專題8.2空間中的平行和垂直關(guān)系題型一線面平行、面面平行的判定定理題型二補(bǔ)全平行的條件題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理題型四線面垂直、面面垂直的判定定理題型五補(bǔ)全垂直的條件題型六線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理題型七判斷平行，垂直的有關(guān)命題題型八平行，垂直的綜合應(yīng)用題型一 線面平行、面面平行的判定定理例1．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，，、分別是、的中點(diǎn)，底面ABCD，且

(1)證明：平面；(2)若，求三棱錐的體積．例2．（2023春·江蘇鹽城·高三江蘇省響水中學(xué)校考期中）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都等于2，E，F(xiàn)，G分別為，，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面BEF；練習(xí)1．（2022春·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學(xué)校考期末）如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；練習(xí)2．（2023·安徽安慶·安慶一中校考三模）如圖,四棱錐中,底面為的中點(diǎn).

(1)若點(diǎn)在上,,證明:平面;練習(xí)3．（2023春·黑龍江牡丹江·高一校考階段練習(xí)）如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分別是的中點(diǎn).

(1)設(shè)過三點(diǎn)的平面為，求證：平面平面；(2)求四棱錐與三棱錐的體積之比.練習(xí)4．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；練習(xí)5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，如圖所示.若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面.

題型二 補(bǔ)全平行的條件例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.例4．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，與交于點(diǎn)M，，的中點(diǎn)分別為N，O，如圖所示.(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使平面，并加以證明；練習(xí)6．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，三棱臺(tái)中，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出的值；練習(xí)7．（2023春·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖所示，三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，．(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，平面?練習(xí)8．（2022秋·安徽合肥·高二校考學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱錐中，平面，，點(diǎn)在線段上，.(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，試在上確定一點(diǎn)，使得平面平面，并說明理由.練習(xí)9．（2023春·福建廈門·高三廈門一中校考期中）如圖，已知P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是的三等分點(diǎn)（M靠近B，N靠近C）；(1)求證：平面．(2)在上確定一點(diǎn)Q，使平面平面．練習(xí)10．（2021秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)證明：平面平面；(2)已知點(diǎn)在上，且平面平面，求線段的長(zhǎng).題型三 線面平行、面面平行的性質(zhì)定理例5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

(1)求證：BE∥平面DCF；例6．（2023春·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（

）

A． B．平面C． D．點(diǎn)B，D到平面的距離不相等．練習(xí)11．（2023·北京海淀·校考三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．(1)求證：；練習(xí)12．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；練習(xí)13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面MNQ∥平面PAD；(2)求證：BC∥l．練習(xí)14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，矩形平面，平面與棱交于點(diǎn)G．求證：；練習(xí)15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐，，，，平面平面，平面平面.若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求證：；題型四 線面垂直、面面垂直的判定定理例7．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，．(1)求證：平面平面ABC；例8．（2023春·山東臨沂·高三校考階段練習(xí)）如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，且

(1)求證：平面平面ABC；練習(xí)16．（浙江省北斗星盟2023屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面平面.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；練習(xí)17．（2023春·廣西柳州·高三柳州地區(qū)高中校考期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，，.(1)證明：平面；練習(xí)18．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考三模）如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共面.

(1)證明：平面平面；練習(xí)19．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖1所示，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，G是EF上的一點(diǎn)，將，分別沿AB，CD翻折成，，并連接，使得平面平面ABCD，，且．連接，如圖2．

(1)證明：平面平面；練習(xí)20．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知四棱錐的底面是正方形，，是棱上任一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；題型五 補(bǔ)全垂直的條件例9．（2023春·山東青島·高三青島二中校考期中）如圖，在四棱錐中，面，，，，，為線段上的點(diǎn)．(1)證明：面；(2)若滿足面，求的值．例10．（2021秋·陜西渭南·高二校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若為邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)，使？請(qǐng)證明你的結(jié)論．練習(xí)21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，．(1)試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)H，使得平面，并寫出證明過程；練習(xí)22．（2022秋·青海海東·高二校考期中）如圖，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E為中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)在上是否存在點(diǎn)M，滿足平面?若存在，求出AM長(zhǎng)，若不存在，說明理由．練習(xí)23．（2022春·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．(1)在線段FG上確定一點(diǎn)M使得平面平面PFG，并說明理由；練習(xí)24．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面．(1)求證：．(2)若為中點(diǎn)，試在上找一點(diǎn)，使平面平面．練習(xí)25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四棱錐P－ABCD中，△PBC為正三角形，底面ABCD為直角梯形，，，，．(1)設(shè)F為BC中點(diǎn)，問：在線段AD上是否存在這樣的點(diǎn)E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；題型六 線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理例11．（2022春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，且的面積為6．

(1)求三棱錐的體積；(2)若，且為銳角，求證：平面．例12．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得.

(1)求證：平面平面；(2)若，分別為，的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.練習(xí)26．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，在直角三角形中，，，，，將沿折起到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿足.(1)證明：；練習(xí)27．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)．

(1)求證：；練習(xí)28．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）如圖，在四棱錐中，且，其中為等腰直角三角形，，且平面平面.(1)求的長(zhǎng)；練習(xí)29．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考期中）如圖，在直三棱柱中，.

(1)求證：；練習(xí)30．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)ABC—中，，平面平面.

(1)證明：平面；題型七 判斷平行，垂直的有關(guān)命題例13．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知、、為空間中三條不同的直線，、、為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，若，則C．若，、分別與、所成的角相等，則D．若m//α，m//β，，則例14．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）（多選）已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則至少有一條與直線垂直D．若，則練習(xí)31．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．若，且，則 B．若，，，則C．若，且，則 D．若，，，則練習(xí)32．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）兩個(gè)平面與相交但不垂直，直線在平面內(nèi)，則在平面內(nèi)（

）A．一定存在直線與平行，也一定存在直線與垂直；B．一定存在直線與平行，不一定存在直線與垂直；C．不一定存在直線與平行，一定存在直線與垂直；D．不一定存在直線與平行，也不一定存在直線與垂直練習(xí)33．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則練習(xí)34．（2023·四川·校考模擬預(yù)測(cè)）已知a，b是不同的兩條直線，，是不同的兩個(gè)平面，現(xiàn)有以下四個(gè)命題：①；②；③；④．其中，正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4練習(xí)35．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）（多選）已知l，m，n為空間中三條不同的直線，，，為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的有（

）A．若，，，則B．若，l，m分別與，所成的角相等，則C．若，，，若，則D．若，，，則題型八 平行，垂直的綜合應(yīng)用例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知底面是菱形，且對(duì)角線與相交于點(diǎn).(1)若，求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)說明理由.例16．（2023春·陜西榆林·高二綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，且交SC于點(diǎn)N.(1)求證：∥平面ACM；(2)求證：平面平面AMN.練習(xí)36．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線上，且.

(1)求證：直線平面；(2)求證：平面平面；練習(xí)37．（2023春·河南·高三洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，平面平面ABCD，，E，F(xiàn)分別為棱PA，PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABCD；(2)若，求證：平面平面PBC．練習(xí)38．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在正四面體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則（

）A．//平面B．C．平面平面D．平面平面練習(xí)39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PAB，，，N為PC的中點(diǎn)．(1)若M為AB的中點(diǎn)，求證：平面ADP．(2)求證：平面平面．練習(xí)40．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上（異于A，B點(diǎn)），直線PA垂直于圓所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，則以下四個(gè)命題正確的是（）A．PB⊥AC B．OC⊥平面PABC．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC

專題8.2空間中的平行和垂直關(guān)系題型一線面平行、面面平行的判定定理題型二補(bǔ)全平行的條件題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理題型四線面垂直、面面垂直的判定定理題型五補(bǔ)全垂直的條件題型六線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理題型七判斷平行，垂直的有關(guān)命題題型八平行，垂直的綜合應(yīng)用題型一 線面平行、面面平行的判定定理例1．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，，、分別是、的中點(diǎn)，底面ABCD，且

(1)證明：平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）可以通過作輔助線結(jié)合中位線得到線線平行證明線面平行或者通過證明面面平行得到線面平行；（2）先求三棱錐的體積，得到三棱錐的體積，利用幾何體的分割可得答案.【詳解】（1）證法一：連接AC交BO于點(diǎn)，連接．，∴四邊形為平行四邊形,∴是的中點(diǎn)；∵中，是的中點(diǎn),；∵平面，平面，∴平面.

證法二：中，分別是的中點(diǎn)，，又平面，平面,平面，且，∴四邊形是平行四邊形，，又平面，平面,平面;，平面,∴平面平面，∵平面，平面.（2）連結(jié)，，

由中，，得，,∴的面積;又平面，,∴三棱錐的體積為;∵是的中點(diǎn)，,∴.例2．（2023春·江蘇鹽城·高三江蘇省響水中學(xué)校考期中）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都等于2，E，F(xiàn)，G分別為，，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面BEF；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面平面BEF；【詳解】（1），F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又F，G分別為，AB的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，又，EF，平面BEF，平面平面BEF．練習(xí)1．（2022春·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學(xué)校考期末）如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）作出輔助線，得到面面平行，從而得到線面平行；【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．

，分別是和的中點(diǎn)，，．又四邊形為正方形，，從而．平面，平面，平面，同理平面，又，平面平面，∵平面，則平面；練習(xí)2．（2023·安徽安慶·安慶一中校考三模）如圖,四棱錐中,底面為的中點(diǎn).

(1)若點(diǎn)在上,,證明:平面;【答案】(1)證明見解析【分析】（1）取中點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件證明四邊形是平行四邊形,即可證明;【詳解】（1）如圖所示:

取中點(diǎn),連接,因?yàn)?所以,又,所以,因?yàn)?所以,又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以且,即有且,所以四邊形是平行四邊形,所以,又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?練習(xí)3．（2023春·黑龍江牡丹江·高一校考階段練習(xí)）如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分別是的中點(diǎn).

(1)設(shè)過三點(diǎn)的平面為，求證：平面平面；(2)求四棱錐與三棱錐的體積之比.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先分別證明平面，平面，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；（2）過作，垂足為，先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)分別證明平面，平面，再根據(jù)錐體的體積公式即可得解.【詳解】（1）∵G是BP的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，又∵，∴四邊形AEPG是矩形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵分別是BC，BP的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，且平面，∴平面平面；（2）過作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫啵咭驗(yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫嗥矫妫词侨忮F的高，∵，∴由勾股定理得，，∴，∴，∴四棱錐與三棱錐的體積之比.

練習(xí)4．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線線平行和線面平行的證法和線面平行的判定即可求解；【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)闉榈闹匦模裕裕裕制矫嫫矫妫云矫?練習(xí)5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，如圖所示.若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面.

【答案】證明見解析.【分析】連接，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，則可證和，從而證得平面和平面，則平面平面，即可證平面.【詳解】證明：如圖，連接，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，

在中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?同理可證得，又因?yàn)椋謩e為正方形的邊，的中點(diǎn)，故，所以.因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?又因?yàn)椋矫妫矫妫云矫嫫矫?又因?yàn)槠矫妫云矫?題型二 補(bǔ)全平行的條件例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）設(shè)，取中點(diǎn)，先證明平面，即可證明點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時(shí)符合題意.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，在中，為的中點(diǎn)，.為的中點(diǎn)，，即四邊形為平行四邊形，.平面平面平面.（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，則在中，分別是的中點(diǎn)，平面平面，平面.與相似，且相似比為，為的三等分點(diǎn).在點(diǎn)位置時(shí)滿足平面.即點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時(shí)符合題意.例4．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，與交于點(diǎn)M，，的中點(diǎn)分別為N，O，如圖所示.(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使平面，并加以證明；【答案】(1)為的中點(diǎn)，證明見解析；【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用線面平行的判定推理作答.【詳解】（1）連接，取的中點(diǎn)為，連接，則平面.在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，即為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，于是，平面平面，所以平面.練習(xí)6．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，三棱臺(tái)中，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出的值；【答案】(1)存在，【分析】（1）取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可得出平面，由此可得出結(jié)論；【詳解】（1）取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接、、，則，又因?yàn)椋裕倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t，因?yàn)槠矫妫矫妫裕矫妫驗(yàn)椋裕驗(yàn)槠矫妫矫妫裕矫妫驗(yàn)椋⑵矫妫裕矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫妫势矫妫虼耍€段上是否存在點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，平面.練習(xí)7．（2023春·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖所示，三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，．(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，平面?【答案】(1)點(diǎn)為的中點(diǎn)【分析】（1）分別取的中點(diǎn)為，連接．可推得四邊形為平行四邊形，．進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理，得出線面平行；【詳解】（1）如圖1所示，分別取的中點(diǎn)為，連接．因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)椋裕?又，所以.所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?所以，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，有平面.練習(xí)8．（2022秋·安徽合肥·高二校考學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱錐中，平面，，點(diǎn)在線段上，.(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，試在上確定一點(diǎn)，使得平面平面，并說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)平面平面，證明見解析【分析】（1）由線面垂直得到，再說明，即可得證；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)平面平面，由可得平面，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到，即可得到平面，從而得證.【詳解】（1）證明：平面，平面，，，，，又，平面，平面，平面；（2）解：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)平面平面，證明：因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫譃榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面.練習(xí)9．（2023春·福建廈門·高三廈門一中校考期中）如圖，已知P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是的三等分點(diǎn)（M靠近B，N靠近C）；(1)求證：平面．(2)在上確定一點(diǎn)Q，使平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，證得證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；（2）取取一點(diǎn)，使得，證得，得到平面，結(jié)合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，證得平面平面．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，可得，又因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，可得，因?yàn)榍遥郧遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕钟善矫妫矫妫云矫?（2）證明：取取一點(diǎn)，使得，即點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等點(diǎn)，在中，因?yàn)榉謩e為的三等分點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫挥钟桑?）知平面，且，平面，所以平面平面，即當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等點(diǎn)時(shí)，能使得平面平面．練習(xí)10．（2021秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)證明：平面平面；(2)已知點(diǎn)在上，且平面平面，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由三角形中位線性質(zhì)可證得，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和可證得，，由線面垂直的判定可得平面，根據(jù)面面垂直的判定可得結(jié)論；（2）由面面平行和線面平行的性質(zhì)可證得，由此可知為中點(diǎn)，由此可得結(jié)果.（1）分別為中點(diǎn)，，又，；平面，平面，，又，；，平面，平面，又平面，平面平面.（2）平面平面，平面，平面，平面，平面平面，，又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，.題型三 線面平行、面面平行的性質(zhì)定理例5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

(1)求證：BE∥平面DCF；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）通過證明平面ABE∥平面DFC即可得解；【詳解】（1）證明：∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，∵平面ABE,平面ABE,∴平面ABE∥平面DFC，∵BE?平面ABE，∴BE∥平面DCF．例6．（2023春·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（

）

A． B．平面C． D．點(diǎn)B，D到平面的距離不相等．【答案】BC【分析】由平行線分線段成比例可判斷A；由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B；由線線平行和垂直的性質(zhì)可判斷C；由線面平行性質(zhì)可判斷D.【詳解】在四面體中,若截面是正方形,可得平面平面,可得平面又平面，而平面平面,可得又平面,面，則平面,故B正確；同樣可得平面,所以點(diǎn)B，D到平面的距離相等，故D錯(cuò)誤；由,可得,故C正確；由,且,但不一定與相等,故,不一定相等,故A錯(cuò)誤.故選：BC練習(xí)11．（2023·北京海淀·校考三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．(1)求證：；【答案】(1)證明見解析【分析】(1)由底面是正方形得，用線面平行的判定定理證得平面，再用線面平行的性質(zhì)定理證得；【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫危裕矫妫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，平面，平面平面所以．練習(xí)12．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）先證明，根據(jù)線線平行判定定理平面，再由線面平行性質(zhì)定理證明線線平行；【詳解】（1）在圖1中，因?yàn)椋裕郑裕驗(yàn)椋裕剩?/p>

在圖2中，因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫矫嫫矫妫裕痪毩?xí)13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面MNQ∥平面PAD；(2)求證：BC∥l．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行和面面平行的判定，可得證明；（2）由線面平行的判定和性質(zhì)，可得證明．【詳解】（1）證明：因?yàn)镸、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)，底面ABCD為平行四邊形，所以MN∥PD，NQ∥AD，又MN?平面PAD，PD?平面PAD，則MN∥平面PAD，同理可得NQ∥平面PAD，又平面MNQ所以平面MNQ∥平面PAD.（2）證明：因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．練習(xí)14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，矩形平面，平面與棱交于點(diǎn)G．求證：；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，利用面面平行的判定定理證明平面與平面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得到線線平行；【詳解】證明：矩形，，又平面，平面，平面，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，平面與棱交于點(diǎn)G，且平面，平面平面，平面平面，平面平面，故，得證;練習(xí)15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐，，，，平面平面，平面平面.若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求證：；【答案】證明見解析【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)得到，由為正三角形得到，根據(jù)線面平行的判定得到平面和平面，進(jìn)而得到平面平面，結(jié)合面面平行和線面平行性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】證明：取中點(diǎn)，連接，也，，，可得且，所以，，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為正三角形，即，所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫谥校驗(yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫钟桑矫妫云矫嫫矫妫忠驗(yàn)槠矫妫云矫妫钟善矫嫫矫妫移矫妫?題型四 線面垂直、面面垂直的判定定理例7．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，．(1)求證：平面平面ABC；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，則，連接,,利用勾股定理得出，然后利用線面垂直判定定理得出平面，再利用面面垂直判定定理即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，，，，，，，又平面，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面ABC.例8．（2023春·山東臨沂·高三校考階段練習(xí)）如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，且

(1)求證：平面平面ABC；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即得；【詳解】（1）連結(jié)OC，，，又是以AB為直徑的圓周上一點(diǎn)，，≌，，又，OB，平面ABC，平面ABC，平面PAB，平面平面ABC；練習(xí)16．（浙江省北斗星盟2023屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面平面.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定推理作答.【詳解】（1）在四棱錐中，為的中點(diǎn)，又，則，而，因此平面，所以平面.練習(xí)17．（2023春·廣西柳州·高三柳州地區(qū)高中校考期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，，.(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）通過勾股定理，證明出可證得平面.【詳解】（1）∵，，，由勾股定理得：，中，，∵，∴，又因?yàn)榈酌妫酌妫裕忠驗(yàn)榍移矫妫嗥矫妫毩?xí)18．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考三模）如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共面.

(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）過作，交底面弧于，連接，有為平行四邊形，根據(jù)題設(shè)可得，即，再由線面垂直的性質(zhì)可得，最后根據(jù)線面、面面垂直的判定即可證結(jié)論.【詳解】（1）過作，交底面弧于，連接，易知：為平行四邊形，所以，又為弧的中點(diǎn)，則是弧的中點(diǎn)，所以，而由題設(shè)知：，則，所以，即，由底面，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.練習(xí)19．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖1所示，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，G是EF上的一點(diǎn)，將，分別沿AB，CD翻折成，，并連接，使得平面平面ABCD，，且．連接，如圖2．

