重難點專項突破06旋轉之“費馬點”模型13種題型【知識梳理】最值問題是中考常考題型，費馬點屬于幾何中的經典題型，目前全國范圍內的中考題都是從經典題改編而來，所以應熟練掌握費馬點等此類最值經典題。【考點剖析】一．一元一次方程的應用（共1小題）1．（2020春?江北區期末）如圖，已知直線AB與直線CD相交于點O，∠BOE＝90°，OF平分∠BOD，∠BOC：∠AOC＝1：3．（1）求∠DOE，∠COF的度數；（2）若射線OF，OE同時繞O點分別以2°/s，4°/s的速度，順時針勻速旋轉，當射線OE，OF的夾角為90°時，兩射線同時停止旋轉．設旋轉時間為t，試求t值．二．二次函數綜合題（共1小題）2．（2018秋?沙坪壩區校級期中）在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx+（k≠0）經過點A，與拋物線交于另一點R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求拋物線與直線的解析式；（2）如圖1，若點P是x軸下方拋物線上一點，過點P作PH⊥AR于點H，過點P作PQ∥x軸交拋物線于點Q，過點P作PH′⊥x軸于點H′，K為直線PH′上一點，且PK＝2PQ，點I為第四象限內一點，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，當l取得最大值時，求出點P的坐標，并求出此時m的最小值．（3）如圖2，將點A沿直線AR方向平移13個長度單位到點M，過點M作MN⊥x軸，交拋物線于點N，動點D為x軸上一點，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′（點M、N、D、N′在同一平面內），連接AN、AN′、NN′，當△ANN′為等腰三角形時，請直接寫出點D的坐標．三．全等三角形的判定與性質（共1小題）3．（2022秋?靜安區校級期中）如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費馬點．若點M為△ABC的費馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數；（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為△ABC的費馬點．試說明這種作法的依據．四．角平分線的性質（共1小題）4．（2020?荷塘區模擬）在△ABC中，若其內部的點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則稱P為△ABC的費馬點．如圖所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，設P為△ABC的費馬點，且滿足∠PBA＝45°，PA＝4，則△PAC的面積為．五．等腰三角形的判定與性質（共1小題）5．（2017秋?義烏市月考）已知點P是△ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點（Fermatpoint）．已經證明：在三個內角均小于120°的△ABC中，當∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF＝（）A．2 B．1+ C．6 D．3六．等邊三角形的性質（共1小題）6．（2014秋?廈門期中）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．如圖（2），在銳角△ABC外側作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′＝PA+PB+PC．七．等腰直角三角形（共1小題）7．（2020?崇州市模擬）如果點P是△ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點．已經證明：在三個內角均小于120°的△ABC中，當∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF＝．八．三角形綜合題（共2小題）8．（2023春?渠縣校級期末）如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）證明：EF＝DF；（2）如圖2，點M是ED上一點，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．（3）如圖3，在（2）的條件下，當點M與點D重合時，若CD⊥AD，GD＝4，請問在△ACD內部是否存在點P使得P到△ACD三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由．9．（2017秋?邗江區期末）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小．這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖①，當△ABC三個內角均小于120°時，費馬點P在△ABC內部，此時∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時，PA+PB+PC的值最小．解決問題：（1）如圖②，等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA，PB，PC轉化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；基本運用：（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：如圖③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F為BC上的點，且∠EAF＝45°，判斷BE，EF，FC之間的數量關系并證明；能力提升：（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點P為Rt△ABC的費馬點，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．九．正方形的性質（共1小題）10．（2020?碑林區校級模擬）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點M，N分別為AB、BC上的動點，且始終保持BM＝CN．連接MN，以MN為斜邊在矩形內作等腰Rt△MNQ，若在正方形內還存在一點P，則點P到點A、點D、點Q的距離之和的最小值為．一十．四邊形綜合題（共1小題）11．（2023?桐城市校級開學）定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點中，到三角形三個頂點距離之和最小的點叫做這個等腰三角形的“近點”，“近點”到三個頂點距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”．【基礎鞏固】（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點E滿足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【嘗試應用】（2）如圖2，等邊三角形ABC邊長為，E為高線AD上的點，將三角形AEC繞點A逆時針旋轉60°得到三角形AFG，連接EF，請你在此基礎上繼續探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，過AB的中點E作AB垂線交CD的延長線于點F，連接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．一十一．軸對稱最短路線問題（共2小題）12．（2021?丹東）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內一點，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB＝AC＝，BC＝2，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝．13．（2019秋?開福區校級月考）法國數學家費馬提出：在△ABC內存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小．人們稱這個點為費馬點，此時PA+PB+PC的值為費馬距離．經研究發現：在銳角△ABC中，費馬點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費馬距離為．一十二．旋轉的性質（共4小題）14．（2023春?城關區校級期中）如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，將△ABC在平面內繞點A旋轉到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉角的度數為（）A．40° B．30° C．50° D．65°（多選）15．（2023春?臨朐縣期中）如圖，將一副三角板按如圖方式疊放在一起，保持三角板ABC不動，將三角板DCE的CE邊與CA邊重合，然后繞點C按順時針或逆時針方向任意轉動一個角度．當這兩塊三角板各有一條邊互相平行時，∠ACE的度數可能是（）A．45° B．90° C．120° D．135°16．（2022秋?大冶市期末）如圖，D是等邊三角形ABC外一點，連接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，則當線段AD的長度最小時，①∠BDC＝；②AD的最小值是．17．（2022秋?洪山區校級期中）如圖，以等邊△ABC的一邊BC為底邊作等腰△BCD，已知AB＝3，，且∠BDC＝120°，在△BCD內有一動點P，則PB+PC+PD的最小值為．一十三．幾何變換綜合題（共1小