2025屆湖南省示范名校高二上數學期末監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.2．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.3．已知集合，集合或，是實數集，則（）A. B.C. D.4．某商場開通三種平臺銷售商品，五一期間這三種平臺的數據如圖1所示．該商場為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進行滿意度調查，得到的數據如圖2所示．下列說法正確的是（）A.樣本中對平臺一滿意的消費者人數約700B.總體中對平臺二滿意的消費者人數為18C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費者總人數為60D.若樣本中對平臺三滿意消費者人數為120，則5．已知橢圓經過點，當該橢圓的四個頂點構成的四邊形的周長最小時，其標準方程為（）A. B.C. D.6．設是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.27．已知等比數列的公比為，則“是遞增數列”的一個充分條件是（）A. B.C. D.8．隨著城市生活節奏的加快，網上訂餐成為很多上班族的選擇，下表是某外賣騎手某時間段訂餐數量與送餐里程的統計數據表：訂餐數/份122331送餐里程/里153045現已求得上表數據的回歸方程中的值為1.5，則據此回歸模型可以預測，訂餐100份外賣騎手所行駛的路程約為（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里9．在平面直角坐標系中，已知點，，，，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是.當時，的最小值為（）A. B.C. D.10．已知數列是等比數列，，是函數的兩個不同零點，則等于（）A. B.C.14 D.1611．已知數列滿足，且，為其前n項的和，則（）A. B.C. D.12．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義在上的函數滿足：有成立且，則不等式的解集為__________14．已知，在直線上存在點P，使，則m的最大值是_______.15．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側面BCC1B1上的動點，且AP⊥BD1，記點P到平面ABCD的距離為d，則d的最大值為____________.16．若p：存在，使是真命題，則實數a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點為，雙曲線C的左、右頂點分別為A，B（1）求雙曲線C的方程；（2）過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點（點P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值18．（12分）已知二項式的展開式中各二項式系數之和比各項系數之和小240．求：（1）n的值；（2）展開式中x項的系數；（3）展開式中所有含x的有理項19．（12分）已知拋物線上橫坐標為3的點P到焦點F的距離為4.（1）求拋物線E的方程；（2）點A、B為拋物線E上異于原點O的兩不同的點，且滿足.若直線AB與橢圓恒有公共點，求m的取值范圍.20．（12分）已知等比數列的前n項和為，，（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這n個數之和為，求數列的前n項和21．（12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，.（1）求數列{an}通項公式；（2）求數列的前n項和，求使不等式成立的最大整數m的值.22．（10分）已知O為坐標原點，雙曲線C：（，）的離心率為，點P在雙曲線C上，點，分別為雙曲線C的左右焦點，.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知點，，設直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據不等式的性質及反例判斷各個選項.【詳解】因為c>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項A；時，，且，所以不滿足選項CD；故選：B2、A【解析】求出直線斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.3、A【解析】先化簡集合，再由集合的交集、補集運算求解即可【詳解】，或，故故選：A4、C【解析】根據扇形圖和頻率分布直方圖判斷.【詳解】對于A：樣本中對平臺一滿意的人數為，故選項A錯誤；對于B：總體中對平臺二滿意的人數約為，故選項B錯誤；對于C：樣本中對平臺一和平臺二滿意的總人數為：，故選項C正確：對于D：對平臺三的滿意率為，所以，故選項D錯誤故選：C5、A【解析】把點代入橢圓方程得，寫出橢圓頂點坐標，計算四邊形周長討論它取最小值時的條件即得解.【詳解】依題意得，橢圓的四個頂點為，順次連接這四個點所得四邊形為菱形，其周長為，，當且僅當，即時取“=”，由得a2=12，b2=4，所求標準方程為.故選：A【點睛】給定兩個正數和(兩個正數倒數和)為定值，求這兩個正數倒數和(兩個正數和)的最值問題，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.6、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由已知，不妨設，則，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題.7、D【解析】由等比數列滿足遞增數列，可進行和兩項關系的比較，從而確定和的大小關系.