，，．(1)在圖中作出關于y軸對稱的圖形；(2)寫出點的坐標；(3)求的面積．27．（2023·浙江杭州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長都是1．的頂點坐標分別為，，．

(1)畫出關于y軸對稱的；(2)將點A先向上平移3個單位長度，再向左平移5個單位長度得到點，則點的坐標為；(3)的面積為；題型二旋轉【例1】（23-24九年級上·寧夏吳忠·期中）下列現象中屬于旋轉的有（

）個．①地下水位逐年下降；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④水龍頭的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千．A．2 B．3 C．4 D．5【例2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，是由繞點順時針旋轉后得到的圖形，若點恰好落在上，且的度數為，則的度數是（

）A． B． C． D．【例3】（22-23八年級上·山東青島·期中）如圖所示，和是等邊三角形，B、C、E在一條直線上，則繞著點逆時針旋轉度可得到．【例4】（23-24九年級下·河北石家莊·開學考試）如圖，繞點旋轉得到，且點在邊上，為與的交點．若，則下列各角：①；②；③；④．其中角的度數一定等于的是（）A．①② B．只有① C．③④ D．②③【例5】（2024七年級下·全國·專題練習）如圖，如果把鐘表的指針看作四邊形，它繞點O旋轉得到四邊形，在這個旋轉過程中．(1)旋轉角是什么？旋轉中心是什么？(2)經過旋轉，分別轉到什么位置？(3)與的長有什么關系？與呢？(4)與有什么關系？【例6】（20-21七年級上·重慶·階段練習）等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數軸上的位置如圖所示，點A、B對應的數分別為2和1，若△ABC繞著頂點逆時針方向在數軸上連續翻轉，翻轉第1次后，點C所對應的數為0，則翻轉2023次后，點C所對應的數是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【例7】【閱讀理解】射線OC是∠AOB內部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內的一條“友好線”．如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內的一條“友好線”．【解決問題】（1）在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD射線OB在∠AOB內的一條“友好線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，∠AOB的度數為n，射線OM是射線OB在∠AOB內的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數為；（用含n的代數式表示）（3）如圖3，射線OB從與射線OA重合的位置出發，繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉；同時，射線OC從與射線OA的反向延長線重合的位置出發，繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．問：當運動時間為多少秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內的一條“友好線”？【例8】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）已知，為內部的一條射線，；(1)如圖1，若平分，為內部的一條射線，，求的度數；(2)如圖2，若射線繞著O點從開始以12度/秒的速度順時針旋轉至結束，在旋轉過程中，平分，試問是否為定值，若不是，請說明理由；若是，請求出其值．(3)如圖3，若射線繞著O點從開始以15度/秒的速度順時針旋轉至結束、同時繞著O點從開始以3度/秒的速度逆時針旋轉至結束，運動時間為t秒，當時，求t的值；鞏固訓練1．（23-24九年級上·廣東韶關·期中）下列現象屬于旋轉的是（

）A．摩托車在急剎車時向前滑動 B．飛機起飛后沖向空中的時候C．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車 D．幸運大轉盤轉動的過程2．（23-24九年級上·甘肅武威·期末）下列圖案中，不能由其中一個圖形通過旋轉而構成的是（）A． B． C． D．3．（2020·浙江·模擬預測）如圖，邊長為1的正方形，沿數軸順時針連續滾動，起點和重合，則數軸上數2020所對應的字母是（

）A． B． C． D．4．（2023·四川綿陽·一模）如圖，在中，．在同一平面內，將繞點A旋轉到的位置，使得，則等于（

）

A． B． C． D．5．（23-24九年級上·北京東城·期中）如圖，是繞點順時針旋轉后得到的圖形．若點恰好落在上，且的度數為，則的度數是（

）A． B． C． D．6．（22-23八年級下·陜西西安·期末）如圖，將繞點順時針旋轉得到，若點共線，則的度數為（

）

A． B． C． D．7．（2022·江蘇常州·二模）如圖，一個機器人最初面向北站立，按程序：每次移動都向前直走，然后逆時針轉動一個角度，每次轉動的角度增加．第一次直走后轉動，第二次直走后轉動，第三次直走后轉動，如此下去．那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了米．8．（七年級上·浙江湖州·期中）一個長方形ABCD在數軸上的位置如圖所示，AB=3，AD=2，若此長方形繞著頂點按照順時針方向在數軸上連續翻轉，翻轉1次后，點A所對應的數為1，求翻轉2018次后，點B所對應的數．9．（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉，得到，點恰好落在上，交于點，則°．

10．（2024·吉林松原·一模）如圖，該圖形繞其中心旋轉能與其自身完全重合，則其旋轉角最小為度．11．（22-23七年級上·河北邯鄲·期末）如圖，將繞點順時針旋轉一定的角度得到，此時點在邊上，若，，則的長是．

12．（23-24九年級上·吉林白山·階段練習）如圖，該圖形繞其中心旋轉能與自身完全重合，則其旋轉角最小為度．

13．（2024九年級·全國·競賽）如圖，在平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為．(1)將繞點按順時針方向旋轉，得到，點的對應點分別為點，在圖中畫出，并寫出點的坐標；(2)將向右平移4個單位長度后，得到，點的對應點分別為點，在圖中畫出，并寫出點的坐標；(3)從變化到能否看作是將繞某一個點作旋轉變換？若能，直接寫出旋轉中心；若不能，說明理由．14．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，已知格點和格點O（格點為網格線的交點）．

(1)將繞點O逆時針旋轉得到，畫出；(2)將先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到，畫出．15．（23-24七年級下·全國·課后作業）如圖，正五邊形的邊長等于2，分別以正五邊形各邊為直徑，向外作半圓．(1)這個圖形________（填“是”或“不是”）旋轉對稱圖形，若是，則旋轉中心是點________，最小旋轉角為________；(2)求陰影部分的周長和面積（用含π的式子表示）．16．（23-24七年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖1，點O為直線上一點，將兩個含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊在直線上，其中．(1)將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得邊在的內部且平分，此時三角板旋轉的角度為度；(2)三角板在繞點O按逆時針方向旋轉時，若在的內部．試探究與之間滿足什么等量關系，并說明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度按順時針方向旋轉，同時將三角板繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉，將射線繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉，旋轉后的射線記為，射線平分，射線平分，當射線重合時，射線改為繞點O以原速按順時針方向旋轉，在第二次相遇前，當時，直接寫出旋轉時間t的值．17．（23-24七年級上·陜西西安·期末）問題提出（）如圖所示，將含有和角的一副直角三角板與在直線，的頂點和角的頂點重合于點，點在直線上，為平分線，則．問題探究（）如圖，若將三角板繞點逆時針旋轉，平分，請你探究度數是否會發生變化？若不變，求出其角度；若變化，請說明理由；問題解決（）如圖，從圖位置開始，將三角板繞點以每秒速度逆時針旋轉，同時三角板以每秒的速度順時針旋轉，當首次與重合或當與首次重合時，兩個三角板都停止旋轉．設兩三角板的旋轉時間為，在整個旋轉過程中，當滿足，求的值．

18．（22-23七年級上·云南·期末）如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有、的直角三角板如圖①放置，、與直線重合，且三角板、三角板均可繞點逆時針旋轉．

(1)如圖①，則°．(2)如圖②，若三角板保持不動，三角板繞點逆時針旋轉旋轉一定角度，平分，平分，求；(3)如圖③，在圖①基礎上，若三角板開始繞點逆時針旋轉，轉速為，同時三角板繞點逆時針旋轉，轉速為，（當轉到與重合時，兩三角板都停止轉動），在旋轉過程中，三條射線中，當其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，