第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1課時勾股定理

學習目標1.了解勾股定理的文化背景，了解常見的利用拼圖驗證勾股定理的方法.2.知道勾股定理的內容.教學重點：掌握勾股定理并運用勾股定理解決簡單的實際問題。教學難點：勾股定理的證明。新課導入你知道在古代，人們如何稱呼直角三角形的三邊嗎？提問那么勾、股、弦之間有什么關系呢？這就是我們今天要探究的問題。勾股弦

推進新課知識點1勾股定理的發現畢達哥拉斯在朋友家里做客時，從磚鋪成的地面中發現了直角三角形三邊的數量關系．觀察你從圖片中發現了什么？

思考三個正方形的面積有什么關系？發現兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積.

思考等腰直角三角形三條邊長度之間有怎樣的特殊關系？SS1S2小結等腰直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.S=S1+S2，即c2=a2+b2.abc

觀察并填寫下表:

ABC面積/格A'B'C'面積/格A、B、C的面積有什么關系？SA+SB=SC925344913探究

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．通過前面的探究活動，你發現了直角三角形三邊之間的關系規律了嗎？提問規律

知識點2勾股定理的證明命題

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．如何證明呢？

如圖我國古代證明該命題的“趙爽弦圖”.趙爽弦圖趙爽指出：四個全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形（黃）。思考你是如何理解的？你會證明嗎？

證明bbaaS=a2+b2acbacb小正方形的面積=(b-a)2即c2=a2+b2.=c2-4×ab

原命題是正確的，又因為該命題與直角三角形的邊有關，我國把它稱為勾股定理.你理解了嗎？原命題是否正確？提問小結

勾股定理

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．作8個全等的直角三角形(2條直角邊長分別為a、b斜邊長為c)，再作3個邊長分別為a、b、c的正方形把它們拼成兩個正方形(如圖)，你能利用這兩個圖形驗證勾股定理嗎?寫出你的驗證過程.嘗

試

解:由圖可知大正方形的邊長為：a+b.則面積為(a+b)2，圖中把大正方形的面積分成了四部分，分別是：邊長為a的正方形，邊長為b的正方形，還有兩個長為b，寬為a的長方形.根據同一個圖形面積相等，由左圖可得(a+b)2=a2+b2+4×

ab，由右圖可得(a+b)2=c2+4×ab.所以a2+b2=c2.

世界上幾個文明古國相繼發現和研究過勾股定理，據說其證明方法多達400多種，有興趣的同學可以繼續研究.

練習1.設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.b=8c=13a=20

2.如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的邊長分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.

解：根據圖形正方形E的邊長為:故E的面積為:252=625.

隨堂檢測基礎鞏固

1.在Rt△ABC中，兩直角邊長分別為3和，則斜邊長為

.2.在Rt△ABC中，若斜邊長為，一條直角邊的長為2，則另一條直角邊的長為

.

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，則b=

.

4.在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知c=25，b=15，求a；(2)已知a=，∠A=60°，求b，c.

錯因分析：出錯主要原因是沒有認真審題，憑經驗認為c

一定是斜邊，事實上，題目并無明確c是斜邊還是直角邊，故需要分類討論.

正解：(1)若c為斜邊，則由a2+b2=c2，可得：32+42=c2，∴c=5.

(2)若c為直角邊，則由3<4，即a<b，可知b=4為斜邊，∴32+c2=42，即c=，綜上所述，三角形第三邊為c=或c=5.

5.已知a，b是直角三角形的兩條邊，且已知a=3，b=4，求第三邊c的長度.拓展延伸

如圖，已知長方形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的長.解：∵∠A=∠C′=∠C=90°,∠AEB=∠C′ED，AB=C′D,∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E,∴C′E=AD-ED=8-ED.又在△EC′D中，

課堂小結

本