第三章因式分解（壓軸題專練）一、選擇題1．（2022·江蘇·七年級假期作業）在數學中為了書寫簡便，18世紀數學家歐拉就引進了求和符號“∑”，如記＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，則m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不確定2．（2019下·浙江紹興·七年級統考期末）已知，，，則代數式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2018上·山東·八年級校考期末）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．34．（2021下·湖南株洲·七年級統考期中）已知滿足，則的值為（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－75．（2021上·重慶萬州·八年級統考期末）已知滿足，，則的值為（

）A．4 B．1 C．0 D．-8二、填空題6．（2024上·四川內江·八年級校考期中）設為正整數，且，則等于．7．（2023上·重慶·九年級重慶南開中學校考期中）如果一個各數位上的數字均不為0的四位自然數，滿足，則稱這個四位數為“倍差等和數”．例如：四位數，，，是“倍差等和數”；又如：四位數，，不是“倍差等和數”．最大的“倍差等和數”為，將“倍差等和數”的個位數字去掉后得到一個三位數，該三位數和的個位數字之差能整除，令，若為整數，則滿足條件的數的最小值為．8．（2021·浙江·九年級自主招生）已知，則．9．（2019下·河北唐山·七年級統考期末）計算：.10．（2023下·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校校考期中）已知，為自然數，且，若，則，．11．（2023下·浙江寧波·七年級校考期末）已知，且互不相等，則．12．（2014·七年級課時練習）如果為完全平方數，則正整數n為．13．（2018上·湖南長沙·八年級校考階段練習）已知，則．14．（2018上·上海楊浦·七年級校考期末）若a,b,c滿足，則15．（2015·福建泉州·統考一模）已知：，且則．三、解答題16．（2024上·廣東汕頭·八年級統考期末）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將因式分解；【挑戰】（2）請用分組分解法將因式分解；（3）若，，請用分組分解法先將因式分解，再求值．17．（2020上·福建泉州·八年級統考期中）閱讀材料：我們把多項式及叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代數式的最小值：；又；當時，有最小值，最小值是．根據閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：___________；(2)已知的三邊長、、都是正整數，且滿足求邊長的最小值；(3)當、為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．18．（2018上·湖南長沙·七年級統考階段練習）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項式分解因式，對于形如的關于，的二次三項式來說，方法的關鍵是將項系數分解成兩個因數，的積，即，將項系數分解成兩個因式，的積，即，并使正好等于項的系數，那么可以直接寫成結果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對于形如的關于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①．②．（2）若關于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．19．（2019下·浙江寧波·七年級統考期中）【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式進行因式分解呢？我們已經知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反過來，就得到：．我們發現，二次項的系數a分解成，常數項c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數b，那么就可以分解為a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1×1，把常數項－6也分解為兩個因數的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項的系數－1，于是就可以分解為(x2)(x3)．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：（1）=；（2）=．【探究與拓展】對于形如的關于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規則，則原式=mxpyjnxqyk，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰下列問題：（1）分解因式=；（2）若關于x，y的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求m的值；（3）已知x，y為整數，且滿足，請寫出一組符合題意的x，y的值．20．（2022下·浙江杭州·七年級校考期中）配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等，請用配方法解決以下問題．(1)試說明：、取任何實數時，多項式的值總為正數；(2)分解因式：；(3)已知實數，滿足，求的最小值．21．（2022下·山東濟南·八年級統考期末）【閱讀理解，自主探究】把代數式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數這一性質增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴當a＝b＝1時，M有最小值1．請根據上述自主學習材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，則M的最小值為________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；22．（2022上·湖南長沙·八年級統考期末）方法探究：已知二次多項式，我們把代入多項式，發現，由此可以推斷多項式中有因式（x＋3）．設另一個因式為（x＋k），多項式可以表示成，則有，因為對應項的系數是對應相等的，即，解得，因此多項式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：(1)對于二次多項式，我們把x＝代入該式，會發現成立；(2)對于三次多項式，我們把x＝1代入多項式，發現，由此可以推斷多項式中有因式（），設另一個因式為（），多項式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對于多項式，用“試根法”分解因式．23．（2023下·浙江·七年級專題練習）材料一：一個正整數x能寫成（a，b均為正整數，且），則稱x為“雪松數”，a，b為x的一個平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，則稱a，b為x的最佳平方差分解，此時．例如：，24為“雪松數”，7和5為24的一個平方差分解，，，因為，所以9和7為32的最佳平方差分解，；材料二：若一個四位正整數，它的千位數字與個位數字相同，百位數字與十位數字相同，但四個數字不全相同，則稱這個四位數為“南麓數”．例如4334，5665均為“南麓數”．根據材料回答：(1)請直接寫出兩個“雪松數”，并分別寫出它們的一對平方差分解；(2)試證明10不是：“雪松數”；(3)若一個數t既是“雪松數”又是“南麓數”，并且另一個“南麓數”的前兩位數字組成的兩位數與后兩位數字組成的兩位數恰好是t的一個平方差分解，請求出所有滿足條件的數t中的最大值．24．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）我們定義：一個整數能表示成（a、b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為，所以5是“完美數”．[解決問題](1)已知29是“完美數”，請將它寫成（a、b是整數）的形式______；(2)若可配方成（m、n為常數），則______；[探究問題](3)已知，則______；(4)已知（x、y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．[拓展結論](5)已知實數x、y滿足，求的最值．25．（2019上·河南南陽·八年級統考期中）（1）填空：____________；（2）閱讀，并解決問題：分解因式解：設，則原式這樣的解題方法叫做“換元法”，即當復雜的多項式中，某一部分重復出現時，我們用字母將其替換，從而簡化這個多項式，換元法是一個重要的數學方法，不少問題能用換元法解決.請你用“換元法”對下列多項式進行因式分解：①②26．（2019上·山東威海·八年級統考期中）【閱讀材料】因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法.【問題解決】（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）證明：若為正整數，則代數式的值一定是某個整數的平方．27．（2019下·江蘇蘇州·七年級校聯考期中）你會對多項式(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12分解因式嗎？對結構較復雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替(即換元)，能使復雜的問題簡單化、明朗化．從換元的個數看，有一元代換、二元代換等．對于(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12．解法一：設x2+5x＝y，則原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y2+5y﹣6＝(y+6)(y﹣1)＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)．解法二：設x2+5x+2＝y，則原式＝y(y+1)﹣12＝y2+y