IIR數(shù)字濾波器設計的基本思想模擬低通濾波器設計模擬域頻率變換脈沖響應不變法*雙線性變換法*IIR數(shù)字濾波器的設計學習要求了解Butterworth模擬低通濾波器的設計方法，以及常用模擬低通濾波器的頻域特性。理解模擬域頻率變換設計模擬高通、帶通和帶阻濾波器的基本方法。掌握脈沖響應不變法設計數(shù)字濾波器的基本思想和方法，以及其局限性。掌握雙線性變換法設計數(shù)字濾波器的基本原理及其特點。掌握設計IIR數(shù)字低通、高通、帶通和帶阻濾波器的主要步驟。重點和難點

本章的重點是將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器本章的難點是模擬非低通濾波器的設計數(shù)字濾波器的設計LTI系統(tǒng)

數(shù)字濾波器設計目標：由給定的數(shù)字濾波器頻率特性的指標,確定M和N及系數(shù)ai,bj從而得到數(shù)字濾波器H(z).

若ai等于零，則系統(tǒng)為FIR數(shù)字濾波器。

若ai至少有一個非零，則系統(tǒng)為IIR

數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的技術要求10通帶過渡帶阻帶)(WjeHpWsWsdpd-1WWs:阻帶截止頻率dp:

通帶波動ds:

阻帶波動通帶衰減(dB)阻帶衰減(dB)Wp:通帶截止頻率(1)將數(shù)字濾波器的設計轉換為模擬濾波器的設計。(2)設計滿足技術指標的模擬濾波器。(3)將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器設計的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設計模擬濾波器脈沖響應不變法雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器設計的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設計模擬濾波器脈沖響應不變法雙線性變換法wp,wsH(s)頻率變換設計原型低通濾波器復頻率變換模擬低通濾波器設計模擬濾波器的技術要求Butterworth模擬低通濾波器切比雪夫I(CBI)型模擬低通濾波器切比雪夫II(CBII)型模擬低通濾波器橢圓低通濾波器模擬濾波器的技術要求pw:通帶截止頻率ws:阻帶截止頻率dp:

通帶波動ds:

阻帶波動通帶衰減(dB)(PassbandAttenuation)阻帶衰減(dB)(StopbandAttenuation)|H(jw)|10通帶過渡帶阻帶pwswsdpd-1wG(w)=20log10|H(jw)|dB濾波器的增益(Gain)函數(shù)

Butterworth模擬低通濾波器設計1.BWLP模擬濾波器的頻域特性N：濾波器階數(shù)

Butterworth模擬低通濾波器設計1.BWLP模擬濾波器的頻域特性(1)|H(j0)|=1，|H(j

)|=0

，-20log|H(jwc)|

3dB，故wc稱3dB截頻。若wc=1，則為歸一化的BWF(2)幅度響應單調(diào)下降(monotonicallydecreasing)(3)|H(jw)|2在w=0點1到2N-1階導數(shù)零，稱為最大平坦性。(maximallyflatmagnitudefilter)

Butterworth模擬低通濾波器設計2.BWLP濾波器的設計步驟(1)確定濾波器的階數(shù)N

(2)確定濾波器的3dB截頻

wc

Butterworth模擬低通濾波器設計2.BWLP濾波器的設計步驟(3)確定濾波器的極點

(4)確定模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HL(s)

常用歸一化(wc=1)

Butterworth

模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一階：二階：三階：四階：例：設計一個滿足下列指標BW型模擬低通濾波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1

，dBAs10

取N=2，將N=2帶入滿足通帶的方程解：

(1)計算N和

c例：設計一個滿足下列指標BW型模擬低通濾波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1

，dBAs10

解：

(2)確定濾波器的極點

(3)確定模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HL(s)

驗證：Ap=1dB滿足指標；As=18.3dB存在裕量

Butterworth模擬低通濾波器設計3.利用MATLAB設計BWLP[num,den]=butter(N,wc,'s')確定階數(shù)為N，3-db截頻為wc(radian/s)的Butterworthfilter分子和分母多項式。's'表示模擬域。[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')確定模擬Butterworthfilter的階數(shù)N和3-db截頻wc。Wc是由阻帶參數(shù)確定的。's'表示模擬域。[z,p,k]=buttap(N)確定N階歸一化的Butterworthfilter的零點、極點和增益(gain)

