【贏在中考·黃金八卷】備戰2023年中考數學全真模擬卷（長沙專用）第三模擬（本卷共25小題，滿分120分，考試用時120分鐘）一、單選題(共30分)1．(本題3分)的相反數是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由絕對值的意義化簡，再根據相反數的意義得出結果．【詳解】解：∵，的相反數是，∴的相反數是．故選：A．【點睛】本題考查了絕對值、相反數的意義．一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．一個數的相反數就是在這個數前面添上“”號；一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0．2．(本題3分)下列圖形是四屆數學大會會標，其中不屬于中心對稱的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心進行分析即可．【詳解】解：第一個圖形是中心對稱圖形，第二個圖形不是中心對稱圖形，第三個圖形是中心對稱圖形，第四個圖形不是中心對稱圖形，∴不屬于中心對稱的有2個，故選：B．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的定義，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．3．(本題3分)下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據合并同類項，冪的乘方，同底數冪的乘法，同底數冪的除法法則，對各選項計算后即可求解．【詳解】A、與不是同類項，故不能合并，故A不符合題意．B、，故B不符合題意．C、，故C符合題意．D、，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查合并同類項，冪的乘方，同底數冪的乘法，同底數冪的除法法則，熟練掌握運算性質和公式是解題的關鍵．4．(本題3分)已知點在第四象限，且到軸的距離為，到軸的距離為，則點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據第四象限內點的橫坐標是正數，縱坐標是負數，根據點到x軸的距離等于其縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于其橫坐標的絕對值解答．【詳解】解：∵點A在第四象限，且到x軸的距離是2個單位長度，到y軸的距離是4個單位長度，∴點A的橫坐標是4，縱坐標是，∴點A的坐標是．故選：D．【點睛】本題考查了點的坐標，熟記點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值是解題的關鍵．5．(本題3分)下列說法正確的是（

）A．三角形的外角一定大于它的內角B．甲、乙兩射擊運動員分別射擊次，他們成績的方差分別為，，這過程中乙發揮比甲更穩定C．，，，，這組數的眾數是D．兩個圖形位似也一定相似【答案】D【分析】根據三角形外角性質可對A選項進行判斷；根據方差的意義可對B選項進行判斷；根據眾數的定義可對C選項進行判斷；根據位似圖形的性質可對D選項進行判斷【詳解】A.三角形是外角大于與之不相鄰的任意一個內角，故A錯誤，不符合題意；B.甲、乙兩射擊運動員分別射擊次，他們成績的方差分別為，，這過程中甲發揮比乙更穩定，故B錯誤，不符合題意；C.，，，，這組數的眾數是，故C錯誤，不符合題意；D.兩個圖形位似也一定相似，故D正確，符合題意；故選：D【點睛】本題考查了命題與定理，掌握三角形外角性質、方差的意義、眾數的定義及位似圖形的性質是解決問題的關鍵6．(本題3分)某公司今年4月份的營業額為2500萬元，按計劃5、6月份總營業額要達到6600萬元，設該公司5、6兩個月的營業額的月平均增長率為，則下列方程正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】分別表示出5月，6月的營業額進而得出等式即可．【詳解】解：設該公司5、6兩月的營業額的月平均增長率為x．根據題意列方程得：．故選C．【點睛】考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題關鍵．7．(本題3分)如圖，等邊的邊長為4，點是邊上的一動點，連接，以為斜邊向上作等腰，連接，則AE的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】過點作于點，作射線，可證點，點，點，點四點共圓，可得，則點在的角平分線上運動，即當時，的長度有最小值，由直角三角形的性質可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，作射線，是等邊三角形，，，，點，點，點，點四點共圓，，點在的角平分線上運動，當時，的長度有最小值，，，的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查旋轉的性質，等邊三角形的性質，垂線段最短，四點共圓，圓周角定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．8．(本題3分)在中，，，以為直徑的⊙交于點，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接OE，根據平行四邊形的性質求出∠DOE的度數與OD的長，進而根據弧長公式計算即可求得．【詳解】解：連接OE，如圖所示．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=4，∴OA=OD=2，∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°?2×70°=40°，∴的長，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、圓的性質以及弧長公式，熟練掌握和運用各圖形的性質及公式是解決本題的關鍵．9．(本題3分)一個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現，如圖所示的是該臺燈的電流I（A）與電阻R（）成反比例函數的圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法正確的是（

）A．I與R的函數關系式是 B．當時，C．當時， D．當電阻R（）越大時，該臺燈的電流I（A）也越大【答案】A【分析】直接利用反比例函數圖像得出函數解析式，進而利用反比例函數的性質分析得出答案．【詳解】解：A．設反比例函數解析式為：，把代入得：，則，故此選項符合題意；B．當時，，故此選項不合題意；C．當時，，故此選項不合題意；D．當電阻越大時，該臺燈的電流（A）越小，故此選項不合題意．故選：A．【點睛】此題主要考查了反比例函數的應用，正確得出函數解析式是解題關鍵．10．(本題3分)如圖，拋物線與軸交于點，交軸的正半軸于點，對稱軸交拋物線于點，交軸于點，則下列結論：①；②；③（為任意實數）；④若點是拋物線上第一象限上的動點，當的面積最大時，，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據二次函數圖像與性質，由拋物線與軸交于點，得到對稱軸，從而得到，①正確；由①中，拋物線開口向下及拋物線交軸的正半軸即可確定②錯誤；根據二次函數最值即可得到，③錯誤；根據平面直角坐標系中三角形面積的求法，得到，利用二次函數圖像與性質即可確定④錯誤．【詳解】解：∵拋物線與軸交于點，∴對稱軸為直線，即，∴，故①正確，符合題意；∵拋物線開口向下，∴，∴，∵拋物線交軸的正半軸，∴，∴，故②錯誤，不符合題意；

∵拋物線的對稱軸，開口向下，∴當時，有最大值，最大值為，∴（為任意實數），∴（為任意實數），故③錯誤，不符合題意；∵，設直線的解析式為，∴，解得，∴，將點代入，∴，∴，過點作軸交于點，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴當時，的面積最大，故④不正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查二次函數圖像與性質，熟練掌握二次函數圖形與性質，平面直角坐標系中求三角形面積等是解決問題的關鍵．二、填空題(共18分)11．(本題3分)“天宮課堂”第一課開始，神舟十三號乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富在中國空間站進行太空授課，全國超過6000萬中小學生觀看授課直播，其中6000萬用科學記數法表示為_______________．【答案】【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值時，n是負整數．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關鍵．12．(本題3分)已知反比例函數與直線相交于點A，點A的橫坐標為，則此反比例函數的解析式為_______．【答案】【分析】先由一次函數解析式求出點A的坐標，把已知點的坐標代入反比例函數解析式可求出k值，即得到反比例函數的解析式．【詳解】解：∵點A的橫坐標為，∴點A的縱坐標：，∴點A的坐標為（1，2），∵A在反比例函數的圖象上，∴把點A代入反比例函數解析式中，得k=2，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，屬于基礎題，解答本題一定要注意待定系數法的運用．13．(本題3分)若關于的方程有增根，則的值是______．【答案】【分析】根據分式方程的增根的定義解決此題．【詳解】解：，方程兩邊同乘，得．移項，得．的系數化為，得．關于的方程有增根，．．故答案為：．【點睛】本題主要考查分式方程的增根，熟練掌握分式方程的增根的定義是解決本題的關鍵．14．(本題3分)在一個不透明的袋子中裝有3個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同．每次從袋子中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，通過多次重復試驗發現摸出紅球的鎖率穩定在0.5附近，則袋子中紅球約有_______個．【答案】3【分析】根據口袋中有3個白球和若干個紅球，利用紅球在總數中所占比例得出與實驗比例應該相等求出即可．【詳解】解：設袋中紅球有個，根據題意，得：，解得：，經檢驗：是分式方程的解，所以袋中紅球有3個，故答案為：3．【點睛】此題主要考查了利用頻率估計隨機事件的概率，根據已知得出小球在總數中所占比例得出與試驗比例應該相等是解決問題的關鍵．15．(本題3分)如圖，在邊長為4的菱形中，，M是邊上的一點，且，N是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是___________．【答案】【分析】過點M作交延長線于點H，連接，根據菱形的性質和直角三角形的性質，求出，再由勾股定理求出的長，再由折疊的性質可得點在以M為圓心，為半徑的圓上，從而得到當點在線段上時，長度有最小值，是解題的關鍵．【詳解】解：過點M作交延長線于點H，連接，菱形中，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴點在以M為圓心，為半徑的圓上，∴當點在線段上時，長度有最小值，∴長度的最小值．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質、直角三角形的性質、折疊的性質，找到當點在上，的長度最小，是解題的關鍵．16．(本題3分)如圖，正六邊形的邊長為2，以A為圓心，的長為半徑畫弧，得弧，連結，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】由正六邊形的邊長為2，可得，，進而求出，過B作于H，由等腰三角形的性質和含直角三角形的性質得到，在中，由勾股定理求得的長，根據扇形的面積公式即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：∵正六邊形的邊長為2，∴，，∵，∴，過B作于H，∴，，在中，，∴，同理可證，，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查的是正六邊形的性質和扇形面積的計算、等腰三角形的性質、勾股定理，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．三、解答題(共72分)17．(本題6分)先化簡，再求值：，其中滿足．【答案】，【分析】先將所有分式的分子與分母因式分解，同時計算括號內的減法，再計算乘法，最后計算加減法化簡，再解方程組求出a，b的值代入計算即可．【詳解】解：原式，∵，∴，∴原式．【點睛】此題考查了分式的混合運算及化簡求值，解二元一次方程組，正確掌握各運算法則是解題的關鍵．18．(本題6分)（1）計算：（2）因式分解：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先將二次根式，絕對值，0次冪，負整數次冪化簡，再進行計算即可；（2）先提取公因式，再用平方差公式進行飲食分解即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算和因式分解，解題的關鍵是熟練掌握相關知識點并靈活運用．19．(本題6分)如圖，荾形中，點，分別在邊，上，，求證：．【答案】證明見解析【分析】解法一：由菱形的性質和已知可得，，再證明即可；解法二：連接，由菱形的性質可得，根據等邊對等角得出，再證明即可．【詳解】證明：解法一：∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．解法二：連接，∵四邊形是菱形，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查菱形的性質，三角形全等的判定和性質，等邊對等角，運用了一題多解的思路．靈活運用菱形的性質和三角形全等的判定是解題的關鍵．20．(本題8分)數學活動小組到某景點測量標志性建筑的高度．如圖，他們在地面上A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進至B處，測得仰角為60°，點A，C，B在同一直線上，則求塔高．（身高忽略不計，結果不取近似值）【答案】【分析】先根據三角形外角的性質得到，則，再解求出即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴；∵，∴，又∵，∴∴該塔高為．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，三角形外角的性質，等腰三角形的判定，求出是解題的關鍵．21．(本題8分)為幫助學生養成熱愛美、發現美的藝術素養，某校開展了“一人一藝”的藝術選修課活動．學生根據自己的喜好選擇一門藝術項目（：書法，：繪畫，：攝影，：泥塑，：剪紙），張老師隨機對該校部分學生的選課情況進行調查后，制成了兩幅不完整的統計圖（如圖所示）．(1)求張老師調查的學生人數；(2)補全條形統計圖；(3)現有4名學生，其中2人選修書法，1人選修繪畫，1人選修攝影，張老師要從這4人中任選2人了解他們對藝術選修課的看法，請用畫樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書法的概率．【答案】(1)50名(2)見解析(3)【分析】（1）由書法的人數除以所占百分比即可得出；（2）計算出D組中人數，補圖即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，所選2人都是選修書法的結果有2種，最后根據概率公式即可得出．【詳解】（1）張老師調查的學生人數為：(名)；（2）D組中人數為：，如圖所示：（3）把2人選修書法的記為，，1人選修繪畫的記為，1人選修攝影的記為，畫樹狀圖如圖：由樹狀圖知，共有12種等可能的結果，其中所選2人都選修書法的結果有2種，∴所選2人都是選修書法的概率為．【點睛】本題考查用列表法或畫樹狀圖法求概率，條形統計圖和扇形統計圖的理解與應用能力．利用列表法或畫樹狀圖法以不錯不漏地列出所有等可能的結果是解本題的關鍵．22．(本題9分)戴口罩是阻斷呼吸道病毒傳播的重要措施之一，某商家對一款成本價為每盒50元的醫用口罩進行銷售，如果按每盒70元銷售，每天可賣出20盒．通過市場調查發現，每盒口罩售價每降低1元，則日銷售量增加2盒．(1)若商家要使日利潤達400元，又想盡快銷售完該款口罩，問每盒售價應定為多少元？(2)當每盒售價定為多少元時，商家可以獲得最大日利潤？并求出最大日利潤．【答案】(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款口罩，每盒售價應定為60元(2)當每盒售價定為65元時，商家可以獲得最大日利潤，最大日利潤為450元【分析】（1）設每盒售價降低x元，根據題意表示出日銷售量和每盒口罩利潤，列出方程并解方程即可得到答案；（2）設當每盒降價x元時，商家獲得的利潤為W元，根據（1）即可得到二次函數表達式，根據二次函數的性質即可解答．【詳解】（1）解：設每盒售價降低x元，由題意可知：每盒口罩售價每降低1元，則日銷售量增加2盒，降低x元，銷售量增加盒，那么日銷售量為盒，每盒口罩利潤為元，根據題意可知：，．解得：(舍去)，，．∴售價應定為：元，答：商家想盡快銷售完該款口罩，每盒售價應定為60元；（2）設當每盒降價x元時，商家獲得的利潤為W元，由題意可知：，．∵，∴拋物線開口向下，．當時，W有最大值，即元，．∴售價應定為元，．答：當每盒售價定為65元時，商家可以獲得最大日利潤，最大日利潤為450元．【點睛】此題考查了一元二次方程和二次函數的實際應用，根據題意正確列出方程和函數表達式是解題的關鍵．23．(本題9分)如圖，內接于，，為直徑，與相交于點，過點作，垂足為，延長交的延長線于點，連接．(1)求證：與相切；(2)若，求的值；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，則，，根據同弧所對的圓周角相等可得，可證，根據直徑所對圓周角是可得，等量代換得，即，故與相切；（2）過點作，垂足為，根據，可得，，由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可知，則，可得，所以，由已知，得，即可求出的值．【詳解】（1）解：連接，如圖：∴，∴，∵，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∴與相切．（2）解：過點作，垂足為，∴，，∴，，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的綜合問題，涉及圓周角定理、圓心角定理、相似三角形的判定和性質等知識點，根據題意正確作出輔助線是解答本題的關鍵．24．(本題10分)如圖1，在平面直角坐標系點中，，點B在y軸正半軸上且．直線的圖象交y軸于點C，且射線平分，點P是射線上一動點．(1)求直線的表達式和點C的坐標；(2)連接、，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，過點P作交x軸于點Q，連接，當與以點P、Q、C為頂點的三角形相似時，求點P的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】(1)用待定系數法求函數的解析式即可求解；(2)過點P作軸交于點T，設，，分別求出，，由題意可得方程，即可求得t的值，即可求得點P的坐標；(3)作軸于點M，作于點N，設點，可證得，根據相似三角形的性質，即可求得，再由，可求得，再分兩種性質，即當或當時，分別計算，即可求解．【詳解】（1）解：，，又，．∴設，把點、分別代入解析式，得，解得，．在中，令，則，；（2）解：如圖：過點P作軸交于點T，設，，，，