試卷第=page22頁，總=sectionpages22頁試卷第=page11頁，總=sectionpages11頁重點高中提前招生模擬考試數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、選擇題1．不等式的解集是（） A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一個質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，將骰子拋擲兩次，擲第一次，將朝上一面的點數記為x，擲第二次，將朝上一面的點數記為y，則點（x，y）落在直線y=﹣x+5上的概率為（） A． B． C． D．3．如圖所示，在正方形鐵皮中，剪下一個圓和一個扇形，使余料盡量少．用圓做圓錐的底面，用扇形做圓錐的側面，正好圍成一個圓錐，若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，那么（） A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如圖所示，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下部分拼成一個梯形，根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于a、b的恒等式為（） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）5．若直線x+2y=2m與直線2x+y=2m+3（m為常數）的交點在第四象限，則整數m的值為（） A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3二、填空題（每小題4分，共24分）6．定義新運算：a⊕b=，則函數y=3⊕x的圖象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函數y=的自變量x的取值范圍是．9．將邊長為a的正三角形各邊三等分，以這六個分點為頂點構成一個正六邊形，則這個正六邊形的面積為．10．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙0上的兩點，若∠CDB=30°，則∠ABC的度數為，cos∠ABC=．11．已知實數x，y滿足x2+3x+y﹣3=0，則x+y的最大值為．12．古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，…叫做三角形數，它有一定的規律．若把第一個數記為a1，第二數記為a2，…，第n個數記為an．計算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答題：（共52分）13．先化簡：÷﹣，然后在0，1，2，3中選一個你認為合格的a值，代入求值．1012?桃源縣校級自主招生）關于x的一元二次議程x2﹣x+p+1=0有兩個實數根x1，x2．（1）求p的取值范圍．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服裝廠批發應夏季T恤衫，其單價y（元）與批發數量x（件）（x為正整數）之間的函數關系如圖所示，（1）直接寫出y與x的函數關系式；（2）一個批發商一次購進250件T恤衫，所花的錢數是多少元？（其他費用不計）；（3）若每件T恤衫的成本價是20元，當100＜x≤400件，（x為正整數）時，求服裝廠所獲利潤w（元）與x（件）之間的函數關系式，并求一次批發多少件時所獲利潤最大，最大利潤是多少？16．如圖，拋物線y=ax2+c（a＞0）經過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，A點到原點的距離為2，梯形的高為3，C點到y軸的距離為1，（1）求拋物線的解析式；（2）點M為y軸上的任意一點，求點M到A，B兩點的距離之和的最小值及此時點M的坐標；（3）在第（2）的結論下，拋物線上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求點P的坐標．1012?桃源縣校級自主招生）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=﹣+b交折線OAB于點E．記△ODE的面積為S．（1）當點E在線段OA上時，求S與b的函數關系式；并求出b的范圍；（2）當點E在線段AB上時，求S與b的函數關系式；并求出b的范圍；（3）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題1．不等式的解集是（） A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考點： 解一元一次不等式組．分析： 先解不等式組中的每一個不等式的解集，再利用求不等式組解集的口訣“大小小大中間找”來求不等式組的解集．解答： 解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式組的解集為﹣3＜x≤2．故選B．點評： 解不等式組是考查學生的基本計算能力，求不等式組解集的時候，可先分別求出組成不等式組的各個不等式的解集，然后借助數軸或口訣求出所有解集的公共部分．2．一個質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，將骰子拋擲兩次，擲第一次，將朝上一面的點數記為x，擲第二次，將朝上一面的點數記為y，則點（x，y）落在直線y=﹣x+5上的概率為（） A． B． C． D．考點： 列表法與樹狀圖法；一次函數圖象上點的坐標特征．分析： 列舉出所有情況，看落在直線y=﹣x+5上的情況占總情況的多少即可．解答： 解：共有36種情況，落在直線y=﹣x+5上的情況有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4種情況，概率是，故選C． 1 2 3 4 5 61 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）點評： 如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=，注意本題是放回實驗．3．如圖所示，在正方形鐵皮中，剪下一個圓和一個扇形，使余料盡量少．用圓做圓錐的底面，用扇形做圓錐的側面，正好圍成一個圓錐，若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，那么（） A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考點： 圓錐的計算；弧長的計算．專題： 壓軸題．分析： 讓扇形的弧長等于圓的周長即可．解答： 解：根據扇形的弧長等于圓的周長，∴扇形弧長等于小圓的周長，即：=2πr，解得R=4r，故選D．點評： 考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．4．如圖所示，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下部分拼成一個梯形，根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于a、b的恒等式為（） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）考點： 平方差公式的幾何背景．專題： 計算題．分析： 可分別在正方形和梯形中表示出陰影部分的面積，兩式聯立即可得到關于a、b的恒等式．解答： 解：正方形中，S陰影=a2﹣b2；梯形中，S陰影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；故所得恒等式為：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故選：C．點評： 此題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵．5．若直線x+2y=2m與直線2x+y=2m+3（m為常數）的交點在第四象限，則整數m的值為（） A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考點： 兩條直線相交或平行問題．專題： 計算題；壓軸題．分析： 由直線x+2y=2m與直線2x+y=2m+3（m為常數）的交點在第四象限，則交點坐標的符號為（+，﹣），解關于x、y的方程組，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答： 解：由題意得，解得，∵直線x+2y=2m與直線2x+y=2m+3（m為常數）的交點在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值為整數，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故選B．點評： 考查了平面直角坐標系中點的符號，是一道一次函數綜合性的題目，是中檔題．二、填空題（每小題4分，共24分）6．定義新運算：a⊕b=，則函數y=3⊕x的圖象大致是．考點： 一次函數的圖象；反比例函數的圖象．專題： 新定義．分析： 根據題意可得y=3⊕x=，再根據反比例函數的性質可得函數圖象所在象限和形狀，進而得到答案．解答： 解：由題意得y=3⊕x=，當x≥3時，y=2；當x＜3且x≠0時，y=﹣，圖象如圖：，故答案為：點評： 此題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，要掌握它們的性質才能靈活解題．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考點： 實數的運算；特殊角的三角函數值．專題： 計算題．分析： 原式第一項利用絕對值的代數意義化簡，第二項利用特殊角的三角函數值計算，最后一項利用負整數指數冪法則計算即可得到結果．解答： 解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案為：π點評： 此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．8．函數y=的自變量x的取值范圍是x＜﹣1或x≥4．考點： 函數自變量的取值范圍．分析： 根據被開方數為非負數和分母不能為0計算即可．解答： 解：由題意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案為：x＜﹣1或x≥4．點評： 本題考查的是函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數．9．將邊長為a的正三角形各邊三等分，以這六個分點為頂點構成一個正六邊形，則這個正六邊形的面積為a2．考點： 正多邊形和圓．分析： 由于正三角形各邊三等分，就把整個三角形平均分成9個小正三角形，以這六個分點為頂點構成一個正六邊形正好相當于6個小正三角形的面積．解答： 解：如圖所示：∵新的正六邊形有三個頂點在正三角形的三邊上，且是三邊的等分點，∴連接正三角形的頂點與它對邊的中點，可以看出新的正六邊形的面積是六個小正三角形的面積之和，∵邊長為a的正三角形各邊三等分，∴小正三角形的邊長為a，∴每個小正三角形的面積是×a×=a×a=a2，∴新的正六邊形的面積=a2×6=a2；故答案為：a2．點評： 此題考查了正三角形的性質、正三角形面積的計算方法；熟練掌握正三角形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．10．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙0上的兩點，若∠CDB=30°，則∠ABC的度數為60°，cos∠ABC=．考點： 圓周角定理；特殊角的三角函數值．分析： 由于AB是⊙O的直徑，由圓周角定理可知∠ACB=90°，則∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度數，已知了同弧所對的圓周角∠CDB的度數，則∠A=∠CDB，由此得解．解答： 解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴cos∠ABC=．故答案為：60°．點評： 此題主要考查了圓周角定理及其推論，半圓（弧）和直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，還考查了三角函數，掌握圓周角定理是解題的關鍵．11．已知實數x，y滿足x2+3x+y﹣3=0，則x+y的最大值為4．考點： 二次函數的應用．專題： 壓軸題．分析： 將函數方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成關于x的函數，根據二次函數的性質求得最大值．解答： 解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值為4．故答案為：4．點評： 本題考查了二次函數的性質及求最大值的方法，即完全平方式法．12．古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，…叫做三角形數，它有一定的規律．若把第一個數記為a1，第二數記為a2，…，第n個數記為an．計算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=10，a2012=2025078．考點： 規律型：數字的變化類．分析： 先計算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，則a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n個三角形數等于1到n的所有整數的和，然后計算n=2012的a的值．解答： 解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，∴a10﹣a9=10∵a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+2+3+4，…∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．故答案為：10，2025078．點評： 本題考查了規律型：數字的變化類，通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況是解答此題的關鍵．三．解答題：（共52分）13．先化簡：÷﹣，然后在0，1，2，3中選一個你認為合格的a值，代入求值．考點： 分式的化簡求值．分析： 先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再選出合適的x的值代入進行計算即可．解答： 解：原式=?+a=a+a=2a．當a=2時，原式=4a．點評： 本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．1012?桃源縣校級自主招生）關于x的一元二次議程x2﹣x+p+1=0有兩個實數根x1，x2．（1）求p的取值范圍．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．考點： 根的判別式；根與系數的關系．分析： （1）根據題意得出△≥0，求出即可；（2）根據根與系數的關系得出x1+x2=1，x1?x2=p+1，整理后得出（1﹣x1?x2）2+（x1+x2）（1﹣x1?x2）+x1?x2=9，代入求出即可．解答： 解：（1）△=（﹣1）2﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，當﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣時，方程有兩個實數根，即p的取值范圍是p≤﹣；（2）根據根與系數的關系得：x1+x2=1，x1?x2=p+1，∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，∴（1﹣x1?x2）2+（x1+x2）（1﹣x1?x2）+x1?x2=9，∴[1﹣（p+1）]2+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，解得：p±2，∵p≤﹣，∴p=﹣2．點評： 本題考查了根與系數的關系，根的判別式的應用，能正確利用知識點進行計算是解此題的關鍵，題目比較典型．15．某服裝廠批發應夏季T恤衫，其單價y（元）與批發數量x（件）（x為正整數）之間的函數關系如圖所示，（1）直接寫出y與x的函數關系式；（2）一個批發商一次購進250件T恤衫，所花的錢數是多少元？（其他費用不計）；（3）若每件T恤衫的成本價是20元，當100＜x≤400件，（x為正整數）時，求服裝廠所獲利潤w（元）與x（件）之間的函數關系式，并求一次批發多少件時所獲利潤最大，最大利潤是多少？考點： 二次函數的應用．分析： （1）由題意設出一次函數的解析式，再根據點在直線上待定系數法求出函數解析式；（2）列出總利潤的函數表達式，轉化為求函數最值問題，最后求出最大利潤；（3）根據利潤=單件利潤×批發數量，列出二次函數表達式，再運用二次函數性質解決最值問題．解答： 解：（1）當0≤x＜100時，y=60；當x≥100時，設y=kx+b，由圖象可以看出過（100，60），（400，40），則，，∴y=；（2）∵250＞100，∴當x=250件時，y=﹣×250+=50元，∴批發商一次購進250件T恤衫，所花的錢數是：50×250=12500元；（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣350）2+，∴當一次性批發350件時，所獲利潤最大，最大利潤是元．