例：設計滿足下列條件的模擬Butterworth低通濾波器

fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40;[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');fprintf('Orderofthefilter=%.0f\n',N)[num,den]=butter(N,Wc,'s');disp('Numeratorpolynomial');fprintf('%.4e\n',num);disp('Denominatorpolynomial');fprintf('%.4e\n',den);omega=[WpWs];h=freqs(num,den,omega);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));omega=[0:200:12000*pi];h=freqs(num,den,omega);gain=20*log10(abs(h));plot(omega/(2*pi),gain);xlabel('Frequency

in

Hz');ylabel('GainindB');

例：設計滿足下列條件的模擬Butterworth低通濾波器

fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBAp=0.62dB,As=40dB050010001500200025003000-80-60-40-200FrequencyinHzGainindBBW型:N=8切比雪夫I（CBI）型模擬低通濾波器w))((wjH1cwN=2N=3N=7e:通帶波紋

cw：通帶截頻

N：階數(shù)(由阻帶指標確定)1.CBILP的頻域特性切比雪夫I（CBI）型模擬低通濾波器1.CBILP的頻域特性211e+(1)cww￡￡0時，2)(wjH在1和間振蕩(2)cww3時，2)(wjH單調(diào)下降（N增大，下降加速）(3)2211)(ew+=cjH

e控制了通帶衰減N為奇時

1)0(2=jHN為偶時

2211)0(e+=jH切比雪夫I（CBI）型模擬低通濾波器2.CBILP的設計步驟(1)

由通帶截頻wp確定wc

(2)由通帶衰減Ap確定e

(3)由通帶、阻帶指標確定Nwc

=wp

切比雪夫I（CBI）型模擬低通濾波器2.CBILP的設計步驟(4)由N、e

確定CBI型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HL(s)

其中例：設計一CBI型模擬低通濾波器，指標為

wp=0.158,ws=0.727,Ap=1dB,As=10dB(1)求模擬濾波器的

、e取N=2(2)求模擬濾波器的N解:例：設計一CBI型模擬低通濾波器，指標為

wp=0.158,ws=0.727,Ap=1dB,As=10dB解:(3)確定極點，求系統(tǒng)函數(shù)切比雪夫I（CBI）型模擬低通濾波器3.利用MATLAB設計CBILP[z,p,k]=cheb1ap(N,Ap);確定N階歸一化的Chebyshevfilter的零點、極點和增益(gain)。[num,den]=cheby1(N,Ap,wc,'s')確定階數(shù)為N，通帶截頻為wc(radian/s)的Chebyshevfilter。's'表示模擬域[N,Wc]=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,'s')確定模擬Chebyshevfilter的階數(shù)N。wc=wp(rad/s)例：設計滿足下列條件的模擬CBI型低通濾波器

fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB%filterspecificationWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40;%Computerfilterorder[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,'s');fprintf('Orderofthefilter=%.0f\n',N)%computefiltercoefficients[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'s');disp('Numeratorpolynomial');fprintf('%.4e\n',num);disp('Denominatorpolynomial');fprintf('%.4e\n',den);例：設計滿足下列條件的模擬CBI型低通濾波器

fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB%ComputeApandAsofdesignedfilteromega=[WpWs];h=freqs(num,den,omega);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：設計滿足下列條件的模擬CBI型低通濾波器

fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBAp=1.00dB,As=45dB050010001500200025003000-70-60-50-40-30-20-10FrequencyinHzGainindBBW型:N=8CB型:N=5切比雪夫II（CBII）型模擬低通濾波器1.CBIILP的頻域特性切比雪夫II（CBII）型模擬低通濾波器1.CBIILP的頻域特性(1)在|w|>wc時(2)對任意N，wc和

e

>0,(3)在通帶0

w

wc時，|H(jw)|2單調(diào)下降。切比雪夫II（CBII）型模擬低通濾波器2.CBIILP的設計步驟(2)由阻帶衰減As確定e

(3)由通帶、阻帶指標確定N

(1)由阻帶截頻ws確定wc切比雪夫II（CBII）型模擬低通濾波器2.CBIILP的設計步驟(4)由N、e

確定CBII型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HL(s)

其中切比雪夫II（CBII）型模擬低通濾波器3.利用MATLAB設計CBIILP[N,Wc]=cheb2ord(wp,ws,Ap,As,'s')

確定模擬切比雪夫II型濾波器的階數(shù)N。[num,den]=cheby2(N,As,wc,'s')