【詳解】由等比數列是遞增數列，若，則，得；若，則，得；所以等比數列是遞增數列，或，；故等比數列是遞增數列是遞增數列的一個充分條件為，.故選：D.8、C【解析】由統計數據求樣本中心，根據樣本中心在回歸直線上求得，即可得回歸方程，進而估計時的y值即可.【詳解】由題意：，，則，可得，故，當時，.故選：C9、A【解析】設出點坐標，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點的軌跡方程，設，根據雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設點坐標為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點的軌跡方程為又，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以、為頂點的雙曲線的左支（除點），因為，設，由雙曲線的定義可知，所以，當且僅當、、三點共線時取得最小值，因為，所以，所以，即的最小值為；故選：A10、C【解析】根據等比數列的性質求得正確答案.【詳解】是函數的兩個不同零點，所以，由于數列是等比數列，所以.故選：C11、B【解析】根據等比數列的前n項和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項為2，公比為3的等比數列，則.故選：B.12、A【解析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，，即，故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由，判斷出函數的單調性，利用單調性解即可【詳解】設,又有成立，函數，即是上的增函數，，即,，故答案為：14、11【解析】設P點坐標，根據條件知，由向量的坐標運算可得P點位于圓上，再根據P存在于直線上，可知直線和圓有交點，因此列出相應的不等式，求得m范圍，可得m的最大值.【詳解】設P（x,y）,則，由題意可知,所以，即，即滿足條件的點P在圓上，又根據題意P點存在于直線上，則直線與圓有交點，故有圓心(1,0)到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，則m的最大值為11，故答案為：11.15、##【解析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得的坐標之間的關系，以及坐標的范圍，即可求得結果.【詳解】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系如下所示：設，則，，∵，∴，解得，因為，所以c的最大值為，即點P到平面的距離d的最大值為.故答案為：.16、【解析】將問題分離參數得到存在，使成立，可得結論.【詳解】存在，使，即存在，使，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設直線方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理法即證【小問1詳解】由題意可知在雙曲線C中，，，，解得所以雙曲線C的方程為；【小問2詳解】證法一：由題可知，設直線，，，由，得，則，，∴，，；當直線的斜率不存在時，，此時.綜上，為定值證法二：設直線PQ方程為，，，聯立得整理得，由過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，則解得，，，，由雙曲線方程可得，，，，∵，∴，，證法三：設直線PQ方程為，，，聯立得整理得，由過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，則解得，∴，，由雙曲線方程可得，，則，所以，，，∴為定值18、（1）4（2）54（3）第1項，第3項，第5項【解析】（1）由題可得，解方程即得；（2）利用二項展開式的通項公式，即得；（3）利用二項展開式的通項公式，令，即求【小問1詳解】由已知，得，即，所以或（舍），∴【小問2詳解】設展開式的第項為令，得，則含x項的系數為【小問3詳解】由（2）可知，令，則有，2，4，所以含x的有理項為第1項，第3項，第5項19、（1）（2）【解析】（1）由焦半徑公式可得，求解即可得答案；（2）由題意，直線AB斜率不為0，設，，聯立直線與拋物線的方程，由韋達定理及可得，從而可得直線AB恒過定點，進而可得定點在橢圓內部或橢圓上即可求解.【小問1詳解】解：因為拋物線上橫坐標為3的點P到焦點F的距離為4，所以，解得，所以拋物線E的方程為；【小問2詳解】解：由題意，直線AB斜率不為0，設，，由，可得，所以，因為，即，所以，所以，即，所以，所以直線，所以直線AB恒過定點，因為直線AB與橢圓恒有公共點，所以定點在橢圓內部或橢圓上，即，所以.20、（1）；（2）【解析】(1)設等比數列公比為q，利用與關系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據等差數列前n項和公式可求，分析{}的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【小問1詳解】設等比數列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數列的通項公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個數，這個數組成以為首項的等差數列，∴，設{}前n項和為，①①×3：②①－②：21、（1）；（2）.【解析】（1）根據給定的遞推公式變形，再構造常數列求解作答.（2）利用（1）的結論求出，再利用裂項相消法求和，由單調性求出最大整數m值作答.【小問1詳解】依題意，，當時，，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數列{an}的通項公式是.【小問2詳解】由（1）得，，數列是遞增數列，因此，，于是有，則，不等式成立，則，，于