(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，然后有線線垂直，最后再由頁(yè)面垂直的判定定理證明即可；【詳解】（1）如圖2，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫矫妫裕郑矫妫云矫妫矫妫云矫嫫矫妫痪毩?xí)20．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知四棱錐的底面是正方形，，是棱上任一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由勾股定理證得，，得到平面，證得，從而證得平面，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦叫危遥傻茫遥忠驗(yàn)椋傻茫驗(yàn)榍移矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫裕驗(yàn)椋移矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫}型五 補(bǔ)全垂直的條件例9．（2023春·山東青島·高三青島二中校考期中）如圖，在四棱錐中，面，，，，，為線段上的點(diǎn)．(1)證明：面；(2)若滿足面，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出，可得出，再由已知條件可得出，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）分析可知，計(jì)算出三邊邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出的值，可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)，即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋裕裕瑒t，因?yàn)槠矫妫矫妫裕忠驗(yàn)椋⑵矫妫裕矫?（2）解：因?yàn)槠矫妫矫妫裕裘妫矫妫瑒t，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫驗(yàn)槠矫妫⑵矫妫瑒t，所以，，，在中，，，，所以，，所以，，所以，，則，因此，若滿足面，則.例10．（2021秋·陜西渭南·高二校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若為邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)，使？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；證明見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，由線面垂直的判定與性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）利用面面平行的判定可證得平面平面，由此可得平面，由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】（1）連接，四邊形為菱形，，又，為等邊三角形，為中點(diǎn)，；，為中點(diǎn)，，又，平面，平面，平面，.（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，證明如下：分別為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；分別為中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，由（1）知：平面，平面，平面，.練習(xí)21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，．(1)試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)H，使得平面，并寫出證明過程；【答案】(1)答案見解析；【分析】（1）根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；【詳解】（1）取棱BC的中點(diǎn)D，連接，AD．在等腰直角△ABC中，，又，平面，故平面．又平面，故平面平面，這兩個(gè)平面的交線為．在中，作，則有平面；練習(xí)22．（2022秋·青海海東·高二校考期中）如圖，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E為中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)在上是否存在點(diǎn)M，滿足平面?若存在，求出AM長(zhǎng)，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】（1）連交于點(diǎn)F，連EF，由中位線定理以及線面平行的判定證明即可；（2）由線面垂直的性質(zhì)證明，作，垂足為M，由線面垂直的判定證明平面，最后得出AM的長(zhǎng).【詳解】（1）連交于點(diǎn)F，連EF，∵是菱形，∴F是中點(diǎn)，又∵E是中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵平面ABCD，平面平面ABCD，∴平面，∵平面，∴，∵菱形，，，平面，∴平面，又平面，∴，在中，過F作，垂足為M，又，平面，所以平面，∴存在M滿足條件，在中，，，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴，∴．練習(xí)23．（2022春·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．(1)在線段FG上確定一點(diǎn)M使得平面平面PFG，并說明理由；【答案】(1)為中點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）為中點(diǎn)，連接，，過作于，由線面垂直的判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；【詳解】（1）為中點(diǎn)，證明如下：連接，，過作于，于是在中，，，故；在中，，，故所以，為等腰三角形又平面，所以，為等腰三角形故在等腰三角形和等腰三角形中有，又，且，平面平面，又平面，平面平面．練習(xí)24．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面．(1)求證：．(2)若為中點(diǎn)，試在上找一點(diǎn)，使平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)為的中點(diǎn)【分析】（1）通過構(gòu)造線面垂直的方法來證得.（2）結(jié)合面面垂直的判定定理判斷出點(diǎn)的位置.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，∵，∴．在底面菱形中，∵，∴三角形是等邊三角形，則，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．連接，∵，，∴所以四邊形是平行四邊形，∴為的中點(diǎn)，則．∵平面平面且交線為，，平面，∴平面，則平面，由于平面，∴平面平面，所以是的中點(diǎn).練習(xí)25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四棱錐P－ABCD中，△PBC為正三角形，底面ABCD為直角梯形，，，，．(1)設(shè)F為BC中點(diǎn)，問：在線段AD上是否存在這樣的點(diǎn)E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】(1)存在，【分析】（1）存在這樣的E點(diǎn)；且當(dāng)時(shí)滿足，過點(diǎn)F作交AD于點(diǎn)E，則可得，，從而由線面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論，【詳解】（1）存在這樣的E點(diǎn)；且當(dāng)時(shí)過點(diǎn)F作交AD于點(diǎn)E，∵△PBC為正三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，∵∴AD⊥平面PEF，∵AD平面PAD，故平面PAD⊥平面PEF題型六 線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理例11．（2022春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，且的面積為6．

(1)求三棱錐的體積；(2)若，且為銳角，求證：平面．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得面，即為體高，利用棱錐體積公式求體積即可；（2）由三角形面積公式可得，根據(jù)已知及平方關(guān)系求余弦值，應(yīng)用余弦定理求，易知，再由線面垂直的性質(zhì)得，最后應(yīng)用線面垂直的判定證結(jié)論.【詳解】（1）面面，，面面，面，所以面，又的面積為6，所以三棱錐的體積.（2）由題設(shè)，即，又為銳角，所以，由，故，所以，由（1）知面，面，故，，面，故平面.例12．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得.

(1)求證：平面平面；(2)若，分別為，的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，可得，再利用勾股定理證明，即可證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，再根據(jù)結(jié)合棱錐的體積公式即可得解.【詳解】（1），，，，平面，平面，又平面，，由直角梯形，，，，，得，則，所以，又，，平面，平面，又平面，平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，由（1）得，則，，，，，即三棱錐的體積為.

練習(xí)26．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，在直角三角形中，，，，，將沿折起到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿足.(1)證明：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）證明出平面，在上取一點(diǎn)，使得，連接、，證明出平面平面，可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；【詳解】（1）證明：在直角三角形中，因?yàn)椋裕丛谒睦忮F中，，，又因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫裕矫妫鐖D，在上取一點(diǎn)，使得，連接、.因?yàn)椋裕裕忠驗(yàn)椋运倪呅问蔷匦危?因?yàn)槠矫妫矫妫裕矫妫谥校裕驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)椋⑵矫妫裕矫嫫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫?練習(xí)27．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)．

(1)求證：；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）取AC中點(diǎn)O，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)證明即可推理作答.【詳解】（1）取AC中點(diǎn)O，連接DO、OB，在正和正中，，則，而平面平面ABC，平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，又平面ABC，即有，而．因此四邊形DOBE是平行四邊形，則，從而平面ABC，平面ADC，所以.練習(xí)28．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）如圖，在四棱錐中，且，其中為等腰直角三角形，，且平面平面.(1)求的長(zhǎng)；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)題目中的垂直條件結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)定理以及直線與平面垂直的判定定理把放到一個(gè)直角三角形中，從而可求長(zhǎng)度.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面平面平面，平面，平面，，，平面，平面，平面，，又.練習(xí)29．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考期中）如圖，在直三棱柱中，.

(1)求證：；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和各棱長(zhǎng)可知，連接，利用線面垂直的判定定理可得平面，易知四邊形為菱形，可得平面，由線面垂直的性質(zhì)即可得；【詳解】（1）連接與相交于點(diǎn)，如下圖所示

在直棱柱中，平面平面，，又，平面，所以，平面，又平面，，四邊形為菱形，即又，且平面，平面，又平面，.練習(xí)30．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)ABC—中，，平面平面.