確定階數(shù)為N，阻帶衰減為AsdB的切比雪夫II型濾波器的分子和分母多項式。wc由cheb2ord函數(shù)確定。*橢圓低通濾波器1.橢圓低通濾波器的頻域特性(1)|w|<wc時,(3)*橢圓低通濾波器2.橢圓低通濾波器的設計步驟(1)由通帶截頻確定wcwc=wp

(2)由通帶的衰減確定e

(3)由阻帶截頻確定k

*橢圓低通濾波器2.橢圓低通濾波器的設計步驟(4)由阻帶衰減確定k1

(5)確定階數(shù)N(6)調(diào)整橢圓濾波器的參數(shù)k或k1

*橢圓低通濾波器2.橢圓低通濾波器的設計步驟(7)確定歸一化橢圓濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

當N為偶數(shù)時

當N為奇數(shù)時

*橢圓低通濾波器3.利用MATLAB設計橢圓低通濾波器[N,Wc]=ellipord(wp,ws,Ap,As,'s')[num,den]=ellip(N,Ap,As,wc,'s')確定橢圓濾波器的階數(shù)N。wc=wp。

確定階數(shù)為N，通帶衰減為ApdB，阻帶衰減為AsdB的橢圓濾波器的分子和分母多項式。wc是橢圓濾波器的通帶截頻。例：設計滿足下列指標的模擬橢圓低通濾波器

fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB050010001500200025003000-100-80-60-40-200FrequencyinHzGainindBAp=1.00dB,As=40dBBW型:N=8CBI型:N=5橢圓型:N=4BW型、CB型和橢圓濾波器的比較1.在相同的設計指標下，一般來說，BW型濾波器的階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低。即使階數(shù)相等，它們的裕量也不同。2.在濾波器的實現(xiàn)過程中，BW型濾波器最容易實現(xiàn)，而橢圓濾波器不易實現(xiàn)（因為它的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點離jw軸最近）。

問題的提出模擬頻率變換 原型低通到低通的變換 原型低通到高通的變換 原型低通到帶通的變換 原型低通到帶阻的變換模擬高通濾波器的設計模擬帶通濾波器的設計模擬帶阻濾波器的設計模擬頻率變換問題的提出如何設計模擬高通

、帶通、帶阻濾波器?wp,wsH(s)頻率變換設計原型低通濾波器復頻率變換模擬頻率變換1.原型低通到低通的變換模擬頻率變換2.原型低通到高通的變換w模擬頻率變換3.原型低通到帶通的變換模擬帶通濾波器的幅度響應模擬頻率變換3.原型低通到帶通的變換取+號時，無論w怎樣變化，w均為正取-號時，無論w怎樣變化，w均為負只討論取+號情況模擬頻率變換3.原型低通到帶通的變換模擬頻率變換4.原型低通到帶阻的變換w1pw2pwws1ws2)(jwBSH01模擬帶阻濾波器的幅度響應模擬頻率變換4.原型低通到帶阻的變換模擬頻率變換4.原型低通到帶阻的變換模擬頻率變換變換類型

頻率變換

復頻率變換注釋原型低通

低通原型低通

高通原型低通

帶通

原型低通

帶阻

模擬高通濾波器的設計(1)由高通濾波器的頻率指標確定低通的頻率指標(3)由復頻率變換將原型低通轉換為高通HHP(s)

模擬高通濾波器的設計步驟：模擬高通濾波器的設計MATLAB實現(xiàn)[numt,dent]=lp2hp(num,den,W0)例：設計滿足下列條件的模擬BW型高通濾波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB解：(1)將高通指標轉換為原型低通濾波器技術指標,Ap

1dB,As

40dB(2)設計BW型原型低通濾波器取N=4例：設計滿足下列條件的模擬BW型高通濾波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB(2)設計BW型原型低通濾波器N=4，wc=5.033

10-5BW型原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為(3)由變換HHP(s)=HL

(1/s)獲得高通濾波器解：%高通濾波器的設計wp=1/(2*pi*5000);ws=1/(2*pi*1000);Ap=1;As=40;[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');disp('LP分子多項式');fprintf('%.4e\n',num);disp('LP分母多項式');fprintf('%.4e\n',den);[numt,dent]=lp2hp(num,den,1);disp('HP分子多項式');fprintf('%.4e\n',numt);disp('HP分母多項式');fprintf(‘%.4e\n’,dent);例：設計滿足下列條件的模擬BW型高通濾波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dBAp=40.0000As=0.10980100020003000400050006000-70-60-50-40-30-20-100FrequencyinHzGainindB例：設計滿足下列條件的模擬BW型高通濾波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB模擬帶通濾波器的設計

模擬帶通濾波器的設計步驟：(1)由帶通濾波器的上下截頻確定變換式中的參數(shù)(2)確定原型低通濾波器的阻帶截頻其中模擬帶通濾波器的設計

模擬帶通濾波器的設計步驟：(4)將原型低通濾波器轉換為帶通濾波器HBP(s)(3)設計通帶截頻為1(rad/s)、阻帶截頻為、通帶衰減為ApdB、阻帶衰減為AsdB的原型低通濾波器模擬帶通濾波器的設計MATLAB實現(xiàn)[numt,dent]=lp2bp(num,den,W0,B)例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(1)由帶通濾波器的上下截頻確定變換式中的參數(shù)(2)確定原型低通濾波器的阻帶截頻故例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(3)設計滿足下列指標的原型低通濾波器取N=4例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(3)設計BW型原型低通濾波器N=4，wc=1.3211(4)將原型低通濾波器轉換為帶通濾波器HBP(s)例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。%帶通濾波器的設計wp=1;ws=3.3182;Ap=1;As=32;w0=sqrt(48);B=2;[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');[numt,dent]=lp2bp(num,den,w0,B);w=linspace(2,12,1000);h=freqs(numt,dent,w);plot(w,20*log10(abs(h)));grid;xlabel('Frequencyinrad/s');ylabel('GainindB')例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。模擬帶阻濾波器的設計

模擬帶阻濾波器的設計步驟：(1)由帶阻濾波器通帶的上下截頻確定變換式中的參數(shù)(2)確定原型低通濾波器的通帶截頻其中模擬帶阻濾波器的設計

模擬帶阻濾波器的設計步驟：(4)將低通濾波器轉換為帶阻濾波器HBS(s)(3)設計通帶截頻為、阻帶截頻為1(rad/s)、通帶衰減為ApdB、通帶衰減為AsdB的低通濾波器模擬帶阻濾波器的設計MATLAB實現(xiàn)[numt,dent]=lp2bs(num,den,W0,B)例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(1)由帶阻濾波器通帶的上下截頻確定變換式中的參數(shù)(2)確定原型低通濾波器的通帶截頻故例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(3)設計滿足下列指標的BW原型低通濾波器取N=2例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(3)設計BW型原型低通濾波器N=2，wc=0.3170(4)將原型低通濾波器轉換為帶阻濾波器HBS(s)例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。Ap=1;As=20;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21;B=ws2-ws1;w0=sqrt(ws1*ws2);wLp1=B*wp1/(w0*w0-wp1*wp1);wLp2=B*wp2/(w0*w0-wp2*wp2);wLp=max(abs(wLp1),abs(wLp2));[N,Wc]=buttord(wLp,1,Ap,As,'s')[num,den]=butter(N,Wc,'s');[numt,dent]=lp2bs(num,den,w0,B);w=linspace(5,35,1000);h=freqs(numt,dent,w);plot(w,20*log10(abs(h)));w=[wp1ws1ws2wp2];set(gca,'xtick',w);grid;h=freqs(numt,dent,w);A=-20*log10(abs(h))例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。10192130-100-80-60-40-200模擬頻率變換變換類型

頻率變換

復頻率變換注釋原型低通

高通原型低通

帶通

原型低通

帶阻

模擬高通濾波器的設計(1)由高通濾波器的頻率指標確定低通的頻率指標(3)由復頻率變換將原型低通轉換為高通HHP(s)

模擬高通濾波器的設計步驟：模擬高通濾波器的設計MATLAB實現(xiàn)[numt,dent]=lp2hp(num,den,W0)例：設計滿足下列條件的模擬BW型高通濾波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB解：(1)將高通指標轉換為原型低通濾波器技術指標,Ap

1dB,As

40dB(2)設計BW型原型低通濾波器取N=4例：設計滿足下列條件的模擬BW型高通濾波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB(2)設計BW型原型低通濾波器N=4，wc=5.033

10-5BW型原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為(3)由變換HHP(s)=HL

(1/s)獲得高通濾波器解：%高通濾波器的設計wp=1/(2*pi*5000);ws=1/(2*pi*1000);Ap=1;As=40;[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');disp('LP分子多項式');fprintf('%.4e\n',num);disp('LP分母多項式');fprintf('%.4e\n',den);[numt,dent]=lp2hp(num,den,1);disp('HP分子多項式');fprintf('%.4e\n',numt);disp('HP分母多項式');fprintf(‘%.4e\n’,dent);例：設計滿足下列條件的模擬BW型高通濾波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dBAp=40.0000As=0.10980100020003000400050006000-70-60-50-40-30-20-100FrequencyinHzGainindB例：設計滿足下列條件的模擬BW型高通濾波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB模擬帶通濾波器的設計

模擬帶通濾波器的設計步驟：(1)由帶通濾波器的上下截頻確定變換式中的參數(shù)(2)確定原型低通濾波器的阻帶截頻其中模擬帶通濾波器的設計

模擬帶通濾波器的設計步驟：(4)將原型低通濾波器轉換為帶通濾波器HBP(s)(3)設計通帶截頻為1(rad/s)、阻帶截頻為、通帶衰減為ApdB、阻帶衰減為AsdB的原型低通濾波器模擬帶通濾波器的設計MATLAB實現(xiàn)[numt,dent]=lp2bp(num,den,W0,B)例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(1)由帶通濾波器的上下截頻確定變換式中的參數(shù)(2)確定原型低通濾波器的阻帶截頻故例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(3)設計滿足下列指標的原型低通濾波器取N=4例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(3)設計BW型原型低通濾波器N=4，wc=1.3211(4)將原型低通濾波器轉換為帶通濾波器HBP(s)例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。%帶通濾波器的設計wp=1;ws=3.3182;Ap=1;As=32;w0=sqrt(48);B=2;[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');[numt,dent]=lp2bp(num,den,w0,B);w=linspace(2,12,1000);h=freqs(numt,dent,w);plot(w,20*log10(abs(h)));grid;xlabel('Frequencyinrad/s');ylabel('GainindB')例:

試設計一個滿足下列指標的BW型帶通濾波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。模擬帶阻濾波器的設計

模擬帶阻濾波器的設計步驟：(1)由帶阻濾波器通帶的上下截頻確定變換式中的參數(shù)(2)確定原型低通濾波器的通帶截頻其中模擬帶阻濾波器的設計

模擬帶阻濾波器的設計步驟：(4)將低通濾波器轉換為帶阻濾波器HBS(s)(3)設計通帶截頻為、阻帶截頻為1(rad/s)、通帶衰減為ApdB、通帶衰減為AsdB的低通濾波器模擬帶阻濾波器的設計MATLAB實現(xiàn)[numt,dent]=lp2bs(num,den,W0,B)例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(1)由帶阻濾波器通帶的上下截頻確定變換式中的參數(shù)(2)確定原型低通濾波器的通帶截頻故例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(3)設計滿足下列指標的BW原型低通濾波器取N=2例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(3)設計BW型原型低通濾波器N=2，wc=0.3170(4)將原型低通濾波器轉換為帶阻濾波器HBS(s)例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。Ap=1;As=20;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21;B=ws2-ws1;w0=sqrt(ws1*ws2);wLp1=B*wp1/(w0*w0-wp1*wp1);wLp2=B*wp2/(w0*w0-wp2*wp2);wLp=max(abs(wLp1),abs(wLp2));[N,Wc]=buttord(wLp,1,Ap,As,'s')[num,den]=butter(N,Wc,'s');[numt,dent]=lp2bs(num,den,w0,B);w=linspace(5,35,1000);h=freqs(numt,dent,w);plot(w,20*log10(abs(h)));w=[wp1ws1ws2wp2];set(gca,'xtick',w);grid;h=freqs(numt,dent,w);A=-20*log10(abs(h))例：試設計一個滿足下列指標的BW型帶阻濾波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。10192130-100-80-60-40-200

問題的提出脈沖響應不變法的基本原理脈沖響應不變法設計DF的步驟脈沖響應不變法

(ImpulseInvariance)問題的提出Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設計模擬濾波器AF到DF的轉換模擬域到數(shù)字域的映射滿足下列條件：1.頻率特性不變，s平面的虛軸jw必須映射到z平面的單位圓上2.變換后的濾波器仍是穩(wěn)定的，s左半平面必須映射到z平面的單位圓內(nèi)問題的提出如何將模擬濾波器轉變?yōu)閿?shù)字濾波器?1.脈沖響應不變法2.雙線性變換法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設計模擬濾波器AF到DF的轉換脈沖響應不變法的基本原理

