高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《條件概率》同步學(xué)案情境導(dǎo)入在一次英語口試中,共有10道題可選擇.從中隨機(jī)地抽取5道題供考生回答,答對其中3道題即可及格.假設(shè)作為考生的你,只會(huì)答10道題中的6道題,那么,你及格的概率是多少?在抽到第一題不會(huì)答的情況下你及格的概率又是多少?自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.一般地,設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件,且,我們稱_____________為在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.2.對任意兩個(gè)事件與,若,則_____________.我們稱上式為概率的乘法公式.3.當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)事件與相互獨(dú)立時(shí),有_____________4.條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間,因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè),則(1)_________.(2)如果和是兩個(gè)互斥事件,則_______________.(3)設(shè)和互為對立事件,則_______________.答案:1.2.3.4.(1)1(2)(3)預(yù)習(xí)測評1.判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”).(1).()(2).()(3).()(4)若事件等于事件,則.()(5)與相同.()2.某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì),該地區(qū)下雨的概率為,刮風(fēng)的概率為,既刮風(fēng)又下雨的概率為,則在刮風(fēng)天里,下雨的概率為()A.B.C.D.3.已知,則等于()A.B.C.D.4.盒中有10件同一型號的產(chǎn)品,其中3件是次品.現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩件,則在第一件抽取為合格品的條件下,第二件是次品的概率為()A.B.C.D.5.已知,則等于()A.B.C.D.答案:1.(1)(2)√(3)(4)√(5)2.解析:設(shè)事件為“該地區(qū)刮風(fēng)”,事件為“該地區(qū)下雨”,事件為“該地區(qū)既刮風(fēng)又下雨”,則.3.解析:由條件概率公式得.4.解析:設(shè)事件為“抽取的第一件是合格品”,事件為“抽取的第二件是次品”,則,所以.5.C解析:因?yàn)?且,所以新知探究探究點(diǎn)1條件概率的概念知識詳解一般地,設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件,且,我們稱為在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.特別提示1.所謂的條件概率,是已知試驗(yàn)結(jié)果的一部分信息(即在原隨機(jī)試驗(yàn)的條件上,再加上一定的條件),求另一事件在此條件下發(fā)生的概率.2.在條件概率的概念中,要強(qiáng)調(diào).3.兩個(gè)區(qū)別(1)與之間的區(qū)別:由條件概率的定義可知表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率;而表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率.(2)與之間的區(qū)別:在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率不一定是,即與不一定相等.4.當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)事件與相互獨(dú)立時(shí),有.典例探究例1(1)一袋中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)紅球和2個(gè)白球,如果不放回地依次取2個(gè)小球,在第1次取到紅球的條件下,第2次取到紅球的概率是()A.B.C.D.(2)一個(gè)盒子內(nèi)裝有4個(gè)產(chǎn)品,其中3個(gè)一等品,1個(gè)二等品,從中取兩次,每次任取1個(gè),做不放回抽取.設(shè)事件為“第一次取到的是一等品”,事件為“第二次取到的是一等品”,則______.解析:(1)設(shè)事件為“第1次取到紅球”,事件為“第2次取到紅球”,則,所以.故選C.(2)將一等品編號為,將二等品編號為4,以(,)表示第一次、第二次分別取得第號、第號產(chǎn)品,則試驗(yàn)的樣本空間,,所以事件有9種情況,事件有6種情況,故.答案:(1)C(2)變式訓(xùn)練1(1)由“0”“1”組成的三位字符串中,若用表示“第二位數(shù)字為0”的事件,用表示“第一位數(shù)字為0”的事件,則()A.B.C.D.(2)從一副不含大王、小王的52張撲克牌中不放回地抽取3次,每次抽1張.已知前兩次抽到,則第三次抽到的概率為()A.B.C.D.答案:(1)(2)B解析:(1)在第一位數(shù)字為0的條件下,第二位數(shù)字為0的概率為.(2)設(shè)事件表示“前兩次抽到”,事件表示“第三次抽到",則所以.探究點(diǎn)2概率的乘法公式知識詳解對任意兩個(gè)事件與,若,則,稱此式為概率的乘法公式.特別提示1.乘法公式給出了一種計(jì)算積事件發(fā)生的概率的方法,即在事件不相互獨(dú)立的前提下,可求出及或求出及,再利用乘法公式計(jì)算,便可得到積事件發(fā)生的概率.2.涉及條件概率和乘法公式的題目一般都比之前的題目復(fù)雜,建議在解題的時(shí)候,首先把題目中的相關(guān)事件用符號表示出來,這樣便于分析問題.典例探究例2一袋中裝10個(gè)球,其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球,先后兩次從中隨意各取一球(不放回),則(1)第一次取得黑球,第二次取得白球的概率是(2)兩次均取得白球的概率是解析:(1)用表示事件“第一次取得黑球”,用表示事件“第二次取得白球”,則.故.(2)用表示“第次取得白球”,,則表示兩次取到的均是白球.由題意得.所以.答案:(1)(2)變式訓(xùn)練2市場上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占,乙廠產(chǎn)品占,甲廠產(chǎn)品的合格率是,乙廠產(chǎn)品的合格率是,則從市場上買到的一個(gè)甲廠的合格燈泡的概率是()A.0.665B.0.564C.0.245D.0.285答案:A解析:記事件為“甲廠產(chǎn)品”,事件為“合格產(chǎn)品”,則P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,所以P(AB)=P(A)×P(B|A)=0.7×0.95=0.665.探究點(diǎn)3條件概率的性質(zhì)知識詳解條件概率的性質(zhì)：設(shè),則(1);(2)如果和是兩個(gè)互斥事件,則;(3)設(shè)和互為對立事件,則.特別提示利用公式求條件概率可使復(fù)雜的問題變得較為簡單,但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)是在“事件與事件互斥”這一前提下才具備的.這個(gè)性質(zhì)的推導(dǎo)過程如下:因?yàn)槭录c事件互斥,所以事件與事件互斥,且,所以典例探究已知在某盒子內(nèi)裝有紅、黃、黑三種不同顏色的小球,現(xiàn)從中依次取出兩個(gè)球,若第一次取出黑球的概率為0.5,在第一次取出黑球后第二次取出紅球的概率為0.15,在第一次取出黑球后第二次取出黃球的概率為0.2,則在第一次取出黑球的條件下,第二次取出黃球或紅球的概率為______.解析:設(shè)“取出的第一個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录?“取出的第二個(gè)球?yàn)辄S球”為事件,“取出的第二個(gè)球?yàn)榧t球”為事件,則.所以.所以所求的條件概率為0.35.答案:0.35方法歸納1.把復(fù)雜事件分成兩個(gè)(或多個(gè))互斥的較簡單的事件之和,可使復(fù)雜的問題變得簡單.2.利用求概率時(shí),應(yīng)注意這個(gè)公式在“事件與事件互斥”這一前提下才成立.變式訓(xùn)練3有五瓶墨水,其中紅色一瓶,藍(lán)色、黑色各兩瓶,某同學(xué)從中隨機(jī)任取出兩瓶,若取出的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色,求另一瓶是紅色或黑色的概率.答案:設(shè)事件為“其中一瓶是藍(lán)色”,事件為“另一瓶是紅色”,事件為“另一瓶是黑色”,事件為“另一瓶是紅色或黑色”,則,且與互斥.又故易錯(cuò)易混解讀例袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球(只有顏色不同),不放回抽取,每次任取一球,取兩次,求：(1)第二次才取到黃球的概率;(2)取出的兩個(gè)球的其中之一是黃球時(shí),另一個(gè)也是黃球的概率.錯(cuò)解(1)設(shè)事件表示“第一次取到白球”,事件表示“第二次取到黃球”,事件表示“第二次才取到黃球”.則.(2)記事件表示“其中之一是黃球”,事件表示“兩個(gè)都是黃球”,事件表示“其中之一是黃球時(shí),另一個(gè)也是黃球”.則.錯(cuò)因分析產(chǎn)生以上錯(cuò)解的原因是不理解與的含義,不清楚應(yīng)求哪種類型的概率.正解(1)設(shè)事件表示“第一次取到白球”,事件表示“第二次取到黃球”,事件表示“第二次才取到黃球”.則.(2)記事件表示“其中之一是黃球”,事件表示“兩個(gè)都是黃球”,事件表示“其中之一是黃球時(shí),另一個(gè)也是黃球”.則.糾錯(cuò)心得解題時(shí),先要正確理解并區(qū)分積事件發(fā)生的概率與條件概率,表示在已知事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率,而表示事件與事件同時(shí)發(fā)生的概率.然后正確選擇相應(yīng)的計(jì)算公式求解.課堂檢測1.已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個(gè)路口,第一個(gè)路口遇見紅燈的概率為0.5,兩個(gè)路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4.則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下,第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為()A.0.6B.0.7C.0.8D.0.92.若,則()A.B.C.D.3.將一枚均勻的硬幣任意拋擲兩次,記事件為“第一次出現(xiàn)正面”,事件為“第二次出現(xiàn)正面”,則()A.1B.C.D.4.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋子中先后取2個(gè)球,取后不放回,在第一次取到紅球的條件下,第二次取到紅球的概率為______.5.當(dāng)?shù)貧庀笈_(tái)預(yù)報(bào)某景區(qū)3月31日降雨的概率為0.5,當(dāng)3月31日降雨后4月1日也降雨的概率為0.4,則該景區(qū)3月31日與4月1日兩日連續(xù)降雨的概率為______.答案:1.C解析:設(shè)事件表示“甲在第一個(gè)路口遇到紅燈”,事件表示“甲在第二個(gè)路口遇到紅燈”.由題意得,所以.2.解析:由題意得.解析: