2025屆吉林省吉林市蛟河市朝鮮族中學校高二數學第一學期期末復習檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系xOy中，過x軸上的點P分別向圓和圓引切線，記切線長分別為．則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.52．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.3．《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢4．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.5．不等式解集為（）A. B.C. D.6．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.7．已知，則點關于平面的對稱點的坐標是（）A. B.C. D.8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（）A. B.C. D.9．兩圓與的公切線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條10．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，角終邊上有一點（1，2），為銳角，且，則（）A.-18 B.-6C. D.11．古希臘數學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點P(x，y)滿，則動點P軌跡與圓的位置關系是（）A.相交 B.相離C.內切 D.外切12．若拋物線焦點坐標為，則的值為A. B.C.8 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足，則的最小值為__________．的前20項和為________14．射擊隊某選手命中環數的概率如下表所示：命中環數10987概率0.320.280.180.120.1該選手射擊兩次，兩次命中環數相互獨立，則他至少命中一次9環或10環的概率為_________________.(結果用小數表示)15．已知直線，圓，若直線與圓相交于兩點,則的最小值為______16．已知數列前n項和為，且.（1）證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）在①；②；③這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并加以解答.已知數列滿足___________，求的前n項和.注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案解答計分.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論的零點個數.18．（12分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到、兩點的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過橢圓C的焦點作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積19．（12分）新冠肺炎疫情發生以來，我國某科研機構開展應急科研攻關，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗.根據普遍規律，志愿者接種疫苗后體內會產生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用表示注射疫苗后的天數，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現測得某志愿者的相關數據如下表所示：天數123456抗體含量水平510265096195根據以上數據，繪制了散點圖.（1）根據散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數）哪一個更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）的判斷結果求出y關于x的回歸方程，并預測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者前6天的檢測數據中隨機抽取4天的數據作進一步的分析，記其中的y值大于50的天數為X，求X的分布列與數學期望.參考數據：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經過點，，，，的線性回歸方程的系數公式，；.20．（12分）如圖，在長方體中，底面是邊長為1的正方形，側棱長為2，且動點P在線段AC上運動（1）若Q為的中點，求點Q到平面的距離；（2）設直線與平面所成角為，求的取值范圍21．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束，設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結束的概率；（2）求甲獲勝的概率22．（10分）如圖，四棱錐中，側面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用兩點間的距離公式，將切線長的和轉化為到兩圓心的距離和，利用三點共線距離最小即可求解.詳解】，圓心，半徑，圓心，半徑設點P，則，即到與兩點距離之和的最小值，當、、三點共線時，的和最小，即的和最小值為.故選：D【點睛】本題考查了兩點間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎題.2、C【解析】利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.3、D【解析】根據題意將實際問題轉化為等差數列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數列，設公差為，整理上面兩個算式，得：，解得，故選：4、C【解析】由，且，可得，再結合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關系，利用求解；（2）根據條件列出的齊次方程，利用轉化為關于的方程，解方程即可，注意根據對所得解進行取舍.5、C【解析】化簡一元二次不等式的標準形式并求出解集即可.【詳解】不等式整理得，解得或，則不等式解集為.故選：.6、C【解析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設，設，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設，由在長方體中，，，設，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因為，所以.故選：C.7、C【解析】根據對稱性求得坐標即可.【詳解】點關于平面的對稱點的坐標是，故選：C8、A【解析】由余弦定理計算求得角,根據三角形面積公式計算即可得出結果.【詳解】由余弦定理得，,∴，∴，故選：A9、D【解析】求得圓心坐標分別為，半徑分別為，根據圓圓的位置關系的判定方法，得出兩圓的位置關系，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線.故選：D.10、A【解析】由終邊上的點可得，由同角三角函數的平方、商數關系有，再應用差角、倍角正切公式即可求.【詳解】由題設，，，則，又，，所以.故選：A11、A【解析】首先求得點的軌跡，再利用圓心距與半徑的關系，即可判斷兩圓的位置關系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A12、A【解析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的焦點坐標，可得的值.【詳解】拋物線的標準方程為，因為拋物線的焦點坐標為，所以，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關利用拋物線的焦點坐標求拋物線的方程的問題，涉及到的知識點有拋物線的簡單幾何性質，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②.【解析】由題設可得，應用累加法求的通項公式，由基本不等式及確定的最小值，再應用裂項求和法求的前20和.【詳解】由題設，，∴，…，，又，∴將上式累加可得：，則，∴，當且僅當時等號成立，又，故最小，則或5，當時，；當時，；∴的最小值為.由上知：，∴前20項和為.故答案為：8，.14、84【解析】先求出該選手射擊兩次，兩次命中的環數都低于9環的概率，由對立事件的概率可得答案.【詳解】該選手射擊一次，命中的環數低于9環的概率為該選手射擊兩次，兩次命中的環數都低于9環的概率為所以他至少命中一次9環或10環的概率為故答案：0.8415、【解析】求出直線過的定點，當圓心和定點的連線垂直于直線時，取得最小值，結合即可求解.【詳解】由題意知，圓，圓心，半徑，直線，，，解得，故直線過定點，設圓心到直線的距離為，則，可知當距離最大時，有最小值，由圖可知，時，最大，此時，此時.故的最小值為.故答案為：.16、（1）證明見解析，；（2）答案見解析.【解析】（1）利用得出的遞推關系，變形后可證明是等比數列，由等比數列通項公式得，然后再除以得到新數列是等差數列，從而可求得；（2）選①，直接求出，用錯位相減法求和；選②，求出，用分組（并項）求和法求和；選③，求出，用裂項相消法求和【詳解】解：（1）當時，因為，所以，兩式相減得，.所以.當時，因為，所以，又，故，于是，所以是以4為首項2為公比的等比數列.所以，兩邊除以得，.又，所以是以2為首項1為公差的等差數列.所以，即.（2）若選①：，即.因為，所以.兩式相減得，所以.若選②：，即.所以.若選③：，即.所以.【點睛】本題考查求等差數列、等比數列的通項公式，錯位相減法求和．數列求和的常用方法：設數列是等差數列，是等比數列，（1）公式法：等差數列或等比數列的求和直接應用公式求和；（2）錯位相減法：數列的前項和應用錯位相減法；（3）裂項相消法；數列（為常數，）的前項和用裂項相消法；（4）分組（并項）求和法：數列用分組求和法，如果數列中的項出現正負相間等特征時可能用并項求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數）的數列，需用倒序相加法求和三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞增區間是和，單調遞減區間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解析】（1）求解函數的導數，再運用導數求解函數的單調區間即可；（2）根據導數分析原函數的極值，進而討論其零點個數.【詳解】（1）因為，所以由，得或；由，得.故單調遞增區間是和，單調遞減區間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當時，方程有且僅有1個實根，即有1個零點；②當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；③當時，方程有3個不同實根，即有3個零點；④當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；⑤當時，方程有1個實根，即有1個零點.綜上，當或時，有1個零點；當或時，有2個零點；當時，有3個零點.18、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標，則可求出直線PQ的方程，然后將直線方程與橢圓方程聯立，消去，利用根與系數的關系，求出的值，從而可求出的值【小問1詳解】由橢圓定義可得2a＝4，所以a＝2，又因點在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為【小問2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線PQ的方程為，設，，由可得，所以，，所以，所以19、（1）（2），4023.87（3）分布列答案見解析，數學期望：【解析】（1）由于這些點分布在一條曲線的附近，從而可選出回歸方程，（2）設，，則建立w關于x的回歸方程，然后根據公式和表中的數據求解回歸方程即可，再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值，（3）由題意可知x的可能取值為0，1，2，然后求對應的概率，從而可求出分布列和期望【小問1詳解】根據散點圖可知這些點分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關系的回歸方程類型.【小問2詳解】設，變換后可得，設，建立w關于x的回歸方程，，所以所以w關于x的回歸方程為，所以，當時，，即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.【小問3詳解】由表格數據可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為012.20、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標系，利用空間向量法求出平面的法向量，結合點到平面的距離的向量求法計算即可；(2)設點，，進而得出的坐標，利用向量的數量積即可列出線面角正弦值的表達式，結合二次函數的性質即可得出結果.【小問1詳解】由題意，分別以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標系，于是，，，