PAGE§1分類加法計數原理和分步乘法計數原理第一課時分類加法計數原理和分步乘法計數原理授課提示：對應學生用書第1頁[自主梳理]一、分類加法計數原理(也稱加法原理)1．原理內容完成一件事，可以有n類方法，在第一類方法中有m1種方法，在其次類方法中有m2種方法，……，在第n類方法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝__________種方法．2．問題特征(1)完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類；(2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；(3)把各類的方法數________，就可以得到完成這件事的全部方法數．二、分步乘法計數原理(也稱乘法原理)1．原理內容完成一件事須要經過n個步驟，缺一不行，做第一步有m1種方法，做其次步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝__________種方法．2．問題特征(1)完成一件事須要經過n個步驟，缺一不行；(2)完成每一步有若干種方法；(3)把各個步驟的方法數__________，就可以得到完成這件事的全部方法數．[雙基自測]1．從甲地到乙地一天之中有三次航班、兩趟火車，某人利用這兩種交通工具在當天從甲地趕往乙地的方法有()A．2種 B．3種C．5種 D．6種2．一個口袋里有15封信，另一個口袋里有4封信，每封信的內容均不相同．從兩個口袋中任取一封信，有________種不同的取法．3．已知函數y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，則不同的二次函數共有________個．[自主梳理]一、1.m1＋m2＋…＋mn2.相加二、1.m1×m2×…×mn2.相乘[雙基自測]1．C從甲地到乙地有2類方法(坐飛機和坐火車)，坐飛機有3種方法(三次航班)，坐火車有2種方法(兩趟火車)，所以結合分類加法計數原理，從甲地趕往乙地的方法有5種．2．19由分類加法計數原理知N＝15＋4＝19.3．100a有4種取法，b與c各有5種取法，授課提示：對應學生用書第1頁探究一分類加法計數原理的應用[例1]在填寫高考志愿表時，一名中學畢業生了解到，A、B兩所高校各有一些自己感愛好的強項專業，詳細狀況如下：A高校B高校生物學醫學化學會計學數學信息技術學物理學法學工程學假如這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇呢？[解析]這名同學可以選擇A、B兩所高校中的任一所．在A高校中有5個強項專業，即有5種選擇方法，在B高校中有4個強項專業，即有4種選擇方法．由于沒有一個強項專業是兩所高校共有的，因此依據加法原理，這名同學可能的選擇種數為5＋4＝9.分類加法計數原理的關鍵是適當的分類．分類時應留意，分類的過程中自始至終要按同一個標準，不能在前半部分按這個標準，后半部分又出現另一個標準．假如有重漏現象就是分類的標準不合適，必需換一個標準進行分類．1．小明衣服上左、右各有一個口袋，左邊口袋裝有30個英語單詞卡片，右邊口袋裝有20個英語單詞卡片，這些英語單詞卡片都互不相同，問從兩個口袋里任取一個英語單詞卡片，有多少種不同的取法？解析：從口袋中任取一個英語單詞卡片的方法有兩類：第一類：從左邊口袋取一個英語單詞卡片有30種不同的取法；其次類：從右邊口袋中取一個英語單詞卡片有20種不同的取法．上述任何一種取法都能獨立完成“取一個英語單詞卡片”這件事，應用分類加法計數原理，所以從中任取一個英語單詞卡片有30＋20＝50種不同的取法．探究二分步乘法計數原理的應用[例2]用0,1,2,3,4這5個數字可以組成多少個無重復數字的(1)銀行存折的四位密碼？(2)四位數？[解析](1)完成“組成無重復數字的四位密碼”這件事，可以分四步完成：第一步：選取左邊第一個位置上的數字，有5種選取方法；其次步：選取左邊其次個位置上的數字，有4種選取方法；第三步：選取左邊第三個位置上的數字，有3種選取方法；第四步：選取左邊第四個位置上的數字，有2種選取方法．由分步乘法計數原理，可組成不同的四位密碼共有5×4×3×2＝120個．(2)完成“組成無重復數字的四位數”這件事，可以分四步完成：第一步：從1,2,3,4中選取一個數字作千位數字，有4種不同的選取方法；其次步：從剩余的四個數字中選取一個數字作百位數字，有4種不同的選取方法；第三步：從剩余的三個數字中選取一個數字作十位數字，有3種不同的選取方法；第四步：從剩余的兩個數字中選取一個數字作個位數字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計數原理，可組成的不同的四位數共有4×4×3×2＝96(個)．利用分步乘法計數原理解決問題的留意點(1)分步是有先后依次的；(2)各步中的方法相互依存，缺一不行．2．現支配一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共5個人，每個人都可以多值幾天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一個人值班，問此值班表共有________種不同的排法．解析：先排第一天，可排5人中任一人，有5種排法；再排其次天，此時不能排第一天已排的人，有4種排法；再排第三天，此時不能排其次天已排的人，有4種排法；同理，第四、五天各有4種排法．由分步乘法計數原理，可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1280(種)．答案：1280探究三兩個計數原理的選擇[例3]一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里裝有12張不同的中國聯通手機卡．(1)某人要從兩個袋子中任取一張自己運用的手機卡，共有多少種不同的取法？(2)某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動手機卡和一張聯通手機卡供自己今后運用，問一共有多少種不同的取法？[解析](1)從兩個袋子中任取一張卡有兩類狀況：第一類：從第一個袋子中任取一張移動手機卡，共有10種取法；其次類：從其次個袋子中任取一張聯通手機卡，共有12種取法．依據分類加法計數原理，共有10＋12＝22種取法．(2)想得到一張移動手機卡和一張聯通手機卡可分兩步進行：第一步，從第一個袋子中任取一張移動手機卡，共有10種取法；其次步，從其次個袋子中任取一張聯通手機卡，共有12種取法．依據分步乘法計數原理，共有10×12＝120種取法．解兩個計數原理的綜合應用題時，最簡單出現不知道應用哪個原理解題的狀況，其思維障礙在于沒有區分該問題是“分類”還是“分步”，突破方法在于仔細審題，明確“完成一件事”的含義．詳細應用時敏捷性很強，要在做題過程中不斷體會和思索，基本原則是“化繁為簡”．3．某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息．(1)若小明的爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？(2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？解析：(1)小明爸爸選凳子可以分兩類：第一類，選東面的空閑凳子，有8種選法；其次類，選西面的空閑凳子，有6種選法．依據分類加法計數原理，小明爸爸共有8＋6＝14(種)坐法．(2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成：第一步，小明先就坐，從東西兩面共14個凳子中選一個坐下，共有14種坐法(小明坐下后，空閑凳子數變成13)；其次步，小明爸爸再就坐，從東西兩面余下的13個空閑凳子中選一個坐下，共13種坐法．由分步乘法計數原理，小明與爸爸分別就坐共有14×13＝182種不同的坐法．對兩個基本原理相識不清致誤[典例](1)把3封信投到4個信箱，全部可能的投法共有________．A．24種 B．4種C．43種 D．34種(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4趟，輪船有3次，此人的走法可有__________種．[解析](1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法．只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計數原理可得共有43種方法．(2)因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，依據分類加法計數原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(種)．[答案](1)C(2)7[錯因與防范]1.解決計數問題的基本策略是合理分類和分步，然后應用分類加法計數原理和分步乘法計數原理來計算．解決本題易出現的問題是完成一件事情的標準不清晰導致計算出現錯誤，對于(1)，選擇的標準不同，誤認為每個信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種，沒有留意到一封信只能投在一個信箱中；對于(2)，易混淆“類”與“步”，誤認為到達乙地先坐火車后坐輪船，運用乘法原理計算．2．每封信只能投到一個信箱里，而每個信箱可以裝1封信，也可以裝2封信，其選擇不是唯一的，所以應留意由信來選擇信箱，每封信有4種選擇．3．在處理詳細的應用問題時，首先必需弄清晰“分類”與“分步”的詳細標準是什么．選擇合理的標準處理事情，可以避開計數的重復或遺漏．用0,1,2,3,4五個數字，(1)可以排出多少個三位數字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？解析：(1)三位數字的電話號碼，首位可以是0，數字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)．(2)三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0