(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）在等腰梯形中，作，利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得到，最后利用線面垂直的判定定理即可得證.【詳解】（1），在等腰梯形中，作，則，在中，，所以，，在中，，解得，所以，即，由平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)椋矫妫云矫?題型七 判斷平行，垂直的有關(guān)命題例13．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知、、為空間中三條不同的直線，、、為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，若，則C．若，、分別與、所成的角相等，則D．若m//α，m//β，，則【答案】B【分析】對(duì)于ACD，通過舉反例說明其錯(cuò)誤；利用線面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，如圖1，若，，，則可以與平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋遥瑒t，因?yàn)椋瑒t，故，B正確；對(duì)于C，如圖2，若，、分別與、所成的角為時(shí)，與可以相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，如圖1，m//α，m//β，，，則與相交，D錯(cuò)誤.故選：B.例14．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）（多選）已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則至少有一條與直線垂直D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系進(jìn)行判斷A，由線面、面面垂直的判定寫性質(zhì)判斷BCD．【詳解】若，可能平行也可能異面，A錯(cuò)；，則，又，則，B正確；若，假設(shè)與不垂直，過直線任一點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，因?yàn)椋裕郑瑒t，又，是平面內(nèi)兩相交直線，因此，而，所以，即直線中如果有一條不與垂直，則另一條必定與直線垂直，C正確；若，如圖，設(shè)，，過直線上一點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，則，同理過在平面內(nèi)作直線，則，因?yàn)檫^一點(diǎn)有且只有一條直線與一個(gè)平面垂直，所以重合，即重合為平面和的交線，所以，D正確．故選：BCD．練習(xí)31．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．若，且，則 B．若，，，則C．若，且，則 D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)線、面位置關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，且，則l，m可能平行、相交或異面，并不一定垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，，則m，n可能平行、相交或異面，并不一定平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，且，根據(jù)線面垂直可得：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，但不能得到，所以雖然，不能得到，故D錯(cuò)誤；故選：C.練習(xí)32．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）兩個(gè)平面與相交但不垂直，直線在平面內(nèi)，則在平面內(nèi)（

）A．一定存在直線與平行，也一定存在直線與垂直；B．一定存在直線與平行，不一定存在直線與垂直；C．不一定存在直線與平行，一定存在直線與垂直；D．不一定存在直線與平行，也不一定存在直線與垂直【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得分兩種情況：和，然后對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則有兩種情況：和，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)不存在直線與平行，故AB錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)一定存在直線與平行，也一定存在直線與垂直，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)不存在直線與平行，由三垂線定理可知，一定存在直線與垂直，綜上：不一定存在直線與平行，但一定存在直線與垂直，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：C練習(xí)33．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)線面，面面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，，可得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，，可得或平面相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，，可得或相交或異面，相交或異面時(shí)兩直線可能不垂直，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則存在直線，使得，又，所以，又，所以，故C正確．故選：C.練習(xí)34．（2023·四川·校考模擬預(yù)測(cè)）已知a，b是不同的兩條直線，，是不同的兩個(gè)平面，現(xiàn)有以下四個(gè)命題：①；②；③；④．其中，正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】若，則，故①正確；若，則，故②正確；若，則或，故③錯(cuò)誤；若，則在平面內(nèi)存在直線，使得.又，所以，所以，故④正確.所以正確的個(gè)數(shù)有3個(gè).故選:C.練習(xí)35．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）（多選）已知l，m，n為空間中三條不同的直線，，，為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的有（

）A．若，，，則B．若，l，m分別與，所成的角相等，則C．若，，，若，則D．若，，，則【答案】AC【分析】由垂直的性質(zhì)及平行公理可判定選項(xiàng)A正確，對(duì)于BD，通過反練習(xí)說明其錯(cuò)誤，利用線面平行的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C正確.【詳解】對(duì)于A，若，，則，又，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若，，分別與，所成的角為時(shí)，與可以相交、平行或異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕还蔬x項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，，，則可以與平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.題型八 平行，垂直的綜合應(yīng)用例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知底面是菱形，且對(duì)角線與相交于點(diǎn).(1)若，求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）先證明平面，再證明平面平面即可；（2）存在棱的中點(diǎn)使得平面，可使用線面平行判定定理證明.【詳解】（1）由已知，為中點(diǎn)，連接，若，則，又∵底面是菱形，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）棱上存在點(diǎn)，使得平面，為中點(diǎn)，證明如下：取的中點(diǎn)，連接，，∵是的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面.故存在棱的中點(diǎn)使得平面.例16．（2023春·陜西榆林·高二綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，且交SC于點(diǎn)N.(1)求證：∥平面ACM；(2)求證：平面平面AMN.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連結(jié)BD交AC于E，連結(jié)ME，由三角形中位線的性質(zhì)可得ME∥SB，結(jié)合線面平行的性質(zhì)可得平面ACM；（2）由線面垂直得線線垂直，由線線垂直