點評： 本題考查了待定系數法求函數關系式以及運用函數的性質解決問題，根據題意列出函數表達式是解決問題的關鍵．16．如圖，拋物線y=ax2+c（a＞0）經過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，A點到原點的距離為2，梯形的高為3，C點到y軸的距離為1，（1）求拋物線的解析式；（2）點M為y軸上的任意一點，求點M到A，B兩點的距離之和的最小值及此時點M的坐標；（3）在第（2）的結論下，拋物線上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求點P的坐標．考點： 二次函數綜合題．分析： （1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），將A、C兩點的坐標代入y=ax2+c，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）由于A、D關于拋物線對稱軸即y軸對稱，那么連接BD，BD與y軸的交點即為所求的M點，可先求出直線BD的解析式，即可得到M點的坐標；（3）設直線BC與y軸的交點為N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面積；在△PAD中，AD的長為定值，可根據其面積求出P點縱坐標的絕對值，然后代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．解答： 解：（1）由題意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），∵拋物線y=ax2+c（a＞0）經過A、C兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4；（2）由于A、D關于拋物線的對稱軸（即y軸）對稱，連接BD，則BD與y軸的交點即為M點；設直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），∴，解得，∴直線BD的解析式為y=x﹣2，當x=0時，y=﹣2，∴點M的坐標是（0，﹣2）；（3）設BC與y軸的交點為N，則有N（0，﹣3），∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），∴MN=1，BN=1，ON=3，∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，∴S△PAD=S△ABM=2．∵S△PAD=AD?|yP|=2，AD=4，∴|yP|=1．當P點縱坐標為1時，x2﹣4=1，解得x=±，∴P1（，1），P2（﹣，1）；當P點縱坐標為﹣1時，x2﹣4=﹣1，解得x=±，∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；故存在符合條件的P點，且P點坐標為：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．點評： 此題是二次函數的綜合題型，其中涉及到二次函數解析式的確定、函數圖象交點及圖形面積的求法，軸對稱的性質等．當所求圖形不規則時，一般要將不規則圖形轉換為幾個規則圖形面積的和差來求．1012?桃源縣校級自主招生）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=﹣+b交折線OAB于點E．記△ODE的面積為S．（1）當點E在線段OA上時，求S與b的函數關系式；并求出b的范圍；（2）當點E在線段AB上時，求S與b的函數關系式；并求出b的范圍；（3）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．考點： 一次函數綜合題．專題： 壓軸題．分析： （1）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D點縱坐標），代入三角形面積公式即可；（2）如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；（3）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化．解答： 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直線經過點A（3，0）時，則b=若直線經過點B（3，1）時，則b=若直線經過點C（0，1）時，則b=1①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤，如圖1，此時E（2b，0）∴S=OE?CO=×2b×1=b；（2）若直線與折線OAB的交點在BA上時，即＜b＜，如圖2此時E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）?（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（3）如圖3，設O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形根據軸對稱知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．過點D作DH⊥OA，垂足為H，由題易知，D（2b﹣2，1），對于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，則E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，設菱形DNEM的邊長為a，則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四邊形DNEM=NE?DH=．∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發生變化，面積始終為．點評： 本題是一個動態圖形中的面積是否變化的問題，看一個圖形的面積是否變化，關鍵是看決定這個面積的幾個量是否變化，本題題型新穎，是個不可多得的好題，有利于培養學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區分度．重點高中提前招生模擬考試數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、選擇題1．不等式的解集是（） A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一個質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，將骰子拋擲兩次，擲第一次，將朝上一面的點數記為x，擲第二次，將朝上一面的點數記為y，則點（x，y）落在直線y=﹣x+5上的概率為（） A． B． C． D．3．如圖所示，在正方形鐵皮中，剪下一個圓和一個扇形，使余料盡量少．用圓做圓錐的底面，用扇形做圓錐的側面，正好圍成一個圓錐，若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，那么（） A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如圖所示，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下部分拼成一個梯形，根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于a、b的恒等式為（） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）5．若直線x+2y=2m與直線2x+y=2m+3（m為常數）的交點在第四象限，則整數m的值為（） A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3二、填空題（每小題4分，共24分）6．定義新運算：a⊕b=，則函數y=3⊕x的圖象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函數y=的自變量x的取值范圍是．9．將邊長為a的正三角形各邊三等分，以這六個分點為頂點構成一個正六邊形，則這個正六邊形的面積為．10．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙0上的兩點，若∠CDB=30°，則∠ABC的度數為，cos∠ABC=．11．已知實數x，y滿足x2+3x+y﹣3=0，則x+y的最大值為．12．古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，…叫做三角形數，它有一定的規律．若把第一個數記為a1，第二數記為a2，…，第n個數記為an．計算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答題：（共52分）13．先化簡：÷﹣，然后在0，1，2，3中選一個你認為合格的a值，代入求值．1012?桃源縣校級自主招生）關于x的一元二次議程x2﹣x+p+1=0有兩個實數根x1，x2．（1）求p的取值范圍．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服裝廠批發應夏季T恤衫，其單價y（元）與批發數量x（件）（x為正整數）之間的函數關系如圖所示，（1）直接寫出y與x的函數關系式；（2）一個批發商一次購進250件T恤衫，所花的錢數是多少元？（其他費用不計）；（3）若每件T恤衫的成本價是20元，當100＜x≤400件，（x為正整數）時，求服裝廠所獲利潤w（元）與x（件）之間的函數關系式，并求一次批發多少件時所獲利潤最大，最大利潤是多少？16．如圖，拋物線y=ax2+c（a＞0）經過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，A點到原點的距離為2，梯形的高為3，C點到y軸的距離為1，（1）求拋物線的解析式；（2）點M為y軸上的任意一點，求點M到A，B兩點的距離之和的最小值及此時點M的坐標；（3）在第（2）的結論下，拋物線上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求點P的坐標．1012?桃源縣校級自主招生）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=﹣+b交折線OAB于點E．記△ODE的面積為S．（1）當點E在線段OA上時，求S與b的函數關系式；并求出b的范圍；（2）當點E在線段AB上時，求S與b的函數關系式；并求出b的范圍；（3）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題1．不等式的解集是（） A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考點： 解一元一次不等式組．分析： 先解不等式組中的每一個不等式的解集，再利用求不等式組解集的口訣“大小小大中間找”來求不等式組的解集．解答： 解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式組的解集為﹣3＜x≤2．故選B．點評： 解不等式組是考查學生的基本計算能力，求不等式組解集的時候，可先分別求出組成不等式組的各個不等式的解集，然后借助數軸或口訣求出所有解集的公共部分．2．一個質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，將骰子拋擲兩次，擲第一次，將朝上一面的點數記為x，擲第二次，將朝上一面的點數記為y，則點（x，y）落在直線y=﹣x+5上的概率為（） A． B． C． D．考點： 列表法與樹狀圖法；一次函數圖象上點的坐標特征．分析： 列舉出所有情況，看落在直線y=﹣x+5上的情況占總情況的多少即可．解答： 解：共有36種情況，落在直線y=﹣x+5上的情況有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4種情況，概率是，故選C． 1 2 3 4 5 61 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）點評： 如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=，注意本題是放回實驗．3．如圖所示，在正方形鐵皮中，剪下一個圓和一個扇形，使余料盡量少．用圓做圓錐的底面，用扇形做圓錐的側面，正好圍成一個圓錐，若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，那么（） A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考點： 圓錐的計算；弧長的計算．專題： 壓軸題．分析： 讓扇形的弧長等于圓的周長即可．解答： 解：根據扇形的弧長等于圓的周長，∴扇形弧長等于小圓的周長，即：=2πr，解得R=4r，故選D．點評： 考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．4．如圖所示，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下部分拼成一個梯形，根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于a、b的恒等式為（） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）考點： 平方差公式的幾何背景．專題： 計算題．分析： 可分別在正方形和梯形中表示出陰影部分的面積，兩式聯立即可得到關于a、b的恒等式．解答： 解：正方形中，S陰影=a2﹣b2；梯形中，S陰影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；故所得恒等式為：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故選：C．點評： 此題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵．5．若直線x+2y=2m與直線2x+y=2m+3（m為常數）的交點在第四象限，則整數m的值為（） A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考點： 兩條直線相交或平行問題．專題： 計算題；壓軸題．分析： 由直線x+2y=2m與直線2x+y=2m+3（m為常數）的交點在第四象限，則交點坐標的符號為（+，﹣），解關于x、y的方程組，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答： 解：由題意得，解得，∵直線x+2y=2m與直線2x+y=2m+3（m為常數）的交點在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值為整數，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故選B．點評： 考查了平面直角坐標系中點的符號，是一道一次函數綜合性的題目，是中檔題．二、填空題（每小題4分，共24分）6．定義新運算：a⊕b=，則函數y=3⊕x的圖象大致是．考點： 一次函數的圖象；反比例函數的圖象．專題： 新定義．分析： 根據題意可得y=3⊕x=，再根據反比例函數的性質可得函數圖象所在象限和形狀，進而得到答案．解答： 解：由題意得y=3⊕x=，當x≥3時，y=2；當x＜3且x≠0時，y=﹣，圖象如圖：，故答案為：點評： 此題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，要掌握它們的性質才能靈活解題．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考點： 實數的運算；特殊角的三角函數值．專題： 計算題．分析： 原式第一項利用絕對值的代數意義化簡，第二項利用特殊角的三角函數值計算，最后一項利用負整數指數冪法則計算即可得到結果．解答： 解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案為：π點評： 此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．8．函數y=的自變量x的取值范圍是x＜﹣1或x≥4．考點： 函數自變量的取值范圍．分析： 根據被開方數為非負數和分母不能為0計算即可．解答： 解：由題意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案為：x＜﹣1或x≥4．點評： 本題考查的是函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數．9．將邊長為a的正三角形各邊三等分，以這六個分點為頂點構成一個正六邊形，則這個正六邊形的面積為a2．考點： 正多邊形和圓．分析： 由于正三角形各邊三等分，就把整個三角形平均分成9個小正三角形，以這六個分點為頂點構成一個正六邊形正好相當于6個小正三角形的面積．解答： 解：如圖所示：∵新的正六邊形有三個頂點在正三角形的三邊上，且是三邊的等分點，∴連接正三角形的頂點與它對邊的中點，可以看出新的正六邊形的面積是六個小正三角形的面積之和，∵邊長為a的正三角形各邊三等分，∴小正三角形的邊長為a，∴每個小正三角形的面積是×a×=a×a=a2，∴新的正六邊形的面積=a2×6=a2；故答案為：a2．點評： 此題考查了正三角形的性質、正三角形面積的計算方法；熟練掌握正三角形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．10．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙0上的兩點，若∠CDB=30°，則∠ABC的度數為60°，cos∠ABC=．考點： 圓周角定理；特殊角的三角函數值．分析： 由于AB是⊙O的直徑，由圓周角定理可知∠ACB=90°，則∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度數，已知了同弧所對的圓周角∠CDB的度數，則∠A=∠CDB，由此得解．解答： 解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴cos∠ABC=．故答案為：60°．點評： 此題主要考查了圓周角定理及其推論，半圓（弧）和直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，還考查了三角函數，掌握圓周角定理是解題的關鍵．11．已知實數x，y滿足x2+3x+y﹣3=0，則x+y的最大值為4．考點： 二次函數的應用．專題： 壓軸題．分析： 將函數方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成關于x的函數，根據二次函數的性質求得最大值．解答： 解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值為4．故答案為：4．點評： 本題考查了二次函數的性質及求最大值的方法，即完全平方式法．12．古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，…叫做三角形數，它有一定的規律．若把第一個數記為a1，第二數記為a2，…，第n個數記為an．計算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=10，a2012=2025078．考點： 規律型：數字的變化類．分析： 先計算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，則a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n個三角形數等于1到n的所有整數的和，然后計算n=2012的a的值．解答： 解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，∴a10﹣a9=10∵a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+2+3+4，…∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．故答案為：10，2025078．點評： 本題考查了規律型：數字的變化類，通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況是解答此題的關鍵．三．解答題：（共52分）13．先化簡：÷﹣，然后在0，1，2，3中選一個你認為合格的a值，代入求值．考點： 分式的化簡求值．分析： 先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再選出合適的x的值代入進行計算即可．解答： 解：原式=?+a=a+a=2a．當a=2時，原式=4a．點評： 本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．1012?桃源縣校級自主招生）關于x的一元二次議程x2﹣x+p+1=0有兩個實數根x1，x2．（1）求p的取值范圍．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．考點： 根的判別式；根與系數的關系．分析： （1）根據題意得出△≥0，求出即可；（2）根據根與系數的關系得出x1+x2=1，x1?x2=p+1，整理后得出（1﹣x1?x2）2+（x1+x2）（1﹣x1?x2）+x1?x2=9，代入求出即可．解答： 解：（1）△=（﹣1）2﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，當﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣時，方程有兩個實數根，即p的取值范圍是p≤﹣；（2）根據根與系數的關系得：x1+x2=1，x1?x2=p+1，∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，∴（1﹣x1?x2）2+（x1+x2）（1﹣x1?x2）+x1?x2=9，∴[1﹣（p+1）]2+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，解得：p±2，∵p≤﹣，∴p=﹣2．點評： 本題考查了根與系數的關系，根的判別式的應用，能正確利用知識點進行計算是解此題的關鍵，題目比較典型．15．某服裝廠批發應夏季T恤衫，其單價y（元）與批發數量x（件）（x為正整數）之間的函數關系如圖所示，（1）直接寫出y與x的函數關系式；（2）一個批發商一次購進250件T恤衫，所花的錢數是多少元？（其他費用不計）；（3）若每件T恤衫的成本價是20元，當100＜x≤400件，（x為正整數）時，求服裝廠所獲利潤w（元）與x（件）之間的函數關系式，并求一次批發多少件時所獲利潤最大，最大利潤是多少？考點： 二次函數的應用．分析： （1）由題意設出一次函數的解析式，再根據點在直線上待定系數法求出函數解析式；（2）列出總利潤的函數表達式，轉化為求函數最值問題，最后求出最大利潤；（3）根據利潤=單件利潤×批發數量，列出二次函數表達式，再運用二次函數性質解決最值問題．解答： 解：（1）當0≤x＜100時，y=60；當x≥100時，設y=kx+b，由圖象可以看出過（100，60），（400，40），則，，∴y=；（2）∵250＞100，∴當x=250件時，y=﹣×250+=50元，∴批發商一次購進250件T恤衫，所花的錢數是：50×250=12500元；（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣350）2+，∴當一次性批發350件時，所獲利潤最大，最大利潤是元．點評： 本題考查了待定系數法求函數關系式以及運用函數的性質解決問題，根據題意列出函數表達式是解決問題的關鍵．16．如圖，拋物線y=ax2+c（a＞0）經過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，A點到原點的距離為2，梯形的高為3，C點到y軸的距離為1，（1）求拋物線的解析式；（2）點M為y軸上的任意一點，求點M到A，B兩點的距離之和的最小值及此時點M的坐標；（3）在第（2）的結論下，拋物線上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求點P的坐標．考點： 二次函數綜合題．分析： （1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），將A、C兩點的坐標代入y=ax2+c，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）由于A、D關于拋物線對稱軸即y軸對稱，那么連接BD，BD與y軸的交點即為所求的M點，可先求出直線BD的解析式，即可得到M點的坐標；（3）設直線BC與y軸的交點為N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面積；在△PAD中，AD的長為定值，可根據其面積求出P點縱坐標的絕對值，然后代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．解答： 解：（1）由題意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），∵拋物線y=ax2+c（a＞0）經過A、C兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4；（2）由于A、D關于拋物線的對稱軸（即y軸）對稱，連接BD，則BD與y軸的交點即為M點；設直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），∴，解得，∴直線BD的解析式為y=x﹣2，當x=0時，y=﹣2，∴點M的坐標是（0，﹣2）；（3）設BC與y軸的交點為N，則有N（0，﹣3），∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），∴MN=1，BN=1，ON=3，∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，∴S△PAD=S△ABM=2．∵S△PAD=AD?|yP|=2，AD=4，∴|yP|=1．當P點縱坐標為1時，x2﹣4=1，解得x=±，∴P1（，1），P2（﹣，1）；當P點縱坐標為﹣1時，x2﹣4=﹣1，解得x=±，∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；故存在符合條件的P點，且P點坐標為：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．點評： 此題是二次函數的綜合題型，其中涉及到二次函數解析式的確定、函數圖象交點及圖形面積的求法，軸對稱的性質等．當所求圖形不規則時，一般要將不規則圖形轉換為幾個規則圖形面積的和差來求．1012?桃源縣校級自主招生）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=﹣+b交折線OAB于點E．記△ODE的面積為S．（1）當點E在線段OA上時，求S與b的函數關系式；并求出b的范圍；（2）當點E在線段AB上時，求S與b的函數關系式；并求出b的范圍；（3）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．考點： 一次函數綜合題．專題： 壓軸題．分析： （1）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D點縱坐標），代入三角形面積公式即可；（2）如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；（3）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化．解答： 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直線經過點A（3，0）時，則b=若直線經過點B（3，1）時，則b=若直線經過點C（0，1）時，則b=1①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤，如圖1，此時E（2b，0）∴S=OE?CO=×2b×1=b；（2）若直線與折線OAB的交點在BA上時，即＜b＜，如圖2此時E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）?（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（3）如圖3，設O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形根據軸對稱知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．過點D作DH⊥OA，垂足為H，由題易知，D（2b﹣2，1），對于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，則E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，設菱形DNEM的邊長為a，則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四邊形DNEM=NE?DH=．∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發生變化，面積始終為．點評： 本題是一個動態圖形中的面積是否變化的問題，看一個圖形的面積是否變化，關鍵是看決定這個面積的幾個量是否變化，本題題型新穎，是個不可多得的好題，有利于培養學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區分度．重點高中提前招生模擬考試數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一．選擇題（共10小題，每題4分）1．等邊△ABC的各邊與它的內切圓相切于A1，B1，C1，△A1B1C1的各邊與它的內切圓相切于A2，B2，C2，…，以此類推．若△ABC的面積為1，則△A5B5C5的面積為（）A． B． C． D．2．如圖，已知等腰梯形ABCD的腰AB=CD=m，對角線AC⊥BD，銳角∠ABC=α，則該梯形的面積是（）A．2msinα B．m2（sinα）2 C．2mcosα D．m2（cosα）23．正五邊形廣場ABCDE的周長為400米，甲，乙兩個同學做游戲，甲從A處，乙從C處同時出發，沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A的方向繞廣場行走，甲的速度為每分鐘50米，乙的速度為每分鐘46米．在兩人第一次剛走到同一條邊上的那一時刻（）A．甲不在頂點處，乙在頂點處 B．甲在頂點處，乙不在頂點處C．甲乙都在頂點處 D．甲乙都不在頂點處4．如果甲的身高或體重數至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙．在100個小伙子中，若某人不亞于其他99人，我們就稱他為棒小伙子，那么100個小伙子中，棒小伙子最多可能有（）A．1個 B．2個 C．50個 D．100個5．已知反比例函數y=（k＜0）的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，則y1﹣y2的值是（）A．正數 B．負數 C．非正數 D．不能確定6．把方程化為整式方程，得（）A．x2+3y2+6x﹣9=0 B．x2+3y2﹣6x﹣9=0C．x2+y2﹣2x﹣3=0 D．x2+y2+2x﹣3=07．已知兩圓的半徑恰為方程2x2﹣5x+2=0的兩根，圓心距為，則這兩個圓的外公切線有（）條．A．0 B．1 C．2 D．38．半徑相等的圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（）A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：39．已a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，若關于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=0有兩個相等的實根且sinB?cosA﹣cosB?sinA=0，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形10．已知甲乙兩組數據的平均數都是5，甲組數據的方差S2甲=，乙組數據的方差S2乙=，則（）A．甲組數據比乙組數據的波動大B．乙組數據比甲組數據的波動大C．甲組數據與乙組數據的波動一樣大D．甲乙兩組數據的波動大小不能比較二．填空題（共10小題，每題4分）11．如圖，半圓的直徑AB長為2，C，D是半圓上的兩點，若的度數為96°，的度數為36°，動點P在直徑AB上，則CP+PD的最小值為．12．已知正數a和b，有下列結論：（1）若a=1，b=1，則≤1；（2）若a=，b=，則；（3）若a=2，b=3，則≤；（4）若a=1，b=5，則．根據以上幾個命題所提供的信息，請猜想：若a=6，b=7，則ab≤．13．如果滿足||x2﹣6x﹣16|﹣10|=a的實數x恰有6個，那么實數a的值等于．14．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，將矩形ABCD沿對角線對折，然后放在桌面上，折疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是．15．5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它們決定，先睡一覺再分．過了不知多久，來了第一只猴子，它見別的猴子沒來，便將這堆桃子平均分為5堆，結果還多1個，就把多余的這個吃了，取走自己應得的1份．又過了不知多久，來了第2只猴子，它不知道有1個同伴已經來過了，還以為自己是第1個到的，也將地上的桃子平均分為5堆，結果也多1個，就把多余的這個吃了，取走自己應得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是這樣…．則這5只猴子至少摘了個桃子．16．設二次函數y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的圖象經過（0，y1）、（1，y2）和（﹣1，y3）三點，且滿足y12=y22=y32=1，則這個二次函數的解析式是．17．方程x2﹣（m+2）x+m2=0的兩實根之和與積相等，則實數m的值是．18．一組數據35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的極差是．19．如圖所示，△ABC是⊙O的內接三角形，AD⊥BC于D點，且AC=5，DC=3，AB=，則⊙O的直徑等于．如圖所示，一個大長方形被兩條線段AB、CD分成四個小長方形，其中長方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積分別是8、6、5，那么陰影部分的面積是：．三．解答題（共6小題，共70分）21．如圖，M、N、P分別為△ABC三邊AB、BC、CA的中點，BP與MN、AN分別交于E、F．（1）求證：BF=2FP；（2）設△ABC的面積為S，求△NEF的面積．22．已知如圖，A是⊙O的直徑CB延長線上一點，BC=2AB，割線AF交⊙O于E、F，D是OB的中點，且DE⊥AF，連接BE、DF．（1）試判斷BE與DF是否平行？請說明理由；（2）求AE：EC的值．23．如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分線分別與AD、AC交于E，F，H為EF的中點．（1）求證：AH⊥EF；（2）設△AHF、△BDE、△BAF的周長為cl、c2、c3．試證明：，并指出等號成立時的值．24．小軍與小玲共同發明了一種“字母棋”，進行比勝負的游戲．她們用四種字母做成10只棋子，其中A棋1只，B棋2只，C棋3只，D棋4只．“字母棋”的游戲規則為：①游戲時兩人各摸一只棋進行比賽稱一輪比賽，先摸者摸出的棋不放回；②A棋勝B棋、C棋；B棋勝C棋、D棋；C棋勝D棋；D棋勝A棋；③相同棋子不分勝負．（1）若小玲先摸，問小玲摸到C棋的概率是多少？（2）已知小玲先摸到了C棋，小軍在剩余的9只棋中隨機摸一只，問這一輪中小玲勝小軍的概率是多少？（3）已知小玲先摸一只棋，小軍在剩余的9只棋中隨機摸一只，問這一輪中小玲希望摸到哪種棋勝小軍的概率最大？25．初三（8）班尚剩班費m（m為小于400的整數）元，擬為每位同學買1本相冊．某批發兼零售文具店規定：購相冊50本起可按批發價出售，少于50本則按零售價出售，批發價比零售價每本便宜2元，班長若為每位同學買1本，剛好用完m元；但若多買12本給任課教師，可按批發價結算，也恰好只要m元．單價為整數，問該班有多少名同學？每本相冊的零售價是多少元？26．△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O是BC的中點，小敏拿著含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點O，三角板繞O點旋轉．（1）如圖（a），當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時，求證：△BOE∽△CFO；（2）操作：將三角板繞點O旋轉到圖（b）情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于E、F．①探索：△BOE與△CFO還相似嗎？（只需寫結論）：連接EF，△BOE與△OFE是否相似？請說明理由．②設EF=x，△EOF的面積是S，寫出S與x的函數關系式．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．等邊△ABC的各邊與它的內切圓相切于A1，B1，C1，△A1B1C1的各邊與它的內切圓相切于A2，B2，C2，…，以此類推．若△ABC的面積為1，則△A5B5C5的面積為（）A． B． C． D．【考點】KK：等邊三角形的性質；MI：三角形的內切圓與內心．【分析】設等邊△ABC的邊長為a，則可得出△A1B1C1是等邊三角形，且邊長為a，同理，得出等邊△A2B2C2的邊長為（）2a，…，等邊△A5B5C5的邊長為（）5a，由于所有的等邊三角形都相似，所以根據相似三角形的面積比等于相似比的平方求出△A5B5C5的面積．【解答】解：∵等邊△ABC的各邊與它的內切圓相切于A1，B1，C1，設等邊△ABC的內心為O，∴點O也是等邊△ABC的外心，∴A1，B1，C1分別是△ABC各邊的中點，設等邊△ABC的邊長為a，則根據三角形中位線定理，得出△A1B1C1的邊長為a，同理，等邊△A2B2C2的邊長為（）2a，…，等邊△A5B5C5的邊長為（）5a．又∵△ABC∽△A5B5C5，△ABC的面積為1，∴△ABC的面積：△A5B5C5的面積=[a：（）5a]2，∴△A5B5C5的面積=．故選：D．【點評】此題綜合運用了等邊三角形的性質、三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質，綜合性較強，難度中等．2．如圖，已知等腰梯形ABCD的腰AB=CD=m，對角線AC⊥BD，銳角∠ABC=α，則該梯形的面積是（）A．2msinα B．m2（sinα）2 C．2mcosα D．m2（cosα）2【考點】LJ：等腰梯形的性質；T7：解直角三角形．【分析】在等腰梯形ABCD中，對角線AC⊥BD，所以，AC=BD，則，∠ACB=45°；利用正弦定理得，，可得出AC的值，所以，S等腰梯形ABCD=×AC×BD，代入數值，解答出即可．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，對角線AC⊥BD，∴AC=BD，則，∠ACB=45°，又∠ABC=α，AB=CD=m，∴由正弦定理得，，∴AC=msinα÷sin45°，=msinα，∴S等腰梯形ABCD=×AC×BD，=×msinα×msinα，=m2（sinα）2．故選：B．【點評】本題考查了直角三角形、等腰梯形的性質，注意題目中的隱含條件，∠ACB=∠DBC=45°，是解答本題的關鍵．3．正五邊形廣場ABCDE的周長為400米，甲，乙兩個同學做游戲，甲從A處，乙從C處同時出發，沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A的方向繞廣場行走，甲的速度為每分鐘50米，乙的速度為每分鐘46米．在兩人第一次剛走到同一條邊上的那一時刻（）A．甲不在頂點處，乙在頂點處 B．甲在頂點處，乙不在頂點處C．甲乙都在頂點處 D．甲乙都不在頂點處【考點】8A：一元一次方程的應用．【分析】根據二人在1條邊上，二人地距離差小于或等于80米，由甲乙的速度與起始位置，求出甲乙相距80米的時間，然后推算此時甲乙的位置即可作出判斷．【解答】解：由題意得：正方形的邊長為80米，①二人在1條邊上，二人的距離差小于或等于80米．②甲在A點，乙在C點，二人的距離差是160米，甲要追回80米需要的時間是80÷（50﹣46）=20分鐘．③20分鐘甲走了1000米，正好走到CD的中點設為F；20分鐘乙走920米走到DE距D點40米處設為G．④甲從F走到D是40÷50=0.8分鐘；乙用0.8分從G點走出0.8×46=36.8米，距E點80﹣36.8﹣40=3.2米．⑤由此得知甲走到D點時，乙走在DE線上距E3.2米處．故選：B．【點評】本題考查一元一次方程的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，讀懂題意得出二人在1條邊上，二人的距離差小于或等于80米是關鍵．4．如果甲的身高或體重數至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙．在100個小伙子中，若某人不亞于其他99人，我們就稱他為棒小伙子，那么100個小伙子中，棒小伙子最多可能有（）A．1個 B．2個 C．50個 D．100個【考點】O2：推理與論證．【分析】因為求得最多是多少人，且如果甲的身高或體重數至少有一項比乙大，我們可把這一百個小伙子用A1～A100來表示，然后根據體重和身高兩個條件找出答案．【解答】解：先退到兩個小伙子的情形，如果甲的身高數＞乙的身高數，且乙的體重數＞甲的體重數可知棒小伙子最多有2人．再考慮三個小伙子的情形，如果甲的身高數＞乙的身高數＞丙的身高數，且丙的體重數＞乙的體重數＞甲的體重數可知棒小伙子最多有3人．這時就會體會出小伙子中的豆芽菜與胖墩現象．由此可以設想，當有100個小伙子時，設每個小伙子為Ai，（i=1，2，…，100），其身高數為xi，體重數為yi，當y100＞y99＞…＞yi＞yi﹣1＞…＞y1且x1＞x2＞…＞xi＞xi+1＞…＞x100時，由身高看，Ai不亞于Ai+1，Ai+2，…，A100；由體重看，Ai不亞于Ai﹣1，Ai﹣2，…，A1所以，Ai不亞于其他99人（i=1，2，…，100）所以，Ai為棒小伙子（i=1，2，…，100）因此，100個小伙子中的棒小伙子最多可能有100個．故選：D．【點評】本題考查推理和論證，關鍵注意本題有身高和體重兩種情況，少有一項大，就稱作不亞于，從而可求出解．5．已知反比例函數y=（k＜0）的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，則y1﹣y2的值是（）A．正數 B．負數 C．非正數 D．不能確定【考點】G6：反比例函數圖象上點的坐標特征．