專題02平行線中的拐點模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（鉛筆頭模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補以及上述規律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023上·廣東廣州·八年級校考期中）如圖，已知，，，則的度數是（

）

A． B． C． D．例2．（2023下·綿陽市·七年級校考期中）如圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知，，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．例3．（2023下·遼寧鞍山·七年級統考期末）如圖，已知，下列結論正確的是（

）

A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEFC．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°例4．（2023春·新疆·七年級校考階段練習）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．例5．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，，，，已知，則的度數為．

例6．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④例7．（2023下·河北石家莊·七年級統考期末）下列各圖中的與平行．

圖中的，圖中的，圖中的，圖中的，據此推測，圖中的例8．（2023下·河南安陽·七年級統考期末）【學習新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為，反射光線與水平鏡面的夾角為，則．(1)【初步應用】生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進行測距．如圖2當一束“激光”射到平面鏡上，被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線，回答下列問題：①當，（即時，求的度數；②當時，任何射到平面鏡上的光線經過平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請你根據所學知識及新知說明理由．（提示：三角形的內角和等于(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經過三次反射，得到反射光線已知，若要使，請直接寫出的度數________；例9．（2023下·河南平頂山·七年級統考期中）我們知道，兩條平行線被第三條直線所截，可以得到一些相等的角或者互補的角，所以在某些探究性問題中通過“構造平行線”可以起到將直線的位置關系轉化為角的數量關系的作用．

問題初探：（1）如圖1，，用等式表示之間的數量關系．分析：過點作，則有，因為，所以，所以，從而可以得到之間的數量關系．請你直接寫出之間的數量關系______．類比再探：（2）如圖2，，用等式表示之間的數量關系，并說明理由．拓展應用：（3）利用上面（1）、（2）得出的結論完成下題：已知，如圖3，，與兩個角的角平分線相交于點．①若，求的度數．②若的度數用表示，的度數用表示，則與的之間的關系式為______．課后專項訓練1．（2023下·山西·七年級統考階段練習）小林乘車進入車庫時仔細觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段繞點緩慢向上旋轉，段則一直保持水平狀態上升（即與始終平行），在該過程中始終等于（

）

A． B． C． D．2．（2023上·四川綿陽·八年級統考開學考試）如圖，一束光線先后經平面鏡，反射后，當時，的度數為（）

A．55° B．70° C．60° D．35°3．（2023·山東泰安·統考中考真題）如圖，直線，，則（

）A．150° B．180° C．210° D．240°4．（2023下·山東煙臺·七年級統考期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使，，則的度數為（

）

A． B． C． D．5．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，已知直線，點為直線上一點，為射線上一點，若，，交于點，則的度數為（

）A． B． C． D．6．（2022上·遼寧鞍山·八年級統考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數為．（用含n的式子表示）7．（2023上·云南昆明·八年級統考期末）如圖，在五邊形中滿足，則圖形中的的值是．

8．（2023下·山西呂梁·七年級統考期中）如圖是一款長臂折疊護眼燈示意圖，與桌面垂直，當發光的燈管恰好與桌面平行時，，，則的度數為°．

9．（2023下·河北唐山·七年級統考期中）如圖，，，，則．10．（2023下·甘肅·七年級校考期中）如圖，，已知，．則度．

11．（2023下·山西臨汾·七年級統考期末）如圖，一環湖公路的段為東西方向，經過四次拐彎后，又變成了東西方向的段，則的度數是．

12．（2023下·河南許昌·七年級統考期末）如圖，于，交于點，交于點．若，．

13．（2023下·山東棗莊·七年級校考期中）如圖，已知，，，，平分，則．

14．（2023·江蘇鹽城·七年級校聯考階段練習）如圖，，則．

15．（2023上·四川綿陽·八年級統考開學考試）如圖，已知，若，，則α與β之間的數量關系為．

16．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級統考期末）如圖已知：，，平分，，有下列結論：①；②③；④，其中，正確的結論有．（填序號）

17．（2023下·河南安陽·七年級校考期中）圖1是一種網紅彈弓的實物圖，在兩頭系上皮筋，拉動皮筋可形成如圖2的平面示意圖，彈弓的兩邊可看成是平行的，即，活動小組在探索與，之間的數量關系時，有如下發現：當拉起皮筋使時，瞄準最準確．現測得，，則此次瞄準是否最準確？

18．（2023下·上海浦東新·七年級校考期中）如圖，已知，，那么等于多少度？為什么？

解：過點E作，得（____________），因為（____________），（所作），所以（____________）．得____________（____________）．所以______°（等式性質）．即______°，因為（已知），所以______°（等式性質）．19．（2023下·天津濱海新·七年級統考期末）如圖1，四邊形為一張長方形紙片．

（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（），則__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（），則__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（），則___________°．（4）根據前面探索出的規律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是____________°．20．（2023下·江西南昌·七年級校考期中）【課本再現】（1）①如圖1，已知，直接寫出，和滿足的等式關系；②如圖2，已知，直接寫出，和滿足的等式關系；【知識應用】（2）如圖3是微信聊天對話框，圖4是其示意圖的一部分，已知，，寫出，和滿足的等式關系，并說明理由．

21．（2023·江西上饒·七年級統考期末）（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個點，根據（1）中的結論寫出你的猜想并證明．22．（2023下·河南三門峽·七年級統考期末）下圖所示的格線彼此平行，小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數量關系，他先作出．(1)如圖1，點O在一條格線上，當時，__________；(2)如圖2，點O在兩條格線之間，用等式表示與之間的數量關系，并證明；（可根據證明的需要用a，b，c，…來表示圖中的格線）；(3)在圖3中，記與圖中一條格線形成的銳角為，小明作射線，使得，記與圖中一條格線形成的銳角為，請直接用等式表示與之間的數量關系．

23．（2023下·山東淄博·七年級統考期中）閱讀下列材料：如圖，，，分別是，上的點，點在，之間，連接，我們可以通過作輔助線證明結論：．請你利用這個結論或證明思路，完成下列問題．已知，，分別是，上的點，點在，之