第二章2.4.1圓的標準方程1.掌握圓的定義及標準方程；2.能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程，會用待定系數(shù)法求圓的標準方程.問題導學題型探究達標檢測學習目標問題導學

新知探究點點落實知識點一圓的標準方程思考1確定一個圓的基本要素是什么？答案圓心和半徑.思考2在平面直角坐標系中，如圖所示，以(1,2)為圓心，以2為半徑的圓能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4來表示？答案能.1.以點(a，b)為圓心，r(r>0)為半徑的圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.以原點為圓心，r為半徑的圓的標準方程為x2＋y2＝r2.知識點二點與圓的位置關(guān)系思考點A(1,1)，B(4,0)，

同圓x2＋y2＝4的關(guān)系如圖所示，則|OA|，|OB|，|OC|同圓的半徑r＝2是什么關(guān)系？答案

|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷方法位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點M在圓內(nèi)|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2題型探究

重點難點個個擊破類型一求圓的標準方程例1

(1)以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的方程是(

)A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10

B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25

D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析

∵AB為直徑，∴AB的中點(1,2)為圓心，∴該圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.D(2)與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為___________________.解析

∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25(3)過點A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標準方程是________________.解析

方法一設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∴圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.由題意知方法二由幾何關(guān)系知，圓心在AB的垂直平分線上，∵AB的中點為(0,0)，AB的斜率k＝－1，則AB的垂直平分線為y－0＝x－0.則所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案

(x－1)2＋(y－1)2＝4反思與感悟(1)直接法根據(jù)已知條件，直接求出圓心坐標和圓的半徑，然后寫出圓的方程.(2)待定系數(shù)法①根據(jù)題意，設(shè)出標準方程；②根據(jù)條件，列關(guān)于a，b，r的方程組；③解出a，b，r，代入標準方程.(3)常見的幾何條件與可以轉(zhuǎn)化成的方程①圓心在定直線上轉(zhuǎn)化為圓心坐標滿足直線方程.②圓過定點轉(zhuǎn)化為定點坐標滿足圓的方程，或圓心到定點的距離等于半徑.③圓與定直線相切轉(zhuǎn)化為圓心到定直線的距離等于圓的半徑，或過切點垂直于切線的直線必過圓心.④弦的垂直平分線經(jīng)過圓心.跟蹤訓練1

求下列圓的標準方程：(1)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(3，－4)；解設(shè)圓心(0，b)，得b＝0或－8，所以圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)已知圓和直線x－6y－10＝0相切于點(4，－1)，且經(jīng)過點(9,6)；解因為圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(4，－1)，其方程為y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.即5x＋7y－50＝0上，解得圓心坐標為(3,5)，故所求圓的標準方程為(x－3)2＋(y－5)2＝37.(3)圓過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上.解線段AB的垂直平分線為y－2＝2(x－3)，令y＝0，則x＝2，∴圓心坐標為(2,0)，∴圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝10.類型二點與圓的位置關(guān)系例2

(1)點P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(

)A.在圓內(nèi) B.在圓外C.在圓上 D.不確定解析由(m2)2＋52＝m4＋25>24，∴點P在圓外.(2)已知點M(5＋1，

)在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍是____.解得0≤a<1.B[0,1)反思與感悟(1)判斷點與圓的位置關(guān)系的方法①只需計算該點與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；②把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷.(2)靈活運用若已知點與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍.跟蹤訓練2

已知點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，則a的取值范圍是________________________.解析由題意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1，(－∞，－1)∪(1，＋∞)類型三與圓有關(guān)的最值問題例3已知實數(shù)x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3.當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，(2)求y－x的最大值和最小值；解

設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b，當y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解

x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，它在原點與圓心所在直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為2，反思與感悟與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：(1)形如u＝

形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題.(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.解由題意知x2＋y2表示圓上的點到坐標原點距離的平方，顯然當圓上的點與坐標原點的距離取最大值和最小值時，其平方也相應取得最大值和最小值.原點(0,0)到圓心(－1,0)的距離為d＝1，(1)x2＋y2的最值；(2)x＋y的最值.解令y＋x＝z并將其變形為y＝－x＋z，問題轉(zhuǎn)化為斜率為－1的直線在經(jīng)過圓上的點時在y軸上的截距的最值.當直線和圓相切時在y軸上的截距取得最大值和最小值，123達標檢測

41.圓心為(1,1)且過原點的圓的標準方程是(

)A.(x－1)2＋(y－1)2＝1

B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

D.(x－1)2＋(y－1)2＝2

圓心坐標為(1,1)，所以圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.D12342.若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.－1<a<1 B.0<a<1C.a>1或a<－1 D.a＝±1解析

∵點(1,1)在圓的內(nèi)部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1.A12343.若實數(shù)x，y滿足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，則x2＋y2的最小值是____.解析

x2＋y2表示圓上的點(x，y)與(0,0)間距離的平方，由幾何意義可知，112344.圓心在直線x＝2上的圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程為__________________.解析由題意知圓心坐標為(2，－3)，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.(x－2)2＋(y＋3)2＝5規(guī)律與方法1.判斷點與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大小.(2)代數(shù)法：主要是把點的坐標代入圓的標準方程來判斷：點P(x0，y0)在圓C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；點P(x0，y0)在圓C內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；點P(x0，y0)在圓