【分析】由于自變量所在象限不定，那么相應函數值的大小也不定．【解答】解：∵函數值的大小不定，若x1、x2同號，則y1﹣y2＜0；若x1、x2異號，則y1﹣y2＞0．故選：D．【點評】本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，注意反比例函數的圖象的增減性只指在同一象限內．6．把方程化為整式方程，得（）A．x2+3y2+6x﹣9=0 B．x2+3y2﹣6x﹣9=0C．x2+y2﹣2x﹣3=0 D．x2+y2+2x﹣3=0【考點】AG：無理方程．【分析】先將無理方程兩邊平方，轉化為分式方程，再去分母，轉化為整式方程．【解答】解：兩邊都平方得：=，由比例式的性質可知：4（x2+y2）=（x﹣3）2+y2，整理得x2+y2+2x﹣3=0．故選D【點評】本題用到的知識點為：a=b，那么a2=b2．7．已知兩圓的半徑恰為方程2x2﹣5x+2=0的兩根，圓心距為，則這兩個圓的外公切線有（）條．A．0 B．1 C．2 D．3【考點】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；MJ：圓與圓的位置關系．【分析】首先解一元二次方程求得兩圓的半徑，再根據數量關系判斷兩圓的位置關系，進一步確定其外公切線的條數．【解答】解：解方程2x2﹣5x+2=0，得兩圓的半徑是2和，顯然2﹣＜＜2+，則兩圓相交，即這兩個圓的外公切線有2條．故選：C．【點評】此題考查了一元二次方程的解法、兩圓的位置關系與數量之間的聯系以及外公切線的條數，綜合性較強．8．半徑相等的圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為（）A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3【考點】MM：正多邊形和圓．【分析】從中心向邊作垂線，構建直角三角形，通過解直角三角形可得．【解答】解：設圓的半徑是r，則多邊形的半徑是r，則內接正三角形的邊長是2rsin60°=r，內接正方形的邊長是2rsin45°=r，正六邊形的邊長是r，因而半徑相等的圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為：：1．故選：B．【點評】正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉化為解直角三角形．9．已a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，若關于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=0有兩個相等的實根且sinB?cosA﹣cosB?sinA=0，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【考點】AA：根的判別式；T1：銳角三角函數的定義．【分析】由于關于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=0有兩個相等的實根，所以判別式（﹣2a）2﹣4（b+c）（c﹣b）=0，解可得：a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2；又已知sinB?cosA﹣cosB?sinA=0，可得tanA=tanB，故A=B．根據這兩個條件可以判斷△ABC的形狀為等腰直角三角形．【解答】解：∵關于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=0有兩個相等的實根，∴（﹣2a）2﹣4（b+c）（c﹣b）=0，化簡，得a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2．又∵sinB?cosA﹣cosB?sinA=0，∴tanA=tanB，故∠A=∠B，∴a=b，所以△ABC的形狀為等腰直角三角形．故選：D．【點評】主要考查了等腰直角三角形的性質和一元二次方程判別式與根的關系，這些性質和規律要求學生熟練掌握．10．已知甲乙兩組數據的平均數都是5，甲組數據的方差S2甲=，乙組數據的方差S2乙=，則（）A．甲組數據比乙組數據的波動大B．乙組數據比甲組數據的波動大C．甲組數據與乙組數據的波動一樣大D．甲乙兩組數據的波動大小不能比較【考點】W1：算術平均數；W7：方差．【分析】根據方差的定義，方差越小數據越穩定．【解答】解：S2甲=＜S2乙=．故選：B．【點評】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．二．填空題（共10小題）11．如圖，半圓的直徑AB長為2，C，D是半圓上的兩點，若的度數為96°，的度數為36°，動點P在直徑AB上，則CP+PD的最小值為．【考點】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關系；PA：軸對稱﹣最短路線問題．【分析】首先將圓補成整圓．再作D點的對稱點，利用垂徑定理以及解直角三角形求出CD即可，進而得出CP+PD的最小值．【解答】解：將半圓補成整圓，作D點關于直徑AB的對稱點D′，連接CD，作ON⊥CD，∵的度數為96°，的度數為36°，∴∠DOB=36°，∠AOC=96°，∴∠COD=48°，∴∠BOD′=36°，∴∠COD′=36°+36°+48°=120°，∵半圓的直徑AB長為2，∴∠OCN=30°，∴ON=，∴CN==，∴CD=，∵CD=PC+PD，∴PC+PD=．故答案為：．【點評】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理和圓心角、弧、弦心距定理等知識，作出正確輔助線補全圓是解題關鍵．12．已知正數a和b，有下列結論：（1）若a=1，b=1，則≤1；（2）若a=，b=，則；（3）若a=2，b=3，則≤；（4）若a=1，b=5，則．根據以上幾個命題所提供的信息，請猜想：若a=6，b=7，則ab≤．【考點】7A：二次根式的化簡求值．【分析】觀察題目所給出的4個結論可得出的一般式為：；將6和7代入即可得出的范圍，從而可得ab的取值范圍．【解答】解：由已知可得出為一般結論：若a、b均正數，則有；所以當a=6，b=7時，有，即ab．【點評】本題考查了根據已知條件總結規律，并對二次根式求值的問題．13．如果滿足||x2﹣6x﹣16|﹣10|=a的實數x恰有6個，那么實數a的值等于10．【考點】15：絕對值；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】可以根據函數的圖象，先畫出y=x2﹣6x﹣16圖象，x軸以下向上反射得到的圖象再向下平移10個單位后，再次將x軸以下反射上去，得到y=||x2﹣6x﹣16|﹣10|的圖象，因為y=a的圖象是一條橫線，通過圖象得a=10（唯一解）．【解答】解：如圖，a=10時，兩函數有六個交點．故a=10．【點評】本題考查了含絕對值的二次函數，畫出圖象，通過數形結合即可輕松解答．14．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，將矩形ABCD沿對角線對折，然后放在桌面上，折疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是．【考點】K3：三角形的面積；KQ：勾股定理；PB：翻折變換（折疊問題）．【分析】由圖形可知：折疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是原矩形的面積減去重合的部分的面積，只要求出重合的部分的面積即三角形AEC的面積即可，利用勾股定理求出EC答案可得．【解答】解：設折疊后所成圓形覆蓋桌面的面積為S，則：，由Rt△ABE≌Rt△CD1E知EC=AE，設EC=x，則AB2+BE2=x2，即52+（12﹣x）2=x2，解得：，故答案為：．【點評】本題考查了圖形的翻折問題、三角形的面積及勾股定理；利用勾股定理求得EC的大小，從而求得重合部分的面積是正確解答本題的關鍵．15．5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它們決定，先睡一覺再分．過了不知多久，來了第一只猴子，它見別的猴子沒來，便將這堆桃子平均分為5堆，結果還多1個，就把多余的這個吃了，取走自己應得的1份．又過了不知多久，來了第2只猴子，它不知道有1個同伴已經來過了，還以為自己是第1個到的，也將地上的桃子平均分為5堆，結果也多1個，就把多余的這個吃了，取走自己應得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是這樣…．則這5只猴子至少摘了3121個桃子．【考點】#B：整數問題的綜合運用．【分析】根據設原有數量為5a+1，可列出式子得出規律，即原有桃子總量：aa﹣（a﹣1）=b，即可求出5×624+1=3121個．【解答】解：設原有數量為5a