第五章

一元一次方程

5.2解一元一次方程

在一卷古埃及草卷中，記載著這樣一個數學問題“它的全部與它的

，其和等于19.”你能求出這個問題中的“它”嗎？

問題：某校三年共購買計算機140臺，去年購買數量是前年的2倍，今年購買數量又是去年的2倍.前年這個學校購買了多少臺計算機?學生活動一

【一起探究】方法一：設前年這個學校購買了計算機x臺，則去年購買計算機2x臺，今年購買計算機4x臺.前年購買量＋去年購買量＋今年購買量＝140臺根據題意，列得方程x+2x+4x＝140.還有不同的設法嗎？還可以列怎樣的方程？方法二：設去年購買x臺.方法三：設今年購買x臺.如何轉化呢?把含有x的項合并同類項，得對于x+2x+4x=140這個方程合并同類項系數化為1，得7x=140x=20解：以x為未知數的方程，就是把方程逐步轉化為x=m（常數）的形式.

回顧本題列方程的過程，可以發現：“總量=各部分量的和”是一個基本的相等關系.學生活動一

【一起歸納】思考：上面解方程中“合并同類項”起了什么作用？

合并同類項的目的就是化簡方程，它是一種恒等變形，可以使方程變得簡單，并逐步使方程向x＝a的形式轉化．學生活動二

【一起探究】問題：

解下列方程：

系數化為1，得x=4（1）（2）7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3學生活動三

【一起探究】（2）7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3解：合并同類項，得6x=-78系數化為1，得x=-13

根據等式的性質解一元一次方程時，得到的x=a就是方程的解.問題：有一列數，按一定規律排列成1，－3，9，－27，81，－243，···，其中第n個數是（－3）

n－1（n＞1），如果這列數中某三個相鄰數的和是－1701，那么這三個數各是多少？分析：從符號和絕對值兩方面觀察，可發現這列數的排列規律：后面的數是它前面的數與－3的乘積.學生活動四

【一起探究】解:設所求三個數中第1個數是x,則后兩個數分別是－3x,9x.由三個數的和是-1701,得x－3x+9x=

－1701.合并同類項,得7x=

－1701.系數化為1,得x=－243.所以－3x=729,9x=

－2187.答:這三個數是-243,729,

－2187.1．方程2x＋x＝－6的解是()A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝－22．對于方程8x＋6x－10x＝8，合并同類項正確的是()A．3x＝8B．4x＝8C．－4x＝8D．2x＝8DB3．解下列方程：(1)6x－5x＝3；解：合并同類項，得x＝3(2)－x＋3x＝7－1；解：合并同類項，得2x＝6.系數化為1，得x＝3解：合并同類項，得3x＝9.系數化為1，得x＝3

4．若三個連續奇數的和是15，則它們的積為()A．105B．15C．35D．75A5．小明去文具店購買2B鉛筆，店主說：“如果多買一些給你打8折．”小明測算了一下，如果買50支比按原價購買可以便宜6元，那么每支鉛筆的原價是多少元？解：設每支鉛筆的原價是x元，依題意，得50x－50×0.8x＝6.解得x＝0.6.答：每支鉛筆的原價是0.6元一元一次方程的解法:(1)合并同類項——分配律(2)系數化成1——等式的性質21．請欣賞一首詩：太陽下山晚霞紅，我把鴨子趕回籠；一半在外鬧哄哄，一半的一半進籠中；剩下十五圍著我，鴨有多少請算清．根據詩的內容，設共有x只鴨子，列方_________________．將方程合并同類項，得_________，方程兩邊同時乘____，得x＝______．x＝15460

2．解下列方程：(1)0.75x－0.25x＝5；解：x＝10解：y＝－15(4)2.4x－3x－1.4x＝5.2－8.解：x＝1.4

每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，這批書共（3x+20）本.

每人分4本，需要4x本，減去缺的25本，這批書共（4x-25）本.分析設這個班有x名學生.這批書的總數有幾種表示方法？它們之間有什么關系？表示這批書的總數的兩個代數式相等.3x+20=4x–25思考：（1）怎樣解這個方程？方程3x+20=4x-25與前面學過的一元一次方程在結構上有什么不同？（2）怎樣才能將它轉化為x=a(常數)的形式呢？（3）將方程3x+20=4x-25轉化為x=a的形式的依據是什么？3x+20=4x–25學生活動一

【一起探究】解：（1）把方程轉化為x=m(常數)的形式，方程3x+20=4x-25的兩邊都有含x的項（3x與4x）和不含字母的常數項（20與-25）；思考：（1）怎樣解這個方程？方程3x+20=4x-25與前面學過的一元一次方程在結構上有什么不同？思考：（2）怎樣才能將它轉化為x=a(常數)的形式呢？解：為了使方程的右邊沒有含x的項，等號兩邊減4x，利用等式的性質1，得3x+20-4x=-25.為了使方程的左邊沒有常數項，等號兩邊減20.

利用等式的性質1，得3x-4x=-25-20.而后就可以利用合并同類項解方程了.思考：（3）將方程3x+20=4x-25轉化為x=a的形式的依據是什么？解：（3）等式的性質1.

上面方程的變形，相當于把原方程左邊的20變為–20移到右邊，把右邊的4x變為–4x移到左邊.像上面那樣把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項.學生活動一

【一起歸納】思考：上面解方程中“移項”起了什么作用？

通過移項，含未知數的項與常數項分別位于方程左右兩邊，使方程更接近于x=a的形式.學生活動二

【一起探究】解下列方程（1）3x+7=32–2x解：移項，得3x+2x=32–7合并同類項，得5x=25系數化為1，得x=5學生活動三

【一起探究】解：移項，得合并同類項，得系數化為1，得問題：若干輛汽車裝運一批貨物,如果每輛汽車裝4噸,則這批貨物有2噸不能運走；如果每輛汽車裝5噸,則裝完這批貨物后還可以裝其他貨物1噸,問這批貨物共有多少噸?汽車共有多少輛？學生活動四

【一起探究】解：設有x輛汽車，根據題意得4x＋2＝5x－1解得：x＝3則貨物的重量：4×3+2＝14（噸）1.下列移項正確的是()A.由2＋x＝8，得到x＝8＋2B.由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝－8C.由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1D.由5x－3＝0，得到5x＝－3C2.對方程7x=6+4x

進行移項，得___________,合并同類項，得_________，系數化為1，得________.3x=6

x=27x–4x=63.已知2m－3=3n+1，則2m－3n=

.4.當x=_____時，式子2x－1的值比式子5x+6的值小1.4﹣2

6．將一堆糖果分給幼兒園某班的小朋友，如果每人2顆，那么就多8顆；如果每人3顆，那么就少12顆，這個班共有多少名小朋友？解：設這個班共有x名小朋友．根據題意，得2x＋8＝3x－12.解得x＝20.答：這個班共有20名小朋友1.移項的概念:把等式一邊的某項變號后移到另一邊,叫作移項.2.移項的作用:使含未知數的項與常數項分別位于方程左、右兩邊,使方程更接近于x=m的形式.3.移項法則:移項要變號.4.解一元一次方程的步驟:移項、合并同類項、系數化成1.1.對于方程–3x–7=12x+6，下列移項正確的是（

）

AA.–3x

–12x=6+7B.–3x+12x=–7+6C.–3x

–12x=7-6D.12x

–3x=6+72.

解下列一元一次方程：(1)5x-7=2x-10;解：（1）x=1.（2）t=20.（3）x=-4.（4）x=2.問題：一批商界人士在露天茶座聚會，他們先是兩人一桌，服務員給每桌送上一瓶果汁，后來他們又改為三人一桌，服務員又給每桌送上一瓶葡萄酒，不久他們改坐成四人一桌，服務員再給每桌一瓶礦泉水．此外他們每人都要了一瓶可口可樂．聚會結束時服務員共收拾了50個空瓶．如果沒人帶走瓶子，那么聚會有幾人參加？學生活動一

【一起探究】

解得:x=24.答:這次聚會共有24人參加.

問題：某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量還多200t；如用新工藝，則廢水排量比環保限制的最大量少100t.新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5，兩種工藝的廢水排量各是多少？思考：①如何設未知數？②你能找到等量關系嗎？舊工藝廢水排量－200噸=新工藝排水量+100噸學生活動二

【一起探究】若設新工藝的廢水排量為2xt，則舊工藝的廢水排量為5xt.由題意得5x-200=2x+100.移項,得5x-2x=100+200.合并同類項,得3x=300.系數化為1,得x=100.所以2x=200,5x=500.答:新工藝的廢水排量為200t,舊工藝的廢水排量為500t.解：等號兩邊代表哪個數量？問題：七年級(2)班男生、女生人數之比為5∶3，后來又轉來了14名女生，此時男生人數正好與女生人數相等，求原來七年級(2)班有男生多少名？女生多少名？思考：①你學會如何設未知數了嗎？如何設？②本題中的等量關系是什么？男生人數=原來女生人數+14學生活動三

【一起探究】答：原來七年級(2)班有男生有35名，則女生人數為21名.解：若設原來七年級(2)班有男生有5x名，則女生人數為3x名.由題意得：5x=3x+14移項，得5x－3x=14合并同類項，得2x=14系數化為1，得x=7所以5x=35，,3x=21.本題是一個與上一問題相似的問題，關鍵是要認真分析出各個量之間的關系，學會類比，用上一個問題的方法模式解決此問題.1.小鄭的年齡比媽媽小28歲，今年媽媽的年齡正好是小鄭的5倍,小鄭今年的年齡是()A.

7歲B.8歲C.9歲D.10歲A分析：根據“表示同一個量的兩個式子相等”列方程解決問題，于是設小鄭的年齡為x歲，則x+28=5x，則解得x=7歲.選A.2．甲廠庫存鋼材100噸，每月用去15噸；乙廠庫存鋼材82噸，每月用去9噸．經過m個月，兩廠剩余鋼材相等，則m的值應為()A．2B．3C．4D．5分析：題目中的相等關系是——m個月后“甲廠庫存鋼材噸數=乙廠庫存鋼材噸數”，于是列方程得：100-15m=82-9m，則解得m=3.選B.B3.根據市場調查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）的銷售瓶數的比為2：5．已知每天生產這種消毒液22.5噸，這些消毒液應該分裝_________大瓶．解:設每份為x瓶，則大瓶銷售了2x瓶，小瓶銷售了5x瓶，根據題意得:2x×500+5x×250=22500000，解得x=10000，所以大瓶銷售了2×10000=20000瓶，故答案是:20000.200004．江南生態食品加工廠收購了一批質量為10000千克的某種山貨，根據市場需求對其進行粗加工和精加工處理．已知精加工的該種山貨質量比粗加工的質量3倍還多2000千克，求粗加工的該種山貨質量．解：設粗加工x千克，則3x＋2000＝10000－x，解得x＝2000.答：粗加工的這種山貨質量為2000千克.5.甲、乙、丙三位同學向貧困山區的希望小學捐贈圖書，已知這三位同學捐贈圖書冊數的比是5∶8∶9，如果他們共捐374本，那么這三位同學各捐書多少冊？解:設甲捐書5x本，則乙捐書8x本，丙捐書為9x本，根據題意，得5x+8x+9x=374,