對模擬濾波器的單位沖激響應h(t)等間隔抽樣來獲得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h[k]

脈沖響應不變法由H(s)獲得H(z)步驟:1．對H(s)進行Laplace反變換獲得h(t)。2．對h(t)等間隔抽樣得到h[k]。

3．計算h[k]的z變換得到H(z)。

脈沖響應不變法的基本原理

脈沖響應不變法由H(s)獲得H(z)步驟:H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反變換抽樣t=kTZ變換1．對H(s)進行Laplace反變換獲得h(t)。2．對h(t)等間隔抽樣得到h[k]。

3．計算h[k]的z變換得到H(z)。

Laplace逆變換，得該系統(tǒng)的單位沖擊響應：對h(t)等間隔抽樣得設H(s)只有一階極點，即

對h(t)進行z變換得脈沖響應不變法的基本原理

脈沖響應不變法由H(s)獲得H(z)H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反變換抽樣t=kTZ變換

模擬濾波器極點與數(shù)字濾波器極點的映射關系：s如果表示為：脈沖響應不變法的基本原理

由時域抽樣理論知，H(ejW)和H(jw)的關系無混疊時：

數(shù)字濾波器在W點的頻率響應和模擬濾波器在w點的頻率響應只差一個常數(shù)因子1/T

數(shù)字頻率W與模擬頻率w的關系為W=wTW=wT例:

設一階模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為利用脈沖響應不變法求H(z)，并分別畫出AF與DF的幅度響應。解：利用單極點H(s)與H(z)的映射關系，可得AF與DF的頻率響應分別為其中W=wT，抽樣頻率為50，200Hz的幅度響應如下例:

設一階模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為利用脈沖響應不變法求H(z)，并分別畫出AF與DF的幅度響應。解：051015202500.20.40.60.81HzDFAFfs=50Hz例:

設一階模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為利用脈沖響應不變法求H(z)，并分別畫出AF與DF的幅度響應。解：02040608010000.20.40.60.81HzDFAFfs=200Hz脈沖響應不變法的基本原理

脈沖響應不變法的優(yōu)缺點

缺點：存在頻譜混疊，故不能用脈沖響應不變法設計高通、帶阻等濾波器。

優(yōu)點：數(shù)字濾波器和模擬濾波器的頻率關系為線性W=wT脈沖響應不變法設計DF的步驟1.將數(shù)字濾波器的頻率指標{Wk}轉換為模擬濾波器的頻率指標{wk}2.由模擬濾波器的指標設計模擬濾波器的H(s)。3.利用脈沖響應不變法，將H(s)轉換H(z)。Wp,Wswp,wsH(s)H(z)w=W/T設計模擬濾波器脈沖響應不變脈沖響應不變法設計DF的步驟[numd,dend]=impinvar(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多項式的系數(shù)向量Fs=1/T：抽樣頻率numd,dend：DF分子、分母多項式的系數(shù)向量脈沖響應不變法的MATLAB實現(xiàn)例：利用AF-BWfilter及脈沖響應不變法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(1)將數(shù)字低通指標轉換成模擬低通指標w=W/T.wp=0.2p/T,ws=0.6p/T,Ap

2db,As

15db(2)設計模擬低通濾波器（BW型）=2=0.8013/T例：利用AF-BWfilter及脈沖響應不變法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(3)將模擬低通濾波器轉換成數(shù)字低通濾波器

極點為s1=(-0.5678+0.5654j)/T,s2=(-0.5678-0.5654j)/T

利用

可得DF的系統(tǒng)函數(shù)為例：利用AF-BWfilter及脈沖響應不變法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;Fs=1;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=Wp*Fs;ws=Ws*Fs;%determinetheorderofAFfilterN=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');%determinethe3-dbcutofffrequencyofBWfilterfrompass-bandspecficationwc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2);%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s');例：利用AF-BWfilter及脈沖響應不變法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs);%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h));numd=numd/norm;plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,db');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及脈沖響應不變法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-16-14-12-10-8-6-4-20NormalizedfrequencyGain,dbAp=1.12dBAs=12.36dB問題的提出采用脈沖響應不變法00.20.40.60.81-9-6-30NormalizedfrequencyGain,dbWp=0.2pWp=0.6p

例如上節(jié)用脈沖響應不變法和一階巴特沃思低通濾波器，設計的3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器為DF的頻譜有混疊

解決方法采用雙線性變換法

問題的提出雙線性變換法的基本原理雙線性變換法設計DF的步驟雙線性變換法無混疊時：W=wT無混疊條件：雙線性變換法的基本原理為達到無混疊條件，先將非帶限的H(s)映射為帶限的H(s’)，再通過脈沖響應不變法將s’域映射到z域。雙線性變換法的基本原理雙線性變換法的基本原理雙線性變換法的基本原理變成：雙線性變換法的基本原理令則s平面和z平面的映射關系雙線性變換法的基本原理

穩(wěn)定性分析令s=

+j

，則有雙線性變換法的基本原理

穩(wěn)定性分析1)s<0,|z|<1S域左半平面映射到Z域單位元內(nèi)2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1S域虛軸映射到Z域單位圓上S域右半平面映射到Z域單位圓外因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的DF系統(tǒng)雙線性變換法的基本原理

W和w

的關系)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww雙線性變換法的基本原理

雙線性變換法的優(yōu)缺點

缺點：幅度響應不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真

適合于設計幅度響應為分段常數(shù)的數(shù)字濾波器

不適合設計像數(shù)字微分器等幅度響應為非常數(shù)

的數(shù)字濾波器

優(yōu)點：無混疊雙線性變換法設計DF的步驟1.將數(shù)字濾波器的頻率指標{Wk}轉換為模擬濾波器的頻率指標{wk}2.由模擬濾波器的指標設計模擬濾波器的H(s)。3.利用雙線性變換法，將H(s)轉換H(z)。雙線性變換法設計DF的步驟Wp,Wswp,wsH(s)H(z)設計模擬濾波器雙線性變換[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多項式的系數(shù)向量Fs：抽樣頻率numd,dend：DF分子、分母多項式的系數(shù)向量利用MATLAB例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的DF比較。解：設雙線性變換中的參數(shù)為T(1)

將DF的頻率指標轉換為AF的頻率指標(2)設計3dB截頻為wp的一階BW型模擬低通濾波器，即N=1,wc=wp故例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的DF比較。解：設雙線性變換中的參數(shù)為T(3)用雙線性變換法將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器

結論：參數(shù)T的取值和最終的設計結果無關。為簡單起見一般取T=2

例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的DF比較。解：脈沖響應不變法設計的DF的系統(tǒng)函數(shù)為取Wp=0.6p，令z=ejW，可分別獲得兩者的幅度響應雙線性變換法設計的DF的系統(tǒng)函數(shù)為例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的DF比較。00.6100.71NormalizedfrequencyAmplitude脈沖響應不變法雙線性變換法Wp=0.6p

脈沖響應不變法存在頻譜混疊，所設計的DF不滿足給定指標。而雙線性變換法不存在頻譜混疊，所設計的DF滿足給定指標。

3dB例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應不變法設計的DF比較。H雙(z)和H脈(z)幅度響應比較的MATLAB實現(xiàn)Wp=0.6*pi;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(1)將數(shù)字低通指標轉換成模擬低通指標，取T=2Ap

2db,As

15db(2)設計模擬低通濾波器（BW型）=2=0.5851例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(3)用雙線性變換法將模擬低通濾波器轉換成數(shù)字低通濾波器

例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dbcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,db');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dBAp=0.3945As=15.0000例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB將雙線性變換法與脈沖響應不變法所設計DF的結果比較。雙線性變換Ap=0.3945As=15.0000脈沖響應不變法雙線性變換法脈沖響應不變Ap=1.1187As=12.3628非低通IIR數(shù)字濾波器的設計Wp,Wswp,wsH(z)w=W/T脈沖響應不變法雙線性變換法H(s)模擬頻率變換設計原型低通濾波器復頻率變換

注意：脈沖響應不變法不能設計高通和帶阻數(shù)字濾波器

方法一例：試設計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB解:

脈沖響應不變法不適合設計數(shù)字帶阻濾波器，因此采用雙線性變換法設計。

(1)將數(shù)字帶阻濾波器指標轉換成模擬帶阻濾波器指標

取T=2，利用得模擬帶阻指標為wp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB例：試設計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB解:(2)將模擬帶阻濾波器指標轉換成模擬低通濾波器指標

Ap

1dB,As

10dBwp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB模擬帶阻指標例：試